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一元二次方程（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·番禺月考）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·衡阳期中）用配方法解方程时，原方程变形为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·凉州月考）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·青县期末）关于的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
5．（2024九上·京山期中）将一元二次方程 4x2+5x＝81 化成一般式后，如果二次项系数是 4，则一次项系数和常数项分别是（ ）
A．5，81 B．5，﹣81 C．﹣5，81 D．5x，﹣81
6．（2024九上·衡阳期中）用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程变为（ ）
A．（x－2）2＝7 B．（x＋2）2＝1
C．（x－2）2＝1 D．（x＋2）2＝2
7．（2024九上·武汉月考）某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（ ）
A．10（1+x）2=36.4 B．10+10（1+x）2=36.4
C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D．10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4
8．（2024九上·宣威期中）若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－8x＋15＝0的一根，则这个三角形的周长为（ ）
A．5 B．3或5 C．13 D．11或13
9．（2023九上·醴陵月考）方程的根是（ ）
A． B．
C．， D．
10．（2023九上·巴东期中）将一元二次方程化成的形式，则（ ）
A．1 B． C．2023 D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023九上·武汉期中） 一元二次方程的较大实数根是 ．
12．（2023九上·广阳期末）2022年10月16日上午，举世瞩目的中共二十大召开．非凡十年、沧桑巨变．我国人均GDP从约3.6万元增加到8.1万元（新华网）．假如每一个5年里人均增长率不变，则人均增长率约为多少？设人均增长率为x，根据题意可列方程 ．
13．（2023九上·武汉期末）若一个长方形的长比宽多2，且面积为80，则宽是 ．
14．（2024九上·顺德期中）某电冰箱厂4月份的产量为1000台，由于市场需求量不断增大，6月份的产量提高到1210台，则该厂电冰箱产量从4月份到6月份的月平均增长率为 ．
15．（2024·毕节模拟）若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
16．（2024九上·平南期中）在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了90个红包，那么这个微信群共有 人．
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·长顺期中）解方程：
（1）
（2）
18．（2023九上·坪山月考）解方程：
（1）（x﹣1）2﹣16＝0；
（2）x2+4x+3＝0．
19．（2024九上·东莞期中）2021年脱贫攻坚战取得全面胜利，标志着我们党在团结带领人民创造美好生活、实现共同富裕的道路上迈出了坚实的一大步．某地区2020年脱贫人口人均纯收入约1万元，2022年脱贫人口人均纯收入增加到约万元．
（1）求2020年到2022年脱贫人口人均纯收入的年平均增长率；
（2）按照这个年平均增长率，预计2023年该地区脱贫人口人均纯收入是多少万元
20．（2024九上·惠阳月考）已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的底边长3，另两边长恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．
21．（2024九上·临海期末）某农场打算修建一个如图所示的矩形养鸡场 ， 养鸡场一面靠墙 (墙足够长)， 另外三面用总长为 20 m 的篱笆围成。
（1） 如果养鸡场的面积为 ， 则边 的长为多少
（2）养鸡场的面积能否达到 若能， 求出 的长； 若不能， 请说明理由.
22．（2024·曲靖模拟）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一种方式，如图所示是甜甜和她的妹妹在六一儿童节期间的对话：
请问：2020年到2022年甜甜和她妹妹在“六一”收到红包的年增长率是多少？
23．（2024九上·吉林高新技术产业开发期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高，广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈尺），那么门的高和宽各是多少？”（结果精确到）（参考数据：）
24．（2024九上·怀化期末）一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围．
（1）两个根的平方和为12；
（2）两个根均大于；
（3）．
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一元二次方程（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·番禺月考）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、 二元一次方程，故不符合题意；
B、 分式方程，故不符合题意；
C、 二元二次方程，故不符合题意；
D、， 一元二次方程，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此判断即可.
2．（2024九上·衡阳期中）用配方法解方程时，原方程变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】根据等式的性质变形，接着根据完全平方式配方即可求解.
