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一元二次方程（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·邯郸月考）解方程（x+1）2=3（1+x）的最佳方法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
2．（2024九上·南宁开学考）已知实数x1、x2满足x1+x2=4，x1x2=–3，则以x1、x2为根的一元二次方程是（ ）
A．x2–4x–3=0 B．x2+4x–3=0 C．x2–4x+3=0 D．x2+4x+3=0
3．（2024九上·当阳月考）某超市一月份营业额为100万元，一月、二月、三月的营业额共500万元，如果平均每月增长率为x，则由题意可列方程（ ）
A．100（1+x）2＝500 B．100+100 2x＝500
C．100+100 3x＝500 D．100[1+（1+x）+（1+x）2]＝500
4．（2023九上·中山月考）把一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数和常数项依次是（ ）
A．3、1、6 B．3、1、﹣6 C．1、6、3 D．3、﹣6、1
5．（2023九上·南宁月考）如图所示，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）
A． B． C． D．或
6．（2023九上·潮南期中）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·平山期中） 定义新运算：，例如，则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
8．（2025九上·福田开学考）如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（ ）
A．32×20-20x-30x=540 B．32×20-20x-30x-x2=540
C．（32-x）（20-x）=540 D．32×20-20x-30x+2x2=540
9．方程的所有整数解的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2019九上·和平期中）已知关于x的一元二次方程 与 ，下列判断错误的是（ ）
A．若方程 有两个实数根，则方程 也有两个实数根；
B．如果m是方程 的一个根，那么 是 的一个根；
C．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1；
D．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1或-1.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·北京市期中）无论非零实数m取何值，抛物线一定经过的定点的坐标是 ．
12．（2024九上·大兴期中）某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设这种植物每个支干长出的小分支个数为x，则可列方程为 ．
13．（2024九上·蒙自期中）已知方程的两根为，则 ．
14．（2023九上·恩施期中）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请 个队参赛；
15．已知：m2-2m-1＝0，n2+2n-1＝0且mn≠1，则的值为 ．
16．（2020九上·东台期末）若a≠b，且 则 的值为
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·宿城期末）解下列方程：
（1）.
（2）.
18．（2023九上·新城月考）解方程：
（1）x2-3x＝2（公式法）；
（2）2x2+1＝4x（配方法）．
19．（2024九上·交城期中） 已知关于的一元二次方程.
（1）求证：该一元二次方程总有实数根；
（2）若该方程的两个根为，，并且，试求的值.
20．（2024九上·京山期中）小敏与小霞两位同学解方程 的过程如下框：
小敏：两边同除以 ，得 ，则 ． 小霞：移项，得 ，提取公因式，得 ．则 或 ，解得 ， ．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
21．（2023九上·潮南期中）已知关于x的方程．
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根；
（2）当方程的一个根时，求另一个根及k的值．
22．（2023九上·呼兰期中）在“哈尔滨工程大学”校庆中，1000架无人机“舞动苍穹，逐梦深蓝”形成了一道靓丽的风景线．某无人机公司统计发现：公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．
（1）求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；
（2）该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本200元，生产1架B型无人机的成本是300元，若生产A、B两种型号无人机共100架，预算投入生产的成本不高于22500元，问最多能生产B型无人机多少架？
23．（2024九上·连南期中）已知：平行四边形的两边的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？
（3）如果这个方程的两个实数根分别为，且，求m的值．
24．已知方程组 (x，y为未知数)，有两个不同的实数解
（1）求实数k 的取值范围.
（2）如果 求实数k 的值.
