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一元二次方程（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023九上·腾冲月考）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．9、3 B．9、 C．、 D．、3
2．（2023九上·开州期中）某品牌今年推出新品销售，1月份销售量为5万件，由于质量过硬，市场反馈良好，销售量逐月增加，一季度共销售万件，已知2、3两个月份销售量的月增长率相同．设2月份销售量的月增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·万源期末）用配方法解一元二次方程，下面配方正确的是
A． B．
C． D．
4．（2024九上·泸州期中）关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
5．（2024九上·遂宁月考）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
6．（2024九上·贵阳月考）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·珠海月考）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·双城月考）关于x的一元二次方程 的常数项是0，则m的值（ ）
A．1 B．1或2 C．2 D．
9．（2018九上·孝感月考）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为 ，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021九上·桐乡市月考）如图，直线y=x+6与反比例函数y=的图象相交于点C，D，与坐标轴相分别交于点A，B，作CE⊥y轴于点E，作DF⊥y轴于点F，过点E，F分别作EM∥AB，FN∥AB，分别交x轴于点M，N，线段DF与EM相交于点P．有以下说法：
①CEPD的面积等于PFNM的面积；
②CE=ON=BM；
③若CEPD与PFNM的面积和为12，则k=12．
其中正确的说法是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·扶余期末）近年来我市大力发展旅游产业，已知旅游总收入从2015年的150亿元上升到2017年的216亿元，设这两年旅游总收入的年平均增长率为x，则可列方程 ．
12．（2024八上·益阳开学考）方程x2-6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是 ．
13．（2024九上·衡阳期中）若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m= ．
14．（2024九上·越秀期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是 .
15．（2020九上·浙江期末）若方程 的根也是方程 的根，则 .
16．（2019九上·成都月考）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2=0的两个根记作an，bn（n≥2）， = ．
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·三门期末）解方程：
（1）
（2）
18．（2025九上·长沙开学考） 解方程
（1）
（2）
19．（2024九上·黔东南期末）如图，用一条长20m的绳子围成矩形，设边的长为．
（1）直接写出的长；（用含x的代数式表示）
（2）矩形的面积是否可以是？请给出你的结论，并用所学知识说明理由．
20．（2024九上·仁寿期末）已知△ABC的边BC长为5，另两边AB，AC的长分别为关于x的一元二次方程的两个实数根。
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=2时，请判断△ABC的形状并说明理由；
21．（2024九上·武侯期末）某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：
销售单价x（元/千克） 40 45 55 60
销售量y（千克） 80 70 50 40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，则每天的销售单价应为每千克多少元？
22．（2024九上·南山期末）已知： ABCD 的两邻边 AB，AD 的长是关于 x 的方程x2 - mx + 2m =0 的两个实数根．
（1）当 m 为何值时， ABCD 是菱形？
（2）若 AB 的长为 3，求 ABCD 的周长
23．（2024九上·绍兴期末）已知一次函数，反比例函数．
（1）若，两函数图象在第一象限内交点的横坐标是整数，求正整数k的值；
（2）若，两函数图象所有交点的横坐标都大于，求实数m的最大值．
24．（2023九上·滕州开学考）某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
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一元二次方程（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023九上·腾冲月考）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．9、3 B．9、 C．、 D．、3
【答案】D
【解析】【解答】解：
去括号得：
移项得：
一次项系数是-9，常数项是3.
故答案为：D.
【分析】根据去括号法则先去括号，再移项，转化为一般式，再指出一次项系数和常数项即可.
2．（2023九上·开州期中）某品牌今年推出新品销售，1月份销售量为5万件，由于质量过硬，市场反馈良好，销售量逐月增加，一季度共销售万件，已知2、3两个月份销售量的月增长率相同．设2月份销售量的月增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意可得，
一月份的销售量为5，
二月份的销售量为5（1+x），
三月份的销售量为5（1+x）（1+x）=5（1+x）2，
∴由一季度的销售量为23.75可得，5+5（1+x）+5（1+x）2=23.75；
故答案为：D.
【分析】根据题意，由1月份的销售量和2、3月份的增长率分别表示出2月份、3月份的销售量，继而列出方程即可。
3．（2024九上·万源期末）用配方法解一元二次方程，下面配方正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由原方程得，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】将常数项移到方程右边，方程两边都除以2将二次项系数化为1，然后在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“”，最后将方程左边写成完全平方式即可.
4．（2024九上·泸州期中）关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【答案】D
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(m 2)x2+5x+m2 2m=0的常数项为0，
∴ ，
解m 2≠0得m≠2；
解m2 2m=0得m=0或2．
∴m=0．
故答案为：D．
【分析】形如：ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）的方程就是一元二次方程，其中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项；根据一元二次方程的定义得出m-2≠0，根据常数项为0得出m2 2m=0，再联立求解，即可解答.