3．（2024九上·凉州月考）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】根据题意
解得m=4
故选：A
【分析】根据根和判别式的关系，计算时的m值。
4．（2024九上·青县期末）关于的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
【答案】A
【解析】【解答】解：在关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-3=0中，a=1，b=m-2，c=-3，
∴△=b2-4ac=（m-2）2-4×1×（-3）=（m-2）2+12，
∵（m-2）2≥0，
∴（m-2）2+12＞0，
∴关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-3=0有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根；故算出方程根的判别式的值，进而结合偶数次幂的非负性即可判断得出答案.
5．（2024九上·京山期中）将一元二次方程 4x2+5x＝81 化成一般式后，如果二次项系数是 4，则一次项系数和常数项分别是（ ）
A．5，81 B．5，﹣81 C．﹣5，81 D．5x，﹣81
【答案】B
【解析】【解答】解：一元二次方程 4x2+5x＝81 化成一般式为 4x2+5x﹣81＝0， 二次项系数，一次项系数，常数项分别为 4，5，﹣81，
故答案为：B.
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项。
6．（2024九上·衡阳期中）用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程变为（ ）
A．（x－2）2＝7 B．（x＋2）2＝1
C．（x－2）2＝1 D．（x＋2）2＝2
【答案】C
【解析】【解答】解：x2+3=4x，
整理得：x2-4x=-3，
配方得：x2-4x+4=4-3，即（x-2）2=1.
故答案为：C.
【分析】将方程常数项移到右边，未知项移到左边，然后两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果.
7．（2024九上·武汉月考）某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（ ）
A．10（1+x）2=36.4 B．10+10（1+x）2=36.4
C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D．10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4
【答案】D
【解析】【解答】解：设二、三月份的月增长率是x，依题意有
10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4，
故选D．
【分析】等量关系为：一月份利润+一月份的利润×（1+增长率）+一月份的利润×（1+增长率）2=34.6，把相关数值代入计算即可．
8．（2024九上·宣威期中）若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－8x＋15＝0的一根，则这个三角形的周长为（ ）
A．5 B．3或5 C．13 D．11或13
【答案】C
【解析】【解答】解：x2－8x＋15＝0，
得：x1=3，x2=5；
当x=3时，三角形三边长为2、3、6，2+3<6，构不成三角形，故x=3不合题意；
当x=5时，三角形三边长为2、5、6，6-2＜5＜6+2，能构成三角形；
所以这个三角形的周长为5+6+2=13．
故答案为：C．
【分析】求出方程的两个根，根据三角形三边的关系，判断得到边长，计算得到三角形的周长即可。
9．（2023九上·醴陵月考）方程的根是（ ）
A． B．
C．， D．
【答案】C
【解析】【解答】解：x2-4=0，
x2=4，
x=±2，
∴x1=2，x2=-2.
故答案为：C.
【分析】观察方程特点：缺一次项，因此先移项，再利用直接开平方法解方程.
10．（2023九上·巴东期中）将一元二次方程化成的形式，则（ ）
A．1 B． C．2023 D．
【答案】D
【解析】【解答】解： 方程，移项，得，两边同除以2，得，两边同加上1，得，即，因为 将一元二次方程化成的形式 ，所以m=1，n=2，所以
故答案为：D.
【分析】先将方程化为形式，求得m，n的值，再代入求值.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023九上·武汉期中） 一元二次方程的较大实数根是 ．
【答案】x=2
【解析】【解答】解：，
∴
故答案为：2.
【分析】利用十字相乘法将原方程左边分解因式，进而根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式等于零，可将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求解.