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一元二次方程（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·邯郸月考）解方程（x+1）2=3（1+x）的最佳方法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意，对方程可以进行提公因式法进行因式分解，即可得到x的值。
故答案为：D。
【分析】根据题意，在方程中存在（x+1）的项，根据提公因式法解出方程即可。
2．（2024九上·南宁开学考）已知实数x1、x2满足x1+x2=4，x1x2=–3，则以x1、x2为根的一元二次方程是（ ）
A．x2–4x–3=0 B．x2+4x–3=0 C．x2–4x+3=0 D．x2+4x+3=0
【答案】A
【解析】【解答】解：∵x1+x2=4，x1x2=–3，∴以x1，x2为根的一元二次方程可为x2–4x–3=0．
故答案为：A．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
3．（2024九上·当阳月考）某超市一月份营业额为100万元，一月、二月、三月的营业额共500万元，如果平均每月增长率为x，则由题意可列方程（ ）
A．100（1+x）2＝500 B．100+100 2x＝500
C．100+100 3x＝500 D．100[1+（1+x）+（1+x）2]＝500
【答案】D
【解析】【解答】设平均每月增长率为x，
100[1+（1+x）+（1+x）2]=500.
故答案为：D.
【分析】如果平均每月增长率为x，根据某超市一月份营业额为100万元，一月、二月、三月的营业额共500万元，可列方程.
4．（2023九上·中山月考）把一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数和常数项依次是（ ）
A．3、1、6 B．3、1、﹣6 C．1、6、3 D．3、﹣6、1
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴二次项系数、一次项系数和常数项依次是3、﹣6、1，
故选：D．
【分析】一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），其中a是 二次项系数、b是一次项系数、c是常数项，据此解答即可．
5．（2023九上·南宁月考）如图所示，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】【解答】解：设AC交于点H，如图，
是等腰直角三角形，
设则阴影部分的底长为a，高为
两个三角形重叠部分的面积为，
a（12-a）=32，
解得a=4或a=8，
故 移动的距离为 或 ，
故答案为：D.
【分析】先证得是等腰直角三角形，设则阴影部分的底长为a，高为根据平移的性质和平行四边形的性质、面积公式列出方程即可求解.
6．（2023九上·潮南期中）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac=16-4m＞0，
解之：m＜4
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，据此可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
7．（2023九上·平山期中） 定义新运算：，例如，则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】C
【解析】【解答】解：根据定义新运算原方程 可整理为：x2-2x+2=0，
根的判别式=（-2）2-4×1×2=4-8=-4＜0，
∴方程 没有实数根。
故答案为：C。
【分析】首先根据定义新运算可把方程整理为x2-2x+2=0，然后根据根的判别式，即可得出答案。
8．（2025九上·福田开学考）如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（ ）
A．32×20-20x-30x=540 B．32×20-20x-30x-x2=540
C．（32-x）（20-x）=540 D．32×20-20x-30x+2x2=540
【答案】C
【解析】【解答】解：设道路的宽为x米，
由题意可得（32-x）（20-x）=540
故答案为：C
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
9．方程的所有整数解的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：（1）当x+3=0，x2+x-1≠0时，解得x=-3；（2）当x2+x-1=1时，解得x=-2或1．
（3）当x2+x-1=-1，x+3为偶数时，解得x=-1
因而原方程所有整数解是-3，-2，1，-1共4个．
故答案为C．
【分析】分为指数为0，底数不为0；底数为-1，指数为偶数三种情况，列方程解题即可．
10．（2019九上·和平期中）已知关于x的一元二次方程 与 ，下列判断错误的是（ ）
A．若方程 有两个实数根，则方程 也有两个实数根；
B．如果m是方程 的一个根，那么 是 的一个根；
C．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1；
D．如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1或-1.
【答案】C
【解析】【解答】解：A．∵方程ax2+bx+c=0有两个实数根，∴△1=b2﹣4ac≥0．
∵△2=b2﹣4ac≥0，∴方程cx2+bx+a=0也有两个实数根，不符合题意；
B．∵m是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴am2+bm+c=0，∴ ，∴ 是cx2+bx+a=0的一个根，故不符合题意；
C．由题意知，a≠c，设相等的根是m，则am2+bm+c=0①，cm2+bm+a=0②，①﹣②得am2﹣cm2+c﹣a=0，整理得：（a﹣c）（m2﹣1）=0．
∵a≠c，∴m2﹣1=0，∴m=±1，故C符合题意，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的解的定义即可得到结论．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·北京市期中）无论非零实数m取何值，抛物线一定经过的定点的坐标是 ．
【答案】，
【解析】【解答】解：∵，
，
∴当时，与的取值无关，
即或时，不管取何值时都通过定点，
当时，，
当时，，
故不管取何值时都通过定点或．
故答案为：，．
【分析】根据题意，化简函数式，提出未知常数，只有当的系数为0时，不管取何值抛物线都通过定点，建立方程，解方程即可求出答案.