5．（2024九上·遂宁月考）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
【答案】B
【解析】【解答】解：解方程x2 12x＋35＝0
得x＝5或x＝7，
又3＋4＝7，
故长度为3，4，7的线段不能组成三角形，
∴x＝7不合题意，
∴三角形的周长为3＋4＋5＝12．
故答案为：B.
【分析】根据因式分解法求出方程的解，然后根据三角形的三边关系确定出三角形的三边长，据此可得周长.
6．（2024九上·贵阳月考）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、 ，其中 ， ， ，
，
∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、 ，其中 ， ， ，
，
∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、 ，其中 ， ， ，
，
∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、 ，其中 ， ， ，
，
∴方程没有的实数根，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】先将各选项中方程化为一般式，再计算根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.
7．（2024九上·珠海月考）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】设有x人参加这次聚会，依题可得：
=10，
故答案为：B．
【分析】每两人都握了一次手，所有人共握手10次，由此即可得出一元二次方程.
8．（2024九上·双城月考）关于x的一元二次方程 的常数项是0，则m的值（ ）
A．1 B．1或2 C．2 D．
【答案】C
【解析】【解答】∵关于 的一元二次方程 的常数项是0，
∴ ，解得： .
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的定义，二次项的系数不能为0，又此方程常数项为0，故得出混合组，求解得出m的值。
9．（2018九上·孝感月考）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为 ，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得，( 32 2 x ) ( 20 x ) = 570
【分析】将六块草坪拼为一块可得一个矩形，该矩形面积为六块草坪的面积和570m2。由图易得新矩形的长为(32 2x)m，宽为（20-x）m，所以可得方程( 32 2 x ) ( 20 x ) = 570
10．（2021九上·桐乡市月考）如图，直线y=x+6与反比例函数y=的图象相交于点C，D，与坐标轴相分别交于点A，B，作CE⊥y轴于点E，作DF⊥y轴于点F，过点E，F分别作EM∥AB，FN∥AB，分别交x轴于点M，N，线段DF与EM相交于点P．有以下说法：
①CEPD的面积等于PFNM的面积；
②CE=ON=BM；
③若CEPD与PFNM的面积和为12，则k=12．
其中正确的说法是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【解析】【解答】解：∵CE⊥y轴，DF⊥y轴，
∴CE∥DF∥x轴，
∵EM∥AB，FN∥AB，
∴四边形ECBM，ECPD，DFNB，PFNM是平行四边形，
∴EC=BM，
∵ 直线y=x+6与反比例函数y=的图象相交于点C，D，
∴S平行四边形DFNB=S平行四边形ECBM=k，
∴S平行四边形CEPD=S平行四边形PFNM，故①正确；
设点C（x1，y1），点D（x2，y2），
∵S平行四边形DFNB=S平行四边形ECBM=k，四边形CEPD与PFNM的面积和为12，
∴S平行四边形CEPD+S平行四边形PFNM=12，
∴S平行四边形DFNB-S平行四边形DPMB+S平行四边形ECBM-S平行四边形DPMB=12
∴k+k-2S平行四边形DPMB=12，
∴S平行四边形DPMB=k-6=DP·y2=CE·y2=x1·y2，
∴，
∵ 直线y=x+6与反比例函数y=的图象相交于点C，D，
∴x+6=
∴2x2-18x+3k=0
∴，
∴
∴；
∴，
∴
解之：k1=12，k2=，故③错误；
当k=12时，2x2-18x+36=0，
解之：x1=3，x2=9，
∴CE=BM=3，DF=BN=6，
当y=0时， y=x+6=0，
解之：x=9，
∴OB=9
∴ON=OB-BN=9-6=3，
∴ON=CE=BM，故②正确；
∴正确结论的序号为①②
故答案为：A.
【分析】利用已知易证四边形ECBM，ECPD，DFNB，PFNM是平行四边形，可得到EC=BM，利用反比例函数的几何意义可证得S平行四边形DFNB=S平行四边形ECBM=k，据此可推出S平行四边形CEPD=S平行四边形PFNM，可对故①作出判断；利用S平行四边形CEPD+S平行四边形PFNM=12，可推出k-6=x1·y2，利用点D在反比例函数图象上，可得到，再表示出x2，根据，可得到关于k的方程，解方程求出k的值，可对③作出判断；将k的再代入2x2-18x+3k=0，解方程求出x的值，可得到点C，D的横坐标，即可求出CE，DF，BN的长，再求出点B的坐标，可得到OB的长，即可求出ON的长，可对②作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·扶余期末）近年来我市大力发展旅游产业，已知旅游总收入从2015年的150亿元上升到2017年的216亿元，设这两年旅游总收入的年平均增长率为x，则可列方程 ．
【答案】150（1+x）2＝216
【解析】【解答】根据题意，得：150（1+x）2＝216
【分析】设这两年旅游总收入的年平均增长率为x，根据2015年的收入150亿元可得2016年的收入为150（1+x）亿元；再根据2016年的收入即可得2017年的收入为150（1+x）（1+x）亿元，即150（1+x）2，根据题意可得150（1+x）2＝216。
12．（2024八上·益阳开学考）方程x2-6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是 ．
【答案】10
【解析】【解答】解：解方程x2-6x+8＝0，
得x1＝2，x2＝4，
当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形；
当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，
∴等腰三角形周长=4+4+2＝10．
故答案为：10．
【分析】首先求出一元二次方程的根，再根据三角形三边关系判断符合题意的三边，再把三边相加即可求解.