12．（2023九上·广阳期末）2022年10月16日上午，举世瞩目的中共二十大召开．非凡十年、沧桑巨变．我国人均GDP从约3.6万元增加到8.1万元（新华网）．假如每一个5年里人均增长率不变，则人均增长率约为多少？设人均增长率为x，根据题意可列方程 ．
【答案】
【解析】【解答】解：依题意得：．
故答案为：．
【分析】本题考查一元二次方程的应用.假如每一个5年里人均增长率不变，根据“十年间，我国人均GDP从约3.6万元增加到8.1万元，利用增长率计算公式：可列出关于的一元二次方程．
13．（2023九上·武汉期末）若一个长方形的长比宽多2，且面积为80，则宽是 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：设长方形的宽为，则长为，
∴，
解得：，（不合题意舍去），
故答案为：8．
【分析】本题考查一元二次方程的应用.设长方形的宽为，根据长比宽多2，可得长为，再根据面积是80，利用矩形的面积公式可列出方程，再解方程可求出x的值，进而可求出答案.
14．（2024九上·顺德期中）某电冰箱厂4月份的产量为1000台，由于市场需求量不断增大，6月份的产量提高到1210台，则该厂电冰箱产量从4月份到6月份的月平均增长率为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设该厂电冰箱产量从4月份到6月份的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
故答案为：．
【分析】设该厂电冰箱产量从4月份到6月份的月平均增长率为x，根据4月份的产量为1000台，6月份的产量提高到1210台，列出方程，求解即可．
15．（2024·毕节模拟）若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k≤5
【解析】【解答】解：由题意得，42-4×1×（k-1）≥0，
解之得k≤5.
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
16．（2024九上·平南期中）在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了90个红包，那么这个微信群共有 人．
【答案】10
【解析】【解答】解：设这个微信群共有x人，则每人需发（x 1）个红包，
依题意得：x（x 1）＝90，
整理得：x2 x 90＝0，
解得：x1＝10，x2＝ 9（不合题意，舍去）．
故答案为：10．
【分析】根据题意列方程求解即可得到答案。
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·长顺期中）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，，，
∵，
∴，
∴，；
（2）解：∵，∴，
∴，
∴或，
∴，．
【解析】【分析】（1）首先明确，，，进而得出根的判别式大于0，进一步利用公式法即可求出方程的解；(2)首先把方程右边的项整体移到坐标，然后提取公因式，进行因式分解，进而根据因式分解法即可求解。
（1）解：，，，
∵，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
18．（2023九上·坪山月考）解方程：
（1）（x﹣1）2﹣16＝0；
（2）x2+4x+3＝0．
【答案】（1）解：由原方程得：（x﹣1）2＝16，
得x﹣1＝±4，
解得x1＝5，x2＝﹣3，
所以，原方程的解为x1＝5，x2＝﹣3；
（2）解：x2+4x+3＝0，
进行因式分解得：（x+3）（x+1）=0，
解得：x1=-1，x2=-3，
所以，原方程额解为x1=-1，x2=-3；
【解析】【分析】（1）、将“x-1”看成一个整体，此题缺一次项，可利用直接开平方法求解；首先举哀那个常数项移到方程的右边，然后利用平方根定义直接开方降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的根；
（2）、本题考查的是用因式分解法或公式法求解一元二次方程的根，因式分解法的步骤 1.将一元二次方程写成二项式相乘的形式2.通过观察找出符合要求的两个因式3.将两个因式分别设置为零.