12．（2024九上·大兴期中）某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设这种植物每个支干长出的小分支个数为x，则可列方程为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：．
【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据“主干、支干和小分支的总数是43”，列出方程即可．
13．（2024九上·蒙自期中）已知方程的两根为，则 ．
【答案】20
【解析】【解答】解：∵方程的两根为，
∴，
，
∴
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，根据配方法化简代数式，再整体代数即可求出答案.
14．（2023九上·恩施期中）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请 个队参赛；
【答案】8
【解析】【解答】解： 设比赛组织者应邀请x个队参赛，
根据题意得：x（x-1）=4×7，
解得x1=-7，x2=8，
∴比赛组织者应邀请8个队参赛，
故答案为：8.
【分析】 设比赛组织者应邀请x个队参赛，则每个队参赛（x-1）场，共有x（x-1）场比赛，从而列出方程并解之即可.
15．已知：m2-2m-1＝0，n2+2n-1＝0且mn≠1，则的值为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：由 n2+2n-1＝0 可知n
方程边同时除以-得：
即
又
故答案为：3
【分析】观察所给两个等式，形式上非常相似，提醒我们考虑是不是一个方程的两个根；一次项系数互为相反数的问题，可以把其中一个式子恒等变形，就可以得到形式上一致的两个等式，因此可以判定；同时从问题入手，分离常数，发现式子中有两根的和，根据韦达定理可求两根的和，代入即可求值。
16．（2020九上·东台期末）若a≠b，且 则 的值为
【答案】1
【解析】【解答】由题意知：a、b是方程， 的两个不相等的实数根，
∴a+b=4，ab=1，
∵ ，
∴ ，
∴ = .
故填：1.
【分析】由 ，得到 的两个根，由此根据根与系数的关系即可解答.
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·宿城期末）解下列方程：
（1）.
（2）.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，
【解析】【分析】（1）对原方程分解因式可得(x+1)(x-5)=0，据此求解；
（2）首先将右边的式子移至左边，然后提取公因式(x-5)可得(x-5)(x-5-1)=0，据此求解.
18．（2023九上·新城月考）解方程：
（1）x2-3x＝2（公式法）；
（2）2x2+1＝4x（配方法）．
【答案】（1）解：∵x2-3x＝2，
∴x2-3x-2＝0，
则a＝1，b＝-3，c＝-2，
∴Δ＝b2-4ac＝（-3）2-4×1×（-2）＝9+8＝17，
∴，
∴，；
（2）解：∵2x2+1＝4x，
∴2x2-4x＝-1，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
【解析】【分析】 （1）先将方程化为一般式，找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式求出方程的根即可；
（2）将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到的左边，方程两边同时除以二次项的系数“2”，将二次项的系数化为1，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“1”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
19．（2024九上·交城期中） 已知关于的一元二次方程.
（1）求证：该一元二次方程总有实数根；
（2）若该方程的两个根为，，并且，试求的值.
