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整式的乘除（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·衡山期中）如果 的结果不含x项，则m的值是（ ）
A． B．5 C． D．
2．（2024八上·红塔期中）计算20172－2016×2018的结果是（ ）
A．2 B．－2 C．－1 D．1
3．（2024·攀枝花模拟）下列算式中，结果等于 的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·交城模拟）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023八上·余杭开学考）已知：，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2023八上·大余月考）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八上·沧州月考）要使多项式不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
8．（2023八上·武汉月考）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021八上·东平月考）若 有一个因式为 ，则k的值为（ ）
A．17 B．51 C．－51 D．－57
10．（2018八上·长春月考）计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1的值是（ ）
A．1024 B．28+1 C．216+1 D．216
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024·金沙模拟）分解因式： .
12．（2024八上·扶余期末）计算： = ．
13．（2023八上·洞口期中）， ．
14．（2023八上·仁寿期中） 当是一个完全平方式，则的值是
15．（2023八上·衡阳月考）已知的展开式中不含和项，则 ．
16．（2020八上·白云期末）求值： .
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·广汉期末）因式分解：
（1）
（2）
18．（2024八上·望城期末）计算
（1）；
（2）；
（3）．
19．（2024八上·临洮月考） 已知x+y＝5，xy＝4，求下列各式的值：
（1）x2+y2；
（2）（x﹣y）2．
20．（2024八上·遵义期末）现有长为a，宽为b的长方形卡片（如图①）若干张，某同学用4张卡片拼出了一个大正方形（不重叠、无缝隙，如图②）．
（1）图②中，大正方形的边长是 ，阴影部分正方形的边长是 ．（用含a，b的式子表示）
（2）用两种方法表示图②中阴影部分正方形的面积（不化简），并用一个等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab三者之间的数量关系．
（3）已知a+b＝8，ab＝7，求图②中阴影部分正方形的边长．
21．（2023八上·大余月考）下面是甲同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
．（第四步）
回答下列问题：
（1）甲同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．（填写序号）
①提公因式法 ②平方差公式法 ③两数和的完全平方公式法
（2）通过观察，我们知道甲同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的结果： ．
（3）请尝试对多项式进行因式分解．
22．（2023八上·太和月考）已知，用含a，b的式子表示下列代数式：
（1）．
（2）．
23．（2023八上·沙坪坝期中）阅读材料，完成下列问题．
材料：已知多项式有一个因式是2x＋1，求m的值．
解法一：设，
则：，
比较系数得：，解得：，∴；
解法二：设（A为整式）；
由于上式为恒等式，为方便计算了取，，故．
（1）已知多项式有两个因式分别是（x－1）和（x－2），求m和n的值；
（2）已知多项式除以x＋2所得的余数，比该多项式除以x＋3所得的余数少1，求k的值．
24．（2024八上·吉林期末）用图①中的1张边长为m的正方形M图纸、1张边长为n的正方形N图纸和2张边长分别为m，n的长方形D图纸拼成图②的一张大正方形图片，观察图形，并解答下列问题.
（1）由图②和图①可以得到关于面积的等式为 .
（2）小丽同学用图①中这三张图纸拼出一张面积为（2m+3n）（3m+2n）的大长方形图片，求需要M，N，D三种纸片各多少张.
（3）如图③，已知点P为线段AF上的动点，分别以PF，AP为边在AF的两侧作正方形PMEF和正方形APCD.若AF=5，且两个正方形的面积之和为S1＋S2=13，利用（1）中得到的结论求图③中阴影部分面积S△PCF.
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整式的乘除（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·衡山期中）如果 的结果不含x项，则m的值是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： ，
∵结果不含x项，
∴ ，
∴ ；
故答案为：C.
【分析】先根据多项式乘法法则将原式展开，再将其化成关于x的二次三项式，最后根据结果不含x项，故可令x项的系数为0，从而列出关于m的一元一次方程求解，即可解答.
2．（2024八上·红塔期中）计算20172－2016×2018的结果是（ ）
A．2 B．－2 C．－1 D．1
【答案】D
【解析】【解答】解：原式＝ ＝ ＝1，
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式算出2016×2018，最后计算减法即可。
3．（2024·攀枝花模拟）下列算式中，结果等于 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项不符合题意；
B、a2 a3=a5，符合题意；
C、（a2）3=a6，故此选项不符合题意；
D、a10÷a2=a8，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方及同底数幂的除法逐项判定即可。
4．（2023·交城模拟）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用同底数幂的乘法法则，平方差公式，幂的乘方法则，单项式除单项式法则计算求解即可。
5．（2023八上·余杭开学考）已知：，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：∵a2-b2=（a+b）（a-b），
∴原式=5×1=5.
故答案为：A.
【分析】利用平方差公式分解因式，再整体代入求值.
6．（2023八上·大余月考）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
=
故答案为：A.
