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第二十二章 二次函数（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·邯郸月考）一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·凉州期中）已知函数是二次函数，则等于（ ）
A． B．2 C． D．6
3．（2024九上·伊通期末）抛物线与的共同特点是（ ）
A．开口都向上 B．对称轴都是y轴
C．都有最高点 D．都是y随x的增大而增大
4．（2024九上·温州期中）若抛物线平移后经过原点，则抛物线经过了（ ）
A．向上平移个单位 B．向下平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
5．（2024九上·汉川期中）抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，2）
6．（2024九上·平湖期末）已知抛物线经过点，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·贵州期末）将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·柯桥月考）抛物线y＝3（x﹣2）2+1的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣2 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝1 D．直线x＝2
9．（2023九上·衢江月考）已知，则下列与它表示同一个二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·墨玉期中）二次函数的图象如图所示，则下列判断中错误的是（ ）
A．图象的对称轴是直线
B．当时，随的增大而减小
C．当时，
D．一元二次方程的两个根是
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·汕尾期末）若抛物线与轴只有一个公共点，则的值是 ．
12．（2024九上·四会期末）若，两点都在二次函数的图象上，则，的大小关系是 用””排序．
13．（2024九上·昌平期中）已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围是 ．
14．（2024九上·温州月考）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共y万元，如果平均每月增长率为x，则营业额y与月平均增长率x之间的函数关系式为 ．
15．（2024九上·萧山月考）若一条抛物线与图象的形状相同且开口向下，顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为 ．
16．（2024九上·新洲月考）一元二次方程的两根是m和n，则的最大值为 ．
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·杭州月考）已知抛物线y＝﹣x2+ax+b经过点A（1，0），B（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求此抛物线的顶点坐标．
18．（2024九上·东莞期中）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，小宇此次实心球训练的成绩为多少米．
19．（2024九上·斗门期中）已知二次函数．
（1）用公式法求该二次函数的顶点坐标：
（2）当 时，随的增大而减小．
20．（2024九上·沅江开学考）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）填表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … …
（2）在平面直角坐标系中画出函数y＝x2﹣4x+3的图象；
（3）由图象可知，当y＞0时，x的取值范围是 ．（直接写出结果）
21．（2024九上·拱墅月考）将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度．
（1）写出平移后的二次函数表达式；
（2）求平移后的抛物线顶点到轴的距离；
（3）在（1）的基础上，当时，直接写出的取值范围．
22．（2024九上·东阳月考）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地面竖直高度为米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为米．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式：
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）若米，则灌溉车行驶时喷出的水 （填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
23．（2024九上·东阳月考）已知二次函数．
（1）将写成的形式，并写出它的顶点坐标；
（2）当时，求出函数值的取值范围．
24．（2024九上·大安期末）大熊猫属于中国独有的一种动物，数量稀少，被称为“中国国宝”，某店专门销售熊猫公仔玩具，成本为30元/件，每天销售量y （件）与销售单价x （元）之间存在如图所示的一次函数关系。
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天熊猫公仔玩具的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
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第二十二章 二次函数（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·邯郸月考）一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：第一次降价后价格为240(1+x)元，第二次降价后价格为240(1+x)(1+x)=240(1+x)2元，所以 则y与x的函数关系式是y= 240(1+x)2，
故答案为：C.
【分析】 由原价是240元可知， 第一次降价后价格为240(1+x)元，第二次降价后价格为240(1+x)(1+x)=240(1+x)2元，因此可得函数关系式.
