河北省秦皇岛市第一中学2025-2026学年第一学期高三年级10月月考数学试题（含答案）

秦皇岛市第一中学2025-2026学年第一学期高三年级10月月考
数学试卷
注意事项：
1.本试题共两部分，满分150分，时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂然.如要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试上无效.
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知和为非零向量，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知为等差数列的前项和，若且则（ ）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
5. 军事上通常用密位制来度量角．狙击手为了精确命中目标，需要调整射击角度，而狙击枪上的角度单位为密位制．在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如1个平角，1个周角．已知函数，将图象上所有点横坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于轴对称，则的最小值用密位制可以表示为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在三棱锥中，已知底面是正三角形，，若，分别为和的中点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数的定义域为，且，记，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知点在抛物线上，若抛物线的焦点到准线的距离为2，则的最小值为（ ）
A. B. C. 4 D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量，且，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知的三个内角所对的边分别为．若，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 角B的最大值为 D. 的外接圆面积的最小值为
11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 四叶草曲线有四条对称轴
B. 设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为
C. 四叶草曲线上的点到原点的最大距离为
D. 四叶草曲线的面积小于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数满足：对任意的，都有，则______.
13. 已知直线与曲线交于，两点，平面上的动点满足，，则的最大值为______.
14. 已知整数满足，，则有序数对满足的概率是______；满足是整数的有序数对有______个．
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图,点A B分别是角 的终边与单位圆的交点,.
(1)若,求的值;
(2)证明:.
16. 某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为1，2，3的空心小球，球内装有难度不同的谜语．每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏．已知标号为1，2，3的小球个数比为1：2：1，且取到异号球的概率为．
（1）求盒中2号球的个数；
（2）若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序（猜对谜语的概率相互独立）
球号 1号球 3号球
答对概率 0.8 0.5
奖金 100 500
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为.A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足.
（1）若点P的坐标为，求椭圆的方程；
（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且，直线，的斜率之积为，求实数m的值.
18. 已知函数．
（1）已知在处取得极小值，求a的值；
（2）对任意，不等式恒成立，求a的取值范围．
19. 正四棱锥中，，E为中点，，平面平面，平面.
（1）证明：当平面平面时，平面
（2）当时，T为表面上一动点（包括顶点），是否存在正数m，使得有且仅有5个点T满足，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由.
数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. A
2. B.
3. C.
4. B.
5. A.
6. A.
7. A
8. D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. AC.
10. ABD.
11. ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 2
13. .
14. ，5
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (1)
(2)由题意可得,,且与的夹角为,,
成立.
16. （1）4个 （2）推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语
17. （1）
（2）
18. （1）
（2）
19. （1）证明
连接，由题意可知：，
设，连接，则平面，
平面，则，
，平面，
故平面.
若为直线，此时平面，可得平面平面，符合题意，
故平面；
若不为直线，∵平面平面，则存在直线平面，使得平面，
可得，且平面，平面，
故平面，
又∵平面，平面平面，
则，可得，
故平面；
综上所述：平面.
（2）不存在，理由如下：
如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，则有，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，即，
设平面的任一点坐标，则，
由，解得，
可得交线满足，
令，可得交线与轴的交点为，即为点.
设四棱锥表面上任一点，
则，
，
可得，
且
故
，
表示点到点的距离的平方，
设四棱锥的内切球的半径为，
∵的体积，表面积，
则，
可得四棱锥内切球的球心坐标为，
又∵，可得四棱锥的外接球的球心为，
显然既不是内切球的球心也不是外接球的球心，
故不存在m，使得有且仅有5个点T满足.