【分析】根据积的乘方的逆运用进行求解即可.
7．（2023八上·沧州月考）要使多项式不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得，
∵要使多项式不含x的一次项，
∴m-2=0，
即m=2，
故答案为：C
【分析】先化简多项式，进而根据题意即可求解。
8．（2023八上·武汉月考）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，是单项式乘多项式，故不符合题意；
B、，是多项式乘多项式，故不符合题意；
C、，原题因式分解错误，不符合题意；
D、，是因式分解，符合题意；
故答案为：D
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.由定义进行判断即可.
9．（2021八上·东平月考）若 有一个因式为 ，则k的值为（ ）
A．17 B．51 C．－51 D．－57
【答案】C
【解析】【解答】解：设另一个因式为（4x-n），
则（4x-n）（x-3）=4x2+（-12-n）x+3n，
即4x2+5x+k=4x2+（-12-n）x+3n，
∴ ，
解得： ，
故k的值为-51．
故答案为：C．
【分析】先求出（4x-n）（x-3）=4x2+（-12-n）x+3n，再求出，最后计算求解即可。
10．（2018八上·长春月考）计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1的值是（ ）
A．1024 B．28+1 C．216+1 D．216
【答案】D
【解析】【解答】解：原式＝(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
＝(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
＝(24﹣1)(24+1)(28+1)+1
＝(28﹣1)(28+1)+1
＝216﹣1+1
＝216，
故答案为：D．
【分析】先在(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)前面乘以变形的1，即（2-1），利用两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，把(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)变成可以运用平方差公式的形式，再利用平方差公式计算即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024·金沙模拟）分解因式： .
【答案】
【解析】【解答】解：原式＝
＝ ，
故答案为： .
【分析】先提公因式，再根据完全平方公式分解即可.
12．（2024八上·扶余期末）计算： = ．
【答案】
【解析】【解答】
．
故答案为： ．
【分析】利用平方差公式计算即可。
13．（2023八上·洞口期中）， ．
【答案】
【解析】【解答】解：原式=
故答案为：
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的除法法则计算即可.
14．（2023八上·仁寿期中） 当是一个完全平方式，则的值是
【答案】
【解析】【解答】解：4x2+2kx+25=（2x±5）2，
∴2k=2×2×5或2k=-2×2×5，
∴k=10或k=-10；
故答案为：±10.
【分析】根据完全平方公式的含义，求出k的值。
15．（2023八上·衡阳月考）已知的展开式中不含和项，则 ．
【答案】10
【解析】【解答】解：
∴m-3=0，2-3m+n=0
∴m=3，n=7
∴m+n=10
故答案为：10.
【分析】本题考查整式乘法的计算方法，熟知整式乘法中多项式乘以多项式计算法则是解题关键，根据多项式乘以多项式计算法则展开合并，结合展开式中不含，可得m-3=0，2-3m+n=0解得m，n的值，即可得出答案.
16．（2020八上·白云期末）求值： .
【答案】
【解析】【解答】解：
=
=
=
故填 .
【分析】由题意平方差公式把每一项展开，然后直接约分运算即可得出答案.
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·广汉期末）因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【解析】【分析】（1）观察多项式，有公因式的先提公因式，然后考虑公式法，看能否应用完全平方公式或平方差公式，能进一步分解的要分解到不能再分解为止；
（2）公因式不明显，像a-1和1-a互为相反数，a-1=-（1-a），掌握这种小技巧提取公因式；利用平方差公式分解到无法再分。
18．（2024八上·望城期末）计算
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
【解析】【分析】（1）根据幂的乘方及同底数幂的乘方，再合并同类项即可求出答案.
（2）根据多项式除单项式去括号即可求出答案.
（3）根据平方差公式去括号即可求出答案.
19．（2024八上·临洮月考） 已知x+y＝5，xy＝4，求下列各式的值：
（1）x2+y2；
（2）（x﹣y）2．
【答案】（1）解：∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，∴当x+y＝5，xy＝4时，
x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×4＝17；
（2）解：∵（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，∴当x+y＝5，xy＝4时，
（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝52﹣4×4＝9．
【解析】【分析】（1）先将x2+y2进行恒等变形得到（x+y）2﹣2xy，结合已知条件即可求解；
（2）先将（x﹣y）2 进行恒等变形得到（x+y）2﹣4xy，结合已知条件即可求解；
20．（2024八上·遵义期末）现有长为a，宽为b的长方形卡片（如图①）若干张，某同学用4张卡片拼出了一个大正方形（不重叠、无缝隙，如图②）．
（1）图②中，大正方形的边长是 ，阴影部分正方形的边长是 ．（用含a，b的式子表示）
（2）用两种方法表示图②中阴影部分正方形的面积（不化简），并用一个等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab三者之间的数量关系．
（3）已知a+b＝8，ab＝7，求图②中阴影部分正方形的边长．
【答案】（1）a+b；a-b
（2）解：方法一：∵S阴影＝图2中大正方形的面积﹣4×图①中长方形的面积，
∴S阴影＝（a+b）2﹣4ab；
方法二：∵S阴影＝图2中小正方形的面积，
∴S阴影＝（a﹣b）2，
∴（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（3）解：∵a+b＝8，ab＝7，
∴82﹣4×7＝（a﹣b）2；
即（a﹣b）2＝36，
∵a﹣b＞0
∴a﹣b＝6．
∴阴影部分正方形的边长为6．
【解析】【解答】（1）根据题意可得：大正方形的边长是 （a+b），阴影部分正方形的边长是（a-b），
故答案为：a+b；a-b。
【分析】（1）利用线段的和差求出边长即可；
（2）利用不同的表示方法求出阴影部分的面积即可得到（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（3）先根据a+b＝8，ab＝7求出（a﹣b）2＝36，再求出a﹣b＝6即可.