2．（2024九上·凉州期中）已知函数是二次函数，则等于（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：∵m+2≠0，
∴m≠-2，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的定义可知m+2≠0，解不等式即可求解。
3．（2024九上·伊通期末）抛物线与的共同特点是（ ）
A．开口都向上 B．对称轴都是y轴
C．都有最高点 D．都是y随x的增大而增大
【答案】B
【解析】【解答】解：开口向上，对称轴为轴，有最低点，顶点为原点；
开口向下，对称轴为轴，有最高点，顶点为原点；
∴抛物线，，共有的性质是对称轴为轴，顶点为原点；
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的性质逐一分析判定即可．
4．（2024九上·温州期中）若抛物线平移后经过原点，则抛物线经过了（ ）
A．向上平移个单位 B．向下平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】B
【解析】【解答】解：依题意，得，
A、向上平移个单位，则平移后的函数解析式为，把代入解析式，得，故不经过原点，A不符合题意；
B、向下平移个单位，则平移后的函数解析式为，把代入解析式，得，故经过原点，B符合题意；
C、向左平移个单位，则平移后的函数解析式为，把代入解析式，得，故不经过原点，C不符合题意；
D、向右平移个单位，则平移后的函数解析式为，把代入解析式，得，故不经过原点，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】先把化为顶点式，二次函数的平移规律：上加下减常数项，左加右减自变量，得各选项平移后的解析式，再把代入进行计算，算出时，则平移后经过原点，即可作答．
5．（2024九上·汉川期中）抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，2）
【答案】B
【解析】【解答】∵y=2x2+1=2（x﹣0）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（0，1），故选B．
【分析】本题主要考 查抛物线的顶点坐标，掌握顶点式方程y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．
6．（2024九上·平湖期末）已知抛物线经过点，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，
对称轴，
抛物线经过点，，且，
时，抛物线开口向上，且，
，即，
；
当时，抛物线开口向下，且，
，即，
，
故答案为：D．
【分析】先得到抛物线的对称轴是直线，再利用得到与时，与的大小关系即可．
7．（2024九上·贵州期末）将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为：，即；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”解题即可．
8．（2024九上·柯桥月考）抛物线y＝3（x﹣2）2+1的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣2 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝1 D．直线x＝2
【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线y=3(x-2)2+1，
∴该抛物线的对称轴为直线x=2，
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的对称轴.
9．（2023九上·衢江月考）已知，则下列与它表示同一个二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由，
故答案为：C．
【分析】利用配方法将函数解析式转化为顶点式，可得答案.
10．（2023九上·墨玉期中）二次函数的图象如图所示，则下列判断中错误的是（ ）
A．图象的对称轴是直线
B．当时，随的增大而减小
C．当时，
D．一元二次方程的两个根是
【答案】B
【解析】【解答】解：抛物线与轴的交点坐标为，，
抛物线的对称轴为直线，所以选项的说法正确；
当时，随的增大而增大，所以选项的说法错误；
当时，，所以选项的说法正确；
方程的两个根是，1，所以选项的说法正确．
故答案为：B
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则可对选项进行判断；同时根据二次函数的性质对选项进行判断；利用抛物线在轴下方所对应的自变量的范围可对选项进行判断；根据抛物线与轴的交点问题可对选项进行判断．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·汕尾期末）若抛物线与轴只有一个公共点，则的值是 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴只有一个公共点
∴对应方程只有一个解
∴
解得：m=1
故答案为：1
【分析】根据二次函数与x轴只有一个交点，则对应二次方程只有一个解，则判别式，解方程即可求出答案.
12．（2024九上·四会期末）若，两点都在二次函数的图象上，则，的大小关系是 用””排序．
【答案】＜
【解析】【解答】解：∵，两点都在二次函数的图象上，
∴当x=-2时，，
当x=2时，，
∴＜，
故答案为：＜
【分析】根据二次函数图象上的点的坐标特征得到，，从而直接比较大小即可求解。
13．（2024九上·昌平期中）已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围是 ．
【答案】且
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与轴有交点，
∴令时，根的判别式大于等于零；
即，
解得：，
，
故答案为：且．
【分析】根据函数图象与x轴有交点，则对应二次方程有解，其判别式，解不等式即可求出答案.
14．（2024九上·温州月考）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共y万元，如果平均每月增长率为x，则营业额y与月平均增长率x之间的函数关系式为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设平均每月增长率为x，根据题意得
.
故答案为：.
【分析】根据题意可知y= 一月的营业额+二月的营业额+三月的营业额，据此可得到y与x的函数解析式.
