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第二十二章 二次函数（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·苍溪期末）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·高州期末）将直线向上平移3个单位长度，得到的直线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·荔湾月考）已知点 ， ， 在函数 的图象上，则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·武汉月考）对于抛物线 的说法错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标是（1，-3）
C．抛物线的对称轴是直线
D．当 时， 随 的增大而增大
5．（2024九上·广州月考）将 化成 的形式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·梅县区模拟）在同一直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+b(a，b都不为0)的图象的相对位置可以是( )
A． B．
C． D．
7．（2024九上·娄底期末）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（ ）
A．b2＞4ac
B．ax2+bx+c≥﹣6
C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
8．（2023九上·武汉期末）已知二次函数y=x2-2x+c的图象经过点P(-1，y1)和Q(m，y2)．若y1
A．-13 D．m<-1
9．（2024九上·北京市期中）二次函数的对称轴是，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论：①，②，③，④若点在二次函数的图象上，则关于x的不等式的解集是，其中正确的是（ ）
A．①③ B．③④ C．①③④ D．①②③④
10．（2023九上·余姚月考）设二次函数是实数)，则（ ）
A．当k=6时，函数y的最小值为-6a B．当k=6时，函数y的最小值为-9a
C．当k=8时，函数y的最小值为-8a D．当k=8时，函数y的最小值为-20a
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·广州月考）如果一条抛物线的形状与的形状相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为 ．
12．（2024九上·石家庄期末）将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后的二次函数的图象的顶点坐标是 ．
13．（2023九上·金安月考）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ．
14．（2024九上·义乌月考）有一个开口向下的二次函数，下表是函数中四对x与y的对应值.
x … 0 1 2 …
y … …
若其中有一对对应值有误，则对于该二次函数，当时，x的取值范围是 .
15．（2024九上·温岭期末） 关于的二次函数，在时有最大值6，则 ．
16．（2024九上·昌平期末）已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是 ．
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·舟山月考）已知二次函数．
（1）求该函数与坐标轴的交点坐标．
（2）当为何值时，随的增大而增大？
18．（2024九上·杭州月考）张强在一次投掷铅球时， 刚出手时铅球离地而 ， 铅球运行的水平距离为 4 m时， 达到最大高度， 高度为 3 m ， 如图所示.
（1） 这个抛物线的顶点坐标为 。
（2）求抛物线的函数关系式.
（3）张强这次的投掷成绩大约是多少
19．（2024九上·诸暨月考）一商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件4元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件） 4 5 6
y（件） 1000 950 900
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件，若某一周商品的销售不少于600件，求这一周市商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
20．（2024九上·东阳月考）已知二次函数（为常数，且．
（1）求证：该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）若点，在该函数图象上，比较与的大小．
21．（2024九上·杭州月考）把一根长4米的铁丝折成一矩形，矩形的一边长为x米，面积为S米2.
（1）求S关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）x为何值时，S最大？最大为多少？
22．（2024九上·长沙期中）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界为3；函数是有上界函数，其上确界是2．
（1）请判断下列函数是否为有上界函数，在后面括号内打“√”或“×”
①（ ）
②（ ）
③（ ）
（2）一次函数是有上界函数，上确界为4，求实数的值．
（3）如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值．
23．（2023九上·廉江期中）如图，已知抛物线经过原点和轴上另一点，它的对称轴与轴交于点，直线经过抛物线上一点，且与轴、直线分别交于点、，点是的中点．
（1）求的值；
（2）求该抛物线对应的函数关系式；
（3）若是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点，使得？若存在，试求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2023九上·仪陇期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克80元，若每千克盈利10元，则每天可售出400千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少10千克．
（1）在原价的基础上，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
（2）现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
（3）若使商场每天的盈利达到最大，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？
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第二十二章 二次函数（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·苍溪期末）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据抛物线开口向下可得出：a＜0，再根据抛物线的对称轴在y轴的右侧，可得出a，b异号，所以b＞0.
∴一次函数的图象经过一、二、四象限。
A： 一次函数的图象经过一、二、三象限，所以A不正确；
B： 一次函数的图象经过一、三、四象限，所以B不正确；
C： 一次函数的图象经过一、二、四象限，所以C正确；
D： 一次函数的图象经过二、三、四象限，所以D不正确；
故答案为：C.