19．（2024九上·东莞期中）2021年脱贫攻坚战取得全面胜利，标志着我们党在团结带领人民创造美好生活、实现共同富裕的道路上迈出了坚实的一大步．某地区2020年脱贫人口人均纯收入约1万元，2022年脱贫人口人均纯收入增加到约万元．
（1）求2020年到2022年脱贫人口人均纯收入的年平均增长率；
（2）按照这个年平均增长率，预计2023年该地区脱贫人口人均纯收入是多少万元
【答案】（1）解：设2020年到2022年脱贫人口人均纯收入的年平均增长率，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：2020年到2022年脱贫人口人均纯收入的年平均增长率为。
（2）解：（万元），
∴预计2023年该地区脱贫人口人均纯收入是万元．
【解析】【分析】（1）年平均增长率，根据两年内的人数变化，即可得出方程，求解即可；
（2）根据2022年的收入1.44，再加上增长的20%，即可得出 2023年该地区脱贫人口人均纯收入为（万元）；
20．（2024九上·惠阳月考）已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的底边长3，另两边长恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．
【答案】（1）解：∵
∴无论取何值，方程总有实数根
（2）解：∵等腰三角形的底边长3，另两边长恰好是这个方程的两根
∴该方程有两个相等的实数根
∴
解得：k=1
将k=1代入方程可得x2-4x+4=0
解得：x1=x2=2
∴此三角形的周长为：3+2+2=7
【解析】【分析】（1）根据二次方程判别式，可得方程有实数根.
（2）由题意可得该方程有两个相等的实数根，则，解方程可得k值，再将k值代入原方程，再解方程可得腰长，再根据三角形周长即可求出答案.
21．（2024九上·临海期末）某农场打算修建一个如图所示的矩形养鸡场 ， 养鸡场一面靠墙 (墙足够长)， 另外三面用总长为 20 m 的篱笆围成。
（1） 如果养鸡场的面积为 ， 则边 的长为多少
（2）养鸡场的面积能否达到 若能， 求出 的长； 若不能， 请说明理由.
【答案】（1）解： 设 ， 则 ，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
答： 当 长度是 4 m 或 6 m 时， 养鸡场的面积为 .
（2）解：由题意得： ，
整理得： ，
方程没有实数根，
养鸡场的面积不能达到 .
【解析】【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（20﹣2x）m，根据养鸡场的面积为48m2，列出一元二次方程，解方程即可；
（2）根据养鸡场的面积能达到51m2，列出一元二次方程，再由根的判别式
Δ＝-8＜0，得原方程没有实数根，即可得到答案．
22．（2024·曲靖模拟）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一种方式，如图所示是甜甜和她的妹妹在六一儿童节期间的对话：
请问：2020年到2022年甜甜和她妹妹在“六一”收到红包的年增长率是多少？
【答案】解：设甜甜和她妹妹在“六一”收到红包的年增长率是，依题意得：，
解得：（舍去），
∴，
答：2020年到2022年甜甜和她妹妹在“六一”收到红包的年增长率为
【解析】【分析】设甜甜和她妹妹在“六一”收到红包的年增长率是，根据题意列出其一元二次方程，进而即可求解。
23．（2024九上·吉林高新技术产业开发期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高，广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈尺），那么门的高和宽各是多少？”（结果精确到）（参考数据：）
【答案】解：设门的宽为尺，则门的高为尺，由题意得，
解得：，（舍去），
∴门的高为（尺），
答：门的高和宽各是尺和尺．
【解析】【分析】设门的宽为尺，则门的高为尺，根据勾股定理列出方程，进而解方程即可。
24．（2024九上·怀化期末）一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围．
（1）两个根的平方和为12；
（2）两个根均大于；
（3）．
【答案】（1）解：∵一元二次方程的根的平方和为12，
∴，
∴，
解得或2
（2）解：∵一元二次方程，∴
∴方程总有两个不相等的实数根，
∵一元二次方程两个根均大于2，
∴且
即
而
且
解得：
综上
（3）解：，则
解得：
整理得：
∴
【解析】【分析】（1）根据根于系数的关系得到，然后整理得到，整体代入解题即可．
（2）先根据根的判别式得到，再根据一元二次方程两个根均大于2，得到，解题即可．
（3）变形得出，代入，可得，然后解方程得到，解题即可．
（1）解：∵一元二次方程的根的平方和为12，
∴，
∴，
解得或2，
（2）解：∵一元二次方程，
∴
∴方程总有两个不相等的实数根，
∵一元二次方程两个根均大于2，
∴且
即
而
且
解得：
综上
（3）解：，
则
解得：
整理得：
∴．
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