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一元二次方程（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·蓬江月考）在一元二次方程中，二次项系数和常数项分别是( )
A．， B．， C．， D．，
2．（2024九上·北京市开学考）下列所给方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·宁波开学考）“古越龙山”酿酒公司由于注重对市场调研和新产品的研发，新研制的某款瓶装酒获得市场的认可，今年四月份销售了50万瓶，按市场供需趋势预计今年二季度可销售182万瓶．设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·益阳开学考）下列关于x的方程中，一元二次方程的个数是（ ）
（1）
（2）
（3）
（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024九上·珠海期中）下列关于方程 的结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
6．（2023九上·湖北期中）“我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你”这是直播带货平台“东方甄选”主播董宇辉在推销大米时的台词. 所推销大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋.为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施. 据市场调查反映销售单价每降2元，则每分钟可多销售10袋，设每袋大米降价x元（x为偶数），若要平均每分钟获利4180元，则x满足（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023九上·江州期末）下列表格是二次函数中x与y的对应值，则方程 （a，b，c为常数，且a≠0）的一个近似解是（ ）.
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y=ax2+bx+c 0.03 0.01 0.02 0.06
A．6.17 B．6.18 C．6.19 D．6.20
8．（2023九上·武侯月考）2021年，成都已超额完成全年改造老旧小区300个的计划，大力促进了城市宜居品质提升．如图，某小区改造修建一个长32m，宽18m的矩形小花园，并在花园内修建一条水平、两条竖直的宽度相同的小路，余下部分种植花草进行绿化（图中阴影部分）．设小路宽为xm，若绿化面积为448m2，则可列方程为（ ）
A．32×18﹣32x﹣18x＝448 B．32×18﹣64x﹣18x＝448
C．（32﹣x）（18﹣2x）＝448 D．（32﹣2x）（18﹣x）＝448
9．（2023九上·前郭尔罗斯期中）若是关于的一元一次方程的一个根，则的值为（ ）
A．0 B．3 C． D．5
10．（2023九上·晋州期中）把方程转化成的形式，则m，n的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·临江期末）若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是 .
12．（2024九上·吉州月考）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间只比赛一场），计划安排场比赛，求应邀请多少支球队参加比赛，设应邀请支球队参加比赛，则可列方程为 .
13．（2024九上·中山期末）一元二次方程，配方后为，则 ．
14．（2023九上·游仙月考）已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图形不经过第 象限．
15．（2023九上·三台期中）已知m为方程的根，那么的值为 ．
16．（2023九上·港南期中）已知方程x2-5x-2＝0的两根分别为x1，x2，则＝ ．
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·石林期末）解一元二次方程
（1）
（2）
18．（2023九上·忻州期中）解下列一元二次方程：
（1）x2+10x+16＝0；
（2）x（x+4）＝8x+12．
19．（2024九上·自贡期中）已知方程的一根是，求它的另一根及的值．
20．（2024九上·龙华期中）深圳市某景区是级旅游景点，国庆黄金周期间，景区内游客如潮． 景区内部旅游纪念币是热销文创工艺品，每一枚纪念币的成本为元，景区内某商店国庆期间推出了优惠活动，根据销售经验，当定价为元时，平均每天可售出枚． 若每一枚纪念币的售价每降低元，平均每天可多售出枚．
（1）设每一枚纪念币降价元，则每天可销售 枚（用含的代数式表示出来）；
（2）若该商店想通过售出这批纪念币每天获得元的利润，又想尽可能地减少库存，每一枚纪念币应降价多少元
21．（2024九上·珠海期中）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数的值．
22．（2024·深圳模拟）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元。
23．（2024九上·衡阳期末）现有一个用铁网围成的长、宽之比为3：1的猪舍，需将面积扩大，方案有两种．方案一：再另外单独围一个正方形猪舍；方案二：将原猪舍改成正方形猪舍．请你参谋一下，你认为哪个方案比较好？为什么？
24．（2024九上·重庆市开学考）又到了脐橙丰收季，某水果超市老板发现今年奉节脐橙和赣南脐橙很受欢迎，今年月第一周购进奉节脐橙和赣南脐橙两个品种，已知千克赣南脐橙的进价比千克奉节脐橙的进价多元，购买千克赣南脐橙的价格与购买千克奉节脐橙的价格相同．
（1）今年月第一周每千克奉节脐橙和赣南脐橙的进价分别是多少元？
（2）今年月第一周，水果超市老板以元每千克售出奉节脐橙千克，元每千克售出赣南脐橙千克；第二周水果超市老板又以第一周的价格购进一批奉节脐橙和赣南脐橙，为促进奉节脐橙的销量，该水果超市老板决定调整价格，每千克奉节脐橙的售价在第一周的基础上下降元，每千克赣南脐橙的售价不变，由于此批奉节脐橙品质较好又便宜，第二周奉节脐橙的销量比第一周增加了千克，而赣南脐橙的销量比第一周减少了千克，最终该水果超市第二周销售两种脐橙总共获利元，求的值．
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一元二次方程（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·蓬江月考）在一元二次方程中，二次项系数和常数项分别是( )
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】【解答】解：一元二次方程的二次项系数和常数项分别是和，
故选：D．
【分析】根据一元二次方程（，，是常数且）中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项即可求解.