【分析】首先根据抛物线判断a，b的正负号，然后根据a，b的正负号判断 一次函数的图象经过的象限，从而得出答案。
2．（2023九上·高州期末）将直线向上平移3个单位长度，得到的直线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵直线y=2x-1向上平移3个单位长度，
∴y =2x-1+3=2x+2.
故答案为：C.
【分析】根据图象的平移规律“上加下减”可求解.
3．（2024九上·荔湾月考）已知点 ， ， 在函数 的图象上，则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵y=-x2-2x+b，
∴函数y=-x2-2x+b的对称轴为直线x=-1，开口向下，当x＜-1时，y随x的增大而增大，当x＞-1时，y随x的增大而减小，
∵-1-（-3）=2，-1-（-1）=0，2-（-1）=3，
∴y3＜y1＜y2，
故答案为：B．
【分析】先确定抛物线的对称轴，根据二次函数的性质，利用抛物线开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，进行求解即可.
4．（2024九上·武汉月考）对于抛物线 的说法错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标是（1，-3）
C．抛物线的对称轴是直线
D．当 时， 随 的增大而增大
【答案】D
【解析】【解答】解： 中 ，抛物线开口向下，顶点坐标为（1，-3），对称轴为直线 ，当 时，y随x的增大而减小．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数图形和性质与其系数的关系逐项判定即可。
5．（2024九上·广州月考）将 化成 的形式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】由 得：
故答案为：C
【分析】本小题先将二次项的系数提出后再将括号里运用配方法配成完全平方式即可．
6．（2024·梅县区模拟）在同一直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+b(a，b都不为0)的图象的相对位置可以是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A选项，由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确，
B选项，由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，相矛盾，故本选项错误，
C选项，由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，相矛盾，故本选项错误，
D选项，由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，相矛盾，故本选项错误，
故答案为：A.
【分析】根据一次函数图象和二次函数图象性质，再根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断.
7．（2024九上·娄底期末）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（ ）
A．b2＞4ac
B．ax2+bx+c≥﹣6
C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
【答案】C
【解析】【解答】解：A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0所以b2＞4ac，故A选项正确；
B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜n，故C选项错误；
D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项正确．
故选C．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
8．（2023九上·武汉期末）已知二次函数y=x2-2x+c的图象经过点P(-1，y1)和Q(m，y2)．若y1A．-13 D．m<-1
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 二次函数y=x2-2x+c的图象经过点P(-1，y1)和Q(m，y2) ，
∴y1=3+c，y2=m2-2m+c，
∵ y1∴3+c＜m2-2m+c，即m2-2m-3＜0，
解得m＜-1或m＞3.
故答案为：C.
【分析】将两点的坐标分别代入y=x2-2x+c表示出y1与y2，进而根据y19．（2024九上·北京市期中）二次函数的对称轴是，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论：①，②，③，④若点在二次函数的图象上，则关于x的不等式的解集是，其中正确的是（ ）
A．①③ B．③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
，
∴，①正确；
∵抛物线的顶线坐标为，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，成立，故③正确；
∵抛物线与轴的一个交点在点和点之间，
∴由抛物线的对称性可知，另一个交点在和之间，
时，，
，
，
，
∴，②正确；
∵抛物线的顶线坐标为，点在二次函数的图象，
∴抛物线与直线有两个交点，
∴交点的横坐标即为方程的两个实数根，
∵点在二次函数的图象，
∴为其中一个实数根，
根据函数图象对称性，对称轴，
∴另一个实数根是1，
∴关于x的不等式的解集是，
∴④正确，
故答案为：D
【分析】根据抛物线的对称轴可判断①对错；根据图像利用抛物线的顶点坐标，得到，即可判断③对错；抛物线的对称性可知，当时，，得到，即可判断②对错；根据二次函数和直线的交点，即可判断④对错．
10．（2023九上·余姚月考）设二次函数是实数)，则（ ）
A．当k=6时，函数y的最小值为-6a B．当k=6时，函数y的最小值为-9a
C．当k=8时，函数y的最小值为-8a D．当k=8时，函数y的最小值为-20a
【答案】B
【解析】【解答】解：解：
∵，
∴二次函数开口向上，且有最小值，且在对称轴上取得最小值．
A、B：当时，对称轴是，代入原函数得：，故选项A错误，选项B正确；
C、D：当时，对称轴，代入原函数得：，故选项C、D均错误；
故答案为：B
【分析】根据二次函数的最值结合题意即可的二次函数在上取得最小值，进而结合选项代入数值计算即可求解。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·广州月考）如果一条抛物线的形状与的形状相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：因为所求的抛物线与形状相同，
∴所求抛物线的二次项系数或，
∴该抛物线的解析式为或.