15．（2024九上·萧山月考）若一条抛物线与图象的形状相同且开口向下，顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：一条抛物线与图象的形状相同且开口向下，
∴a=-9，
∵顶点坐标为，
∴抛物线的解析式为y=-9（x-1）2+5.
故答案为：y=-9（x-1）2+5.
【分析】利用一条抛物线与图象的形状相同且开口向下，可得到a的值，再利用二次函数的顶点式，可得到这条抛物线的解析式.
16．（2024九上·新洲月考）一元二次方程的两根是m和n，则的最大值为 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故，
∵，
∴有最大值，且1，
故答案为：1．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系定理，二次函数的最值．根据题意，利用一元二次方程根与系数的关系可得：，通过变形和配方可得，再利用二次函数的性质可求出mn的最大值.
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·杭州月考）已知抛物线y＝﹣x2+ax+b经过点A（1，0），B（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求此抛物线的顶点坐标．
【答案】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+ax+b经过点A（1，0），B（0，﹣4）．
A，B两点代入解析式得：，解得，
因而抛物线的解析式是：y＝﹣x2+5x﹣4．
（2）∵y＝﹣x2+5x﹣4＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的顶点坐标为（，）．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法把A，B两点代入计算即可；
（2）把函数解析式转化为顶点式计算即可；
18．（2024九上·东莞期中）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，小宇此次实心球训练的成绩为多少米．
【答案】解：对于，
令，由
得，（舍去），
∴小宇此次实心球训练的成绩为10米。
【解析】【分析】令y=0，求出x的值，然后再对x的值进行取舍，即可求解。
19．（2024九上·斗门期中）已知二次函数．
（1）用公式法求该二次函数的顶点坐标：
（2）当 时，随的增大而减小．
【答案】（1）解：根据题意，二次函数中，，
∴
∴该二次函数的顶点坐标为；
（2）
【解析】【解答】（2）解：∵，
∴抛物线的开口向上，
由（1）可得顶点坐标为，则对称轴为直线
∴当时，随的增大而减小．
故答案为：．
【分析】（1）利用二次函数顶点坐标公式列出算式求解即可；
（2）利用二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
（1）解：依题意，二次函数中，
∴
∴该二次函数的顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴抛物线的开口向上，
由（1）可得顶点坐标为，则对称轴为直线
∴当时，随的增大而减小．
故答案为：．
20．（2024九上·沅江开学考）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）填表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … …
（2）在平面直角坐标系中画出函数y＝x2﹣4x+3的图象；
（3）由图象可知，当y＞0时，x的取值范围是 ．（直接写出结果）
【答案】解：（1）因为 已知二次函数y＝x2﹣4x+3，所以当x=0时，y=3，当x=1时，y=1－4+3=0，当x=2时，y=4－8+3=－1，当x=3时，y=9－12+3=0，当x=4时，y=16－16+3=3，填表如下：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 -1 0 3 …
（2）根据表中数据， 在平面直角坐标系中画出函数y＝x2﹣4x+3的图象如图所示：（3）x＜1或x＞3
（1）因为 已知二次函数y＝x2﹣4x+3，
所以当x=0时，y=3，当x=1时，y=1－4+3=0，
当x=2时，y=4－8+3=－1，当x=3时，y=9－12+3=0，
当x=4时，y=16－16+3=3，
填表如下：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 -1 0 3 …
（2）根据表中数据， 在平面直角坐标系中画出函数y＝x2﹣4x+3的图象如图所示：
（3）x＜1或x＞3
【解析】【解答】（3）根据图象，当x＜1或x＞3时，y＞0，
故填：x＜1或x＞3．
【分析】（1）分别求出x对应的函数值即可；
（2）根据表中数据利用描点法画出函数图象即可；
（3）直接由图象得出结论即可．
21．（2024九上·拱墅月考）将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度．
（1）写出平移后的二次函数表达式；
（2）求平移后的抛物线顶点到轴的距离；
（3）在（1）的基础上，当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：将二次函数的图像向左平移1个单位长度得到，
再向下平移4个单位长度，得到；
（2）解：∵平移后的抛物线为，
∴顶点坐标为，
平移后的抛物线顶点到轴的距离为；
（3）解：∵，
抛物线开口向上，
当时，，