2．（2024九上·北京市开学考）下列所给方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A中：由，方程有两个不相等的实数根，所以A不符合题意；
B中：由，方程有两个不相等的实数根，所以B不符合题意；
C中：由，方程有两个不相等的实数根，所以C不符合题意；
D中，由，方程没有实数根，所以D符合题意.
故选：D.
【分析】根据题意，分别求得各个选项中，一元二次方程的判别式，结合判别式，逐项判定，即可求解.
3．（2024九上·宁波开学考）“古越龙山”酿酒公司由于注重对市场调研和新产品的研发，新研制的某款瓶装酒获得市场的认可，今年四月份销售了50万瓶，按市场供需趋势预计今年二季度可销售182万瓶．设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，
∴五月份的销售量为可表示为：50(1+x)、六月份为50(1+x)(1+x)=50(1+x)2.
∴50+50(1+x)+ 50(1+x)2=182．
故选：B．
【分析】设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，用x分别表示五、六月份的销售量，然后根据“ 今年二季度销售量=182万 ”可得出方程．
4．（2024九上·益阳开学考）下列关于x的方程中，一元二次方程的个数是（ ）
（1）
（2）
（3）
（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】解：（1）符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
（2）由已知方程得到，属于一元一次方程，不是一元二次方程；
（3）方程二次项系数可能为0，不是一元二次方程；
（4）不是整式方程，不是一元二次方程．
∴是一元二次方程是（1），共有1个，
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且含未知数项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，再逐项分析求解即可.
5．（2024九上·珠海期中）下列关于方程 的结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴a=1，b=-5，c=3，
由题意得，，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的判别式判定根的情况：当 ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当 =0时，方程有两个相等的实数根，当 ＜0时，方程没有实数根，由此进行计算判断即可。
6．（2023九上·湖北期中）“我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你”这是直播带货平台“东方甄选”主播董宇辉在推销大米时的台词. 所推销大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋.为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施. 据市场调查反映销售单价每降2元，则每分钟可多销售10袋，设每袋大米降价x元（x为偶数），若要平均每分钟获利4180元，则x满足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设每袋大米降价x元（x为偶数），则每分钟可售出件，每件盈利元，
由题意得，
故答案为：B．
【分析】设每袋大米降价x元（x为偶数），根据“ 要平均每分钟获利4180元 ”列出方程即可.
7．（2023九上·江州期末）下列表格是二次函数中x与y的对应值，则方程 （a，b，c为常数，且a≠0）的一个近似解是（ ）.
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y=ax2+bx+c 0.03 0.01 0.02 0.06
A．6.17 B．6.18 C．6.19 D．6.20
【答案】B
【解析】【解答】解：要使 （a，b，c为常数，且a≠0），即y最接近0.
观察表格可以发现，当x=6.18时，函数值y最接近于0，即y=-0.01，
∴方程 （a，b，c为常数，且a≠0）的一个近似解是6.18，
故答案为：B
【分析】本题观察发现表格中y的所有值，对比绝对值发现，，所以只有y=-0.01最接近方程的解，因此对应的x值为6.18.