故答案为：或.
【分析】根据抛物线的形状与的形状相同，可得或，再利用顶点式求出函数解析式即可.
12．（2024九上·石家庄期末）将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后的二次函数的图象的顶点坐标是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得：
，顶点坐标为：（-1，-1）
∴将二次函数图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后的二次函数的图象的顶点坐标是（0，1）
故答案为：
【分析】将函数解析式化成顶点式，求出顶点坐标，再根据平行性质即可求出答案.
13．（2023九上·金安月考）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：
【分析】根据原价及两次降价后的价格即可求出答案.
14．（2024九上·义乌月考）有一个开口向下的二次函数，下表是函数中四对x与y的对应值.
x … 0 1 2 …
y … …
若其中有一对对应值有误，则对于该二次函数，当时，x的取值范围是 .
【答案】x＜0或x＞3
【解析】【解答】解：由表可知：时y的值小于0
当x=1、2时y的值m2>0，
∵抛物线开口向下，
∴抛物线必为先递增再递减，即函数值随x的增大先增大再减小，
∴时y的值错误数据；
又∵和2时y的值相等，
∴抛物线对称轴为，
∴根据对称性可知：和3时，函数值相等，为，
∴当时，x＜0或x＞3
故答案为：x＜0或x＞3.
【分析】由表格中的数据可得：抛物线必为先递增再递减，即函数值随x的增大先增大再减小，由x=1和x=2对应的函数值相等可得对称轴为直线，由对称性可得x=0与3对应的函数值相等，均为-1，据此不难得到x的范围.
15．（2024九上·温岭期末） 关于的二次函数，在时有最大值6，则 ．
【答案】2或
【解析】【解答】解：y=ax2+a2，
①当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=-1时，ymax=a+a2=6，
解得：a=2或a=-3（舍去）；
②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=0时，ymax=a2=6，
解得：a=或a=（舍去），
综上所述，a=2或.
故答案为：2或.
【分析】分两种情况：当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，因此x=-1时，ymax=a+a2=6；②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，因此x=0时，ymax=a2=6，分别解之即可.
16．（2024九上·昌平期末）已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是 ．
【答案】②③④
【解析】【解答】解：①根据抛物线开口向下可知：，
∵对称轴在y轴右侧，即：，
∴，
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴，
∴，
∴①错误；
②∵抛物线对称轴是直线，即，
∴
∴，故②正确；
③由图象知，与关于对称轴对称，
当时，，
即，
∵，
∴，故③正确；
④∵，
∴，
如果，
那么，
∵，
∴，
根据抛物线与y轴的交点，可知，
∴结论④正确．
故答案为：②③④．
【分析】根据抛物线的性质，系数与图象的关系可判断①错误；再根据抛物线对称轴性质可判断②正确，根据抛物线的对称性可判断③正确，再根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出答案.
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·舟山月考）已知二次函数．
（1）求该函数与坐标轴的交点坐标．
（2）当为何值时，随的增大而增大？
【答案】（1）解：令，则，解得，
∴图像与轴交点坐标是、．
令，则，
∴图像与y轴交点坐标是；
（2）解：，
∴对称轴是直线，
∵，开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大．
【解析】【分析】
（1）求抛物线与坐标轴交点的坐标，可分别令和即可；
（2）将二次函数的一般形式转换为顶点式，可得对称轴，再由二次项系数为负可知在对称轴的左侧y随x的增大而增大．
（1）解：令，则，
解得，
∴图像与轴交点坐标是、．
令，则，
∴图像与y轴交点坐标是；
（2）解：，
∴对称轴是直线，
∵，开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大．
18．（2024九上·杭州月考）张强在一次投掷铅球时， 刚出手时铅球离地而 ， 铅球运行的水平距离为 4 m时， 达到最大高度， 高度为 3 m ， 如图所示.