解得：或，
抛物线与轴的交点坐标为，，
当时，或．
【解析】【分析】（1）根据二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”，求得平移后的二次函数表达式；
（2）先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再求得顶点到轴的距离；
（3）先求得当时x的值，再写出的取值范围 ．
（1）解：将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到；
（2）解：由（1）知，
则顶点坐标为，
平移后的抛物线顶点到轴的距离为；
（3）解：由（1）知，
抛物线开口朝上，
令，即，
解得：或，
即抛物线与轴的交点坐标为或，
当时，或．
22．（2024九上·东阳月考）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地面竖直高度为米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为米．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式：
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）若米，则灌溉车行驶时喷出的水 （填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
【答案】（1）如图2，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又抛物线过点，
代入得，
，
上边缘抛物线的函数解析式为；
（2）上边缘抛物线的对称轴为直线，
点的对称点为，
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
当时，，
解得， （舍去），
点的坐标为，
点的坐标为，
（3）不能
【解析】【解答】解：（3）米，米，米，
点的坐标为，
当时，，
当时，随的增大而减小，
灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
故答案为：不能．
【分析】（1）利用待定系数法，根据顶点坐标先假设出方程：，接着代入点求出a的值即可得到结果；
（2）先利用关于对称轴得到对称点为得到点的平移关系，接着利用求出点的坐标为进而得到结果；
（3）利用表达式先求出的坐标为的坐标，接着利用函数的增减性进行判断即可得到结果.
（1）如图2，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又抛物线过点，
代入得，
，
上边缘抛物线的函数解析式为；
（2）上边缘抛物线的对称轴为直线，
点的对称点为，
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
当时，，
解得， （舍去），
点的坐标为，
点的坐标为，
（3）米，米，米，
点的坐标为，
当时，，
当时，随的增大而减小，
灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
故答案为：不能．
23．（2024九上·东阳月考）已知二次函数．
（1）将写成的形式，并写出它的顶点坐标；
（2）当时，求出函数值的取值范围．
【答案】（1）解：y=x2+2x-3=(x+1)2-4，
则得顶点坐标为：(-1，-4)
（2）解：∵y=x2+2x-3，
∴对称轴为直线x=-1，开口向上，
∴当x≤-1时，y随x的增大而减小；当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴当x=-1时，y最小值=-4，当x=-4时，y最大值=5
∴当-4【解析】【分析】(1)利用配方法把一般式转化为顶点式即可；
(2)二次函数开口向上，顶点为最小值点，计算区间端点x=-4和x=0处的函数值，结合顶点值确定范围.
24．（2024九上·大安期末）大熊猫属于中国独有的一种动物，数量稀少，被称为“中国国宝”，某店专门销售熊猫公仔玩具，成本为30元/件，每天销售量y （件）与销售单价x （元）之间存在如图所示的一次函数关系。
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天熊猫公仔玩具的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：y=－10x+700
（2）解：由题可知：令y≥240，解得x≤46，设每天获得的利润为w元，
则w=y（x－30）=（－10x+700）（x－30）=－10x2＋1000x－21000，
当x=50时，w有最大值，即利润最大，当x＜50时，w随x的增大而增大，
∵x≤46，∴当x=46时，w取得最大值，
－10×462＋1000×46－21000=3840（元），
∴当销售单价为46元时，最大利润为3840元。
【解析】【解答】（1）设函数解析式为y=kx+b，
将点（40，300）和（55，150）分别代入解析式，
可得：，
解得：，
∴函数解析式为：y=－10x+700，
故答案为：y=－10x+700。
【分析】（1）结合函数图象中的数据，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设每天获得的利润为w元，根据题意列出函数解析式w=y（x－30）=（－10x+700）（x－30）=－10x2＋1000x－21000， 再利用二次函数的性质分析求解即可.
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