21．（2023八上·大余月考）下面是甲同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
．（第四步）
回答下列问题：
（1）甲同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．（填写序号）
①提公因式法 ②平方差公式法 ③两数和的完全平方公式法
（2）通过观察，我们知道甲同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的结果： ．
（3）请尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）③
（2）
（3）设：，
原式
．
【解析】【解答】解：（1） 甲同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式法.
故答案为：③.
（2）设，原式，故答案为：．
【分析】（1）直接根据因式分解的方程进行求解即可；
（2）最后一步再进行完全平方公式进行分解即可；
（3）仿照题目中的解题过程， 设：， 使 原式 ，再进行分解即可.
22．（2023八上·太和月考）已知，用含a，b的式子表示下列代数式：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：；
（2）解：
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则求解。同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；
（2）根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则的逆运算求解。am+n=am.an，amn=(am)n。
23．（2023八上·沙坪坝期中）阅读材料，完成下列问题．
材料：已知多项式有一个因式是2x＋1，求m的值．
解法一：设，
则：，
比较系数得：，解得：，∴；
解法二：设（A为整式）；
由于上式为恒等式，为方便计算了取，，故．
（1）已知多项式有两个因式分别是（x－1）和（x－2），求m和n的值；
（2）已知多项式除以x＋2所得的余数，比该多项式除以x＋3所得的余数少1，求k的值．
【答案】（1）解：设，
令x＝1，则1－m＋2n－16＝0，
令x＝2，则16－8m＋4n－16＝0，
即，解得：，
（2）解：令，，
再令x＝－2，则－8＋4k＋3＝m；
令x＝－3，则－27＋9k＋3＝n；
∵多项式除以x＋2所得的余数，比该多项式除以x＋3所得的余数少1，
∴n－m＝1，
∴（9k－24）－（4k－5）＝1，
9k－24－4k＋5＝1，
5k＝20，
k＝4．
【解析】【分析】（1）设，再令x=1，x=2，从而列出关于m、n的方程，解之即可；
（2）令，，再令x=-2，x=-3，求出m、n，再根据题中m、n的关系，列出关于k的方程并解之即可.
24．（2024八上·吉林期末）用图①中的1张边长为m的正方形M图纸、1张边长为n的正方形N图纸和2张边长分别为m，n的长方形D图纸拼成图②的一张大正方形图片，观察图形，并解答下列问题.
（1）由图②和图①可以得到关于面积的等式为 .
（2）小丽同学用图①中这三张图纸拼出一张面积为（2m+3n）（3m+2n）的大长方形图片，求需要M，N，D三种纸片各多少张.
（3）如图③，已知点P为线段AF上的动点，分别以PF，AP为边在AF的两侧作正方形PMEF和正方形APCD.若AF=5，且两个正方形的面积之和为S1＋S2=13，利用（1）中得到的结论求图③中阴影部分面积S△PCF.
【答案】（1）(m＋n)2=m2＋2mn＋n2
（2）解：∵(2m＋3n)(3m＋2n)=6m2＋4mn＋9mn＋6n2=6m2＋13mn＋6n2，
∴需要M，N两种纸片各6张，D种纸片13张.
（3）解：设PF=m，AP=n.
∵AF=5，AF=AP＋PF，∴m＋n=5.
∵S1＋S2=13，∴m2＋n2=13.
∵(m＋n)2=m2＋2mn＋n2，
∴m2＋n2=(m＋n)2－2mn，13=52－2mn，mn=6.
∴S△PCF即S△PCF=3.
【解析】【解答】解：（1）观察图形可得：由图②和图①可以得到关于面积的等式为(m＋n)2=m2＋2mn＋n2，
故答案为：(m＋n)2=m2＋2mn＋n2 .
【分析】（1）观察图形，根据面积公式计算图形面积即可；
（2）利用多项式乘多项式的计算法则计算求解即可；
（3）根据题意先求出m＋n=5. 再求出mn=6，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
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