（1） 这个抛物线的顶点坐标为 。
（2）求抛物线的函数关系式.
（3）张强这次的投掷成绩大约是多少
【答案】（1）(4，3)
（2）解：设抛物线的函数关系式y=a(x-4)2+3，
当x=0时，，解得
∴
（3）解：令y=0，解得x1=10，x2=-2(舍去)，
∴张强这次投掷成绩大约是10m
【解析】【解答】解：(1)由题意知铅球运行的水平距离为4m时，达到最高，高度为3m，
∴顶点坐标为(4，3)，
故答案为：(4，3).
【分析】(1)由题意知铅球运行的水平距离为4m时，达到最高，高度为3m，即可求解；
(2)设抛物线的函数关系式y=a(x-b)2+c，代入题干数据解得a、b、c；
(3)令二次函数解析式y=0，求出x.
19．（2024九上·诸暨月考）一商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件4元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件） 4 5 6
y（件） 1000 950 900
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件，若某一周商品的销售不少于600件，求这一周市商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
【答案】（1）解：设与的函数关系式为，
根据题意，得，
解得：，
∴与的函数关系式为；
（2）解：设这一周该商场销售这种商品的利润为元，
∵一周商品的销售不少于600件，
∴，
解得：，
∵为正整数，且销售单价不低于成本价，且不高于15元/件，
∴自变量取值范围为，
∴，
根据题意，得，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为4800，
∴一周该商场销售这种商品获得的最大利润为4800元，销售单价为12元．
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）设这一周该商场销售这种商品的利润为元，先根据“某一周商品的销售不少于600件”得到关于的不等式，解不等式以及结合”销售单价不低于成本价，且不高于15元/件“求出的取值范围，然后根据“总利润=销售量×单件利润”得关于的二次函数表达式，最后根据二次函数的最值知识进行求解.
（1）解：设y和x的函数表达式为，则
，
解得，
故y和x的函数表达式为
（2）解：设这一周该商场销售这种商品的利润为w元，则
∵，x为正整数，
∵销售不少于600件，
∴，
∴，
∵销售单价不低于成本价，且不高于15元/件，
∴自变量取值范围为，
∴，
∴当时，w有最大值，最大值为4800，
答：一周该商场销售这种商品获得的最大利润为4800元，销售单价为12元．
20．（2024九上·东阳月考）已知二次函数（为常数，且．
（1）求证：该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）若点，在该函数图象上，比较与的大小．
【答案】（1）证明：令y=0，即a(x-1)(x-1-a)=0，
∵a≠0，
解得x1=1，x2=1+a，
∵1≠1+a，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点
（2）解：∵点(0，y1)，(3，y2)在函数图象上
∴y1=a2+a，y2=-2a2+4a.
∴y1-y2=a2+a+2a2-4a=3a2-3a
∴当a<0或a>1时，y1>y2，
当a=1时，y1=y2，
当0【解析】【分析】(1)令y=0，可得出x的两个解，且两个解不相等即可得出结论；
(2)先求出y1-y2=3a(a-1)，然后分三种情况讨论即可.
21．（2024九上·杭州月考）把一根长4米的铁丝折成一矩形，矩形的一边长为x米，面积为S米2.
（1）求S关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）x为何值时，S最大？最大为多少？
【答案】（1）解：∵一根长4米的铁丝折成一矩形，矩形的一边长为x米，
∴另一边长为：4-2x，
∴
（2）解：
∴当x=1时，矩形面积最大，S=1.
【解析】【分析】（1）根据题意求出矩形的另一边长为4-2x，最后根据矩形的面积计算公式即可写出表达式；
（2）将表达式改写为顶点式，即可求出S的最大值.