8．（2023九上·武侯月考）2021年，成都已超额完成全年改造老旧小区300个的计划，大力促进了城市宜居品质提升．如图，某小区改造修建一个长32m，宽18m的矩形小花园，并在花园内修建一条水平、两条竖直的宽度相同的小路，余下部分种植花草进行绿化（图中阴影部分）．设小路宽为xm，若绿化面积为448m2，则可列方程为（ ）
A．32×18﹣32x﹣18x＝448 B．32×18﹣64x﹣18x＝448
C．（32﹣x）（18﹣2x）＝448 D．（32﹣2x）（18﹣x）＝448
【答案】D
【解析】【解答】解：小路的宽为xm，纵向有2条路，横向有1条路，
种植花草的部分的总面积为，
绿化面积为448m2，
，
故答案为：D．
【分析】将种植花草部分的面积当作整体看待，即为一个长为，宽为的矩形，根据矩形面积公式列出对应方程即可求解。
9．（2023九上·前郭尔罗斯期中）若是关于的一元一次方程的一个根，则的值为（ ）
A．0 B．3 C． D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：将代入，
可得：，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】先将代入，可得，再求出即可.
10．（2023九上·晋州期中）把方程转化成的形式，则m，n的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】【解答】
∴，
∴m=-2，n=2，
故答案为：C.
【分析】利用配方法将方程的一般式化为顶点式为，再求出m、n的值即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·临江期末）若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是 .
【答案】且
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有实根，
∴且k-1≠0，
解得：且 ，
故答案为：且 .
【分析】根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义求解即可。
12．（2024九上·吉州月考）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间只比赛一场），计划安排场比赛，求应邀请多少支球队参加比赛，设应邀请支球队参加比赛，则可列方程为 .
【答案】
【解析】【解答】解：设邀请x个队，每个队都要比赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛
由题意可得：
故答案为：
【分析】设邀请x个队，每个队都要比赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，根据题意列出方程即可求出答案.
13．（2024九上·中山期末）一元二次方程，配方后为，则 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：
∴
∴-a+9=1，解得：a=8
故答案为：8
【分析】根据配方法进行化简，再根据对应系数相等建立方程，解方程即可求出答案.
14．（2023九上·游仙月考）已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图形不经过第 象限．
【答案】四
【解析】【解答】根据题意，方程无实数根
一次函数的图象经过第一、二、三象限
不经过第四象限
故填：四
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，无实数根则判别式小于0，解得m的取值范围是大于0的，再根据一次函数图象的性质，y=kx+b，k、b都大于0时，函数图象经过第一、二、三象限不经过第四象限。
15．（2023九上·三台期中）已知m为方程的根，那么的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵ 已知m为方程的根，
∴m2+3m-2022=0，
∴m3+3m2-2022m=0，
∴原式=m3+3m2-2022m+m2+3m-2023
=0+2022-2023
=-1.
故答案为：-1.
【分析】将m的值代入方程后整体代换求值即可。
16．（2023九上·港南期中）已知方程x2-5x-2＝0的两根分别为x1，x2，则＝ ．
【答案】15
【解析】【解答】解：∵方程x2-5x-2＝0的两根分别为x1，x2
∴
∴
∴
故答案为：15.
【分析】已知方程x2-5x-2＝0的两根分别为x1，x2，利用根与系数的关系，得出，再对式子进行变形求解即可.
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·石林期末）解一元二次方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：
或，
∴，
（2）解：
，
∴
∴，
【解析】【分析】（1）提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
（2）利用公式法解一元二次方程即可求出答案.
（1）解：
或，
∴，
（2），
∴
∴，
18．（2023九上·忻州期中）解下列一元二次方程：
（1）x2+10x+16＝0；
（2）x（x+4）＝8x+12．
【答案】（1）解： x2+10x+16＝0，
（x+2）（x+8）＝0，
x+2＝0或x+8＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣8；
（2）x（x+4）＝8x+12，
x2+4x﹣8x﹣12＝0，
x2﹣4x﹣12＝0，
（x+2）（x﹣6）＝0，
x+2＝0或x﹣6＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝6．
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法解一元二次方程即可.
19．（2024九上·自贡期中）已知方程的一根是，求它的另一根及的值．
【答案】解： 设它的另一根为，
根据题意得，，
解得，．
【解析】【分析】 设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系x1+x2=，建立方程组，求解即可.