【答案】（1）证明：
整理得：
∵
∴
=
∴该一元二次方程总有实数根
（2）解：由题意可得：，
∵
∴
∴
∴
解得：
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解。把方程整理成一元二次方程的一般形式，求出根的判别式，根据判别式的范围即可得到结论；
（2）根据根与系数关系得到，，再代入变形后的已知条件，进行解方程即可得到答案．
20．（2024九上·京山期中）小敏与小霞两位同学解方程 的过程如下框：
小敏：两边同除以 ，得 ，则 ． 小霞：移项，得 ，提取公因式，得 ．则 或 ，解得 ， ．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】解：他们的解法都错误
小敏：两边同除以 ，得 ，则 ．（×） 小霞：移项，得 ，提取公因式，得 ．则 或 ，解得 ， ．（×）
正确解答：
移项，得 ，
提取公因式，得 ，
去括号，得 ，
则 或 ，
解得 ， ．
【解析】【分析】根据因式分解答求解一元二次方程的步骤及注意事项求解即可。
21．（2023九上·潮南期中）已知关于x的方程．
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根；
（2）当方程的一个根时，求另一个根及k的值．
【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴不论k取何值，方程总有两个实数根
（2）解：把代入得：，
解得，
∴原方程为，
∴，，
∴方程的另一个根为2
【解析】【分析】（1）先求出一元二次方程根的判别式可得：，根据平方具有非负性可得：，再根据当 方程有两个不相等的实数根，据此可证明结论；
（2）把代入方程可得：，解方程可求出k的值，据此可得方程，再利用开平方法可求出方程的解.
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴不论k取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：把代入得：
，
解得，
∴原方程为，
∴，，
∴方程的另一个根为2．
22．（2023九上·呼兰期中）在“哈尔滨工程大学”校庆中，1000架无人机“舞动苍穹，逐梦深蓝”形成了一道靓丽的风景线．某无人机公司统计发现：公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．
（1）求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；
（2）该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本200元，生产1架B型无人机的成本是300元，若生产A、B两种型号无人机共100架，预算投入生产的成本不高于22500元，问最多能生产B型无人机多少架？
【答案】（1）解：设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为x，由题意得：
解得：，
答：该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为
（2）解：设生产B型号无人机a架，则生产A型号无人机架，由题意得：
解得：
答：最多能生产B型无人机25架
【解析】【分析】（1）由题意设出该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为x，列出方程求解即可；
（2）根据题意设生产B型号无人机a架，则生产A型号无人机100-a架，已知A、B两种型号无人机共100架，预算投入生产的成本不高于22500元，列出不等式方程，求解即可.
23．（2024九上·连南期中）已知：平行四边形的两边的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？
（3）如果这个方程的两个实数根分别为，且，求m的值．
【答案】（1）解：根据题意：四边形是菱形时，则，
方程有两个相等的实数根，
，即，
解得：，
，
解得：，
，四边形是菱形，边长；
（2）解：根据题意得：，
解得：，则，
解得：，
的长为2，
，
平行四边形的周长是；
（3）解：，
方程的两个实数根分别为，
，，
，
解得：．
【解析】【分析】（1）因为菱形的两边是方程的两个实数根，可得出根的判别式，解方程可得m的值，即可得出原方程，进而解原方程。即可得出菱形的边长；
（2）的长为2， ，也就是方程的一个根为2，只需求出方程的另一个根，即可求得周长。
（3）把进行整理。可得出，再利用根与系数的关系，可得出，解方程即可求得m的值。
（1）解：根据题意：四边形是菱形时，则，
方程有两个相等的实数根，
，即，
解得：，
，
解得：，
，四边形是菱形，边长；
（2）解：根据题意得：，
解得：，则，
解得：，
的长为2，
，
平行四边形的周长是；
（3）解：方程的两个实数根分别为，
，，
，
，
解得：．
24．已知方程组 (x，y为未知数)，有两个不同的实数解
（1）求实数k 的取值范围.
（2）如果 求实数k 的值.
【答案】（1）解：把y=k(2x-1)代入，
可得，
∵方程组(x、y为未知数)有两个不同的实数解，
∴k≠0，且Δ>0，
即k≠0，且，
∴k≠0，且2k+1>0，
解得，且k≠0，
即实数k的取值范围是，且k≠0
（2）解：
得k=1
【解析】【分析】(1)首先把y=k(2x-1)代入，可得；然后根据方程组(x、y为未知数)有两个不同的实数解，可得k≠0，且Δ>0，据此求出k的取值范围是多少即可；
(2)首先根据韦达定理，可得，据此求出k的值是多少即可.
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