22．（2024九上·长沙期中）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界为3；函数是有上界函数，其上确界是2．
（1）请判断下列函数是否为有上界函数，在后面括号内打“√”或“×”
①（ ）
②（ ）
③（ ）
（2）一次函数是有上界函数，上确界为4，求实数的值．
（3）如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值．
【答案】（1）√；×；√
（2）解：一次函数是有上界函数，上确界为，分两种情况：当，随增大而增大，
当时，函数有最大值，
∴；
当，随增大而减小，
当时，函数有最大值，
∴；
综上可知：或；
（3）解：当时，函数随着增大而增大， 当时，函数有上确界，
故，
，
，
解得：，
当时，时，函数有上确界，
故，
解得：（舍），（舍），
综上可知，．
【解析】【解答】
（1）
解：①中，当时，有最大值，故为有上界函数，√；
②，当时，有最小值，故不为有上界函数，×；
③，当时，有最大值，故为有上界函数，√；
【分析】
（1） ① 对于，y有最大值2，因此属于有上界函数；
② 由于二次函数的开口向上，即其有最小值但不存在最大值，因此不属于有上界函数；
③由于二次函数的开口向下，即其有最大值，且最大值为3， 因此属于有上界函数 ；
（2）对于一次函数，当，随增大而增大；当，随增大而减小；再分别在自变量x的取值范围内求出最大函数值为4时对应的k的值即可；
（3）由于实数m的大小不确定，因此应分两种情况讨论，即：当时，函数随着增大而增大， 当时，函数有上确界；当时，时，函数有上确界，分别计算即可得解．
（1）解：①中，当时，有最大值，故为有上界函数，√；
②，当时，有最小值，故不为有上界函数，×；
③，当时，有最大值，故为有上界函数，√；
（2）解：一次函数是有上界函数，上确界为，
分两种情况：当，随增大而增大，
当时，函数有最大值，
∴；
当，随增大而减小，
当时，函数有最大值，
∴；
综上可知：或；
（3）解：当时，函数随着增大而增大， 当时，函数有上确界，
故，
，
，
解得：，
当时，时，函数有上确界，
故，
解得：（舍），（舍），
综上可知，．
23．（2023九上·廉江期中）如图，已知抛物线经过原点和轴上另一点，它的对称轴与轴交于点，直线经过抛物线上一点，且与轴、直线分别交于点、，点是的中点．
（1）求的值；
（2）求该抛物线对应的函数关系式；
（3）若是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点，使得？若存在，试求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当时，，
∴，
当时，，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
解得：．
（2）解：∵，
∴，
∵该抛物线经过原点，对称轴，
∴，
设抛物线对应的函数关系式为，
把，，代入得：
，
解得：，
∴抛物线对应的函数关系式为．
（3）解：连接，
∵对称轴与轴交于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点C在的垂直平分线上，
∵点是的中点，
∴是的垂直平分线，
设所在直线的函数表达式为为，
把，代入得：
，
解得：，
∴所在直线的函数表达式为为，
联立得：，
解得：，，
∴或．
【解析】【分析】（1）令，，分别求出点D 和点E 坐标，再根据中点坐标公式，即可求出m的值；
（2）由（1）得，根据二次函数的对称性得出，利用待定系数法，设抛物线解析式为，把，，代入，求出a、b、c的值，即可得解；
（3）连接，易得，则，进而得出是的垂直平分线，设所在直线的函数表达式为为，把，代入，可得，与二次函数表达式联立，计算求解即可得解．
24．（2023九上·仪陇期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克80元，若每千克盈利10元，则每天可售出400千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少10千克．
（1）在原价的基础上，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
（2）现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
（3）若使商场每天的盈利达到最大，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？
【答案】（1）解：设每次下降的百分率为，根据题意，得：，
解得：或 (舍去)
答：每次下降的百分率为；
（2）解：设每千克应涨价元，根据题意，得：，
整理，得，
解得：，，
∵要尽快减少库存，
∴．
答：该商场要保证每天盈利4480元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价4元；
（3）解：设商场每天的盈利为元，由(2)可知：
，
∵，
∴当时，W取最大值，
∴当时， (元)，
答：使商场每天的盈利达到最大，则应涨价5元，此时每天的最大盈利是4500元．
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用及二次函数的性质，结合题意列出方程及函数解析式是关键。
（1）平均下降率的题目，找出基础量80元，最终量为51.2，根据“基础量×（1-a）2=最终量“得方程，结合题意对根取舍即可；
（2）结合题意，结合”总利润=单件商品利润×销售数量“列出方程，求解，注意题中要求减少库存，得出答案；
（3）列出关于盈利w的函数解析式，结合函数的性质，求出最大值即可。
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