20．（2024九上·龙华期中）深圳市某景区是级旅游景点，国庆黄金周期间，景区内游客如潮． 景区内部旅游纪念币是热销文创工艺品，每一枚纪念币的成本为元，景区内某商店国庆期间推出了优惠活动，根据销售经验，当定价为元时，平均每天可售出枚． 若每一枚纪念币的售价每降低元，平均每天可多售出枚．
（1）设每一枚纪念币降价元，则每天可销售 枚（用含的代数式表示出来）；
（2）若该商店想通过售出这批纪念币每天获得元的利润，又想尽可能地减少库存，每一枚纪念币应降价多少元
【答案】（1）
（2）解：设每一枚纪念币降价元，则每天可售出纪念币枚，依题意得：，
∴，
解得：，，
∵想尽可能地减少库存，
∴取，
答：每枚纪念币应降价元．
【解析】【解答】解：（1）每一枚纪念币降价元，则每天可销售枚，
故答案为：；
【分析】
（）根据题意列出代数式即可解答；
（）设每一枚纪念币降价元，则每天可售出纪念币枚，依题意得，然后解方程并检验即可解答．
（1）解：每一枚纪念币降价元，则每天可销售枚，
故答案为：；
（2）解：设每一枚纪念币降价元，则每天可售出纪念币枚，
依题意得：，
∴，
解得：，，
∵想尽可能地减少库存，
∴取，
答：每枚纪念币应降价元．
21．（2024九上·珠海期中）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数的值．
【答案】（1）解：由题意得，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵方程两实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）．
【解析】【分析】（1）根据方程有实数根，可得，解不等式求解即可；
（2）利用根与系数的关系，可得出关于m的方程，解方程即可得出m的值。
（1）解：由题意得，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵方程两实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）．
22．（2024·深圳模拟）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元。
【答案】（1）解：根据道路的宽为米，
，
整理得：，
解得：（舍去），，
答：道路的宽为米．
（2）解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元，
根据题意得：，
整理得：，
解得，
答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元
【解析】【分析】（1）设道路的宽为米，根据矩形的面积公式， 列出方程，解方程并检验，即可得解；
（2）设月租金上涨元，停车场月租金收入为元，则租出的车位数量是个，根据题意得：， 计算求解即可.
23．（2024九上·衡阳期末）现有一个用铁网围成的长、宽之比为3：1的猪舍，需将面积扩大，方案有两种．方案一：再另外单独围一个正方形猪舍；方案二：将原猪舍改成正方形猪舍．请你参谋一下，你认为哪个方案比较好？为什么？
【答案】解：设原矩形猪舍共用am长的铁网，则其长，宽分别为am，am，
原面积S原舍a aa2，需增加的面积为a2a2，
①设方案一中新增正方形猪舍边长为xm，则x2a2（x＞0），
解得：xa，
∴4xa，
则采用方案一时，需再买铁网长度为原来猪舍所用铁网总长的；
②若采用方案二，设改建后的猪舍为一个正方形，面积为a2×（1）a2，
设边长为y，则y2a2（y＞0），
解得：ya，
∴4y＝a，
则采用方案二，需再买铁网长度与原来猪舍所用铁网总长相等，不需购买；
综上，采用方案二好，可以不需要购买铁网．
【解析】【分析】分别求得两种方案所需购买钢网的长度，进行选择即可。
24．（2024九上·重庆市开学考）又到了脐橙丰收季，某水果超市老板发现今年奉节脐橙和赣南脐橙很受欢迎，今年月第一周购进奉节脐橙和赣南脐橙两个品种，已知千克赣南脐橙的进价比千克奉节脐橙的进价多元，购买千克赣南脐橙的价格与购买千克奉节脐橙的价格相同．
（1）今年月第一周每千克奉节脐橙和赣南脐橙的进价分别是多少元？
（2）今年月第一周，水果超市老板以元每千克售出奉节脐橙千克，元每千克售出赣南脐橙千克；第二周水果超市老板又以第一周的价格购进一批奉节脐橙和赣南脐橙，为促进奉节脐橙的销量，该水果超市老板决定调整价格，每千克奉节脐橙的售价在第一周的基础上下降元，每千克赣南脐橙的售价不变，由于此批奉节脐橙品质较好又便宜，第二周奉节脐橙的销量比第一周增加了千克，而赣南脐橙的销量比第一周减少了千克，最终该水果超市第二周销售两种脐橙总共获利元，求的值．
【答案】（1）解：设奉节脐橙每千克的进价为元，则赣南脐橙每千克的进价是
由题意得：
解得
∴赣南脐橙每千克的进价是：元
答：奉节脐橙每千克的进价为8元，赣南脐橙每千克的进价是12元．
（2）解：由题意可得：
（舍）；
答：的值为10．
【解析】【分析】（1）设奉节脐橙每千克的进价为元，则赣南脐橙每千克的进价是，进而根据“购买千克赣南脐橙的价格与购买千克奉节脐橙的价格相同”即可列出一元一次方程，从而即可求解；
（2）根据题意即可列出一元二次方程，从而即可求解。
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