13．（2024九上·衡阳期中）若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m= ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，
∴m+2≠0，|m|=2，
解得：m=2，
故答案为：2．
【分析】根据一元二次方程的定义得出m+2≠0，|m|=2，求出即可．
14．（2024九上·越秀期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是 .
【答案】m≤1
【解析】【解答】由一元二次方程x2+2x+m=0可知a=1，b=2，c=m，
∵方程有实数根，
∴△=22-4m≥0，解得m≤1．
故答案为：m≤1．
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于m的不等式是解答此题的关键
15．（2020九上·浙江期末）若方程 的根也是方程 的根，则 .
【答案】-5
【解析】【解答】解：∵ x2-3x+1=0， ∴x2=3x-1，
∴x4+ax2+bx+c=(3x-1)2+ax2+bx+c=0，
∴9x2-6x+1+ax2+bx+c=0，
∴(9+a)x2+(b-6)x+c+1=0，
∵ x2-3x+1=0，
∵x1+x2= ， ∴3a+b=-21，
∵x1x2==1， ∴a=c-8，
∴3a+b=a+b+2a=a+b+2(c-8)=a+b+2c-16=-21，
∴a+b+2c=-21+16=-5.
故答案为：-5.
【分析】由x2-3x+1=0得x2=3x-1， 代入x4+ax2+bx+c=0中把x4降次，再根据根与系数的关系列式，求出a、b、c的关系，再将原式变形即可求值.
16．（2019九上·成都月考）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2=0的两个根记作an，bn（n≥2）， = ．
【答案】
【解析】【解答】解：由根与系数的关系得an+bn=n+2，an bn=-2n2，
所以（an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），
则
=
=
=
故答案为：
【分析】由根与系数的关系得an+bn=n+2，an bn=-2n2，所以（an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），则 ，然后代入即可求解．
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·三门期末）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
或
，
【解析】【分析】（1）运用直接开方法解一元二次方程；
（2）运用因式分解法解一元二次方程.
（1）解：
（2）解：
或
，
18．（2025九上·长沙开学考） 解方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：3x(x+6)=x+6
3x(x+6)-(x+6)=0
(x+6)(3x-1)=0
x+6=0或3x-1=0
【解析】【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可.
19．（2024九上·黔东南期末）如图，用一条长20m的绳子围成矩形，设边的长为．
（1）直接写出的长；（用含x的代数式表示）
（2）矩形的面积是否可以是？请给出你的结论，并用所学知识说明理由．
【答案】（1）解：（）
（2）解：矩形ABCD的面积不可以是60，理由如下：
设矩形ABCD的面积可以是60，则
整理，得：
∵
∴方程无解
∴矩形ABCD的面积不可以是60
【解析】【解答】（1）∵矩形ABCD的周长为20m，的长为，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）利用矩形的性质及线段的和差求出即可；
（2）根据题意可得，再求解并判断即可.
20．（2024九上·仁寿期末）已知△ABC的边BC长为5，另两边AB，AC的长分别为关于x的一元二次方程的两个实数根。
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=2时，请判断△ABC的形状并说明理由；
【答案】（1）证明：△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当k=2时，
∴原方程化为：x2-7x+12=0，
解得：x=3或x=4，
∴32+42=52，
∴△ABC是直角三角形；
【解析】【分析】（1）根据判别式计算出，即可证得无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）先把k=2代入方程整理得x2-7x+12=0， 解方程得x=3或x=4，根据勾股定理逆定理即可判断三角形的形状.
21．（2024九上·武侯期末）某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：
销售单价x（元/千克） 40 45 55 60
销售量y（千克） 80 70 50 40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，则每天的销售单价应为每千克多少元？
【答案】（1）解：设y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式为，
则，解得：，
y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式为；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，，
销售单价不低于成本价，且不高于60元，
即每天的销售单价应为每千克元．
【解析】【分析】 (1)设y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式为，从表中先两组数据代入，利用待定系数求出其解析式即可.
（2）由题意得：， 解方程即可求解.
22．（2024九上·南山期末）已知： ABCD 的两邻边 AB，AD 的长是关于 x 的方程x2 - mx + 2m =0 的两个实数根．
（1）当 m 为何值时， ABCD 是菱形？
（2）若 AB 的长为 3，求 ABCD 的周长
【答案】（1）当AB=AD时， ABCD是菱形，
即AB，AD的长是关于x的方程x2-mx+2m=0的两个相等的实数根，
∴Δ=(-m)2-4×2m=0，
解得m1=0，m2=8，
∵AB+AD=m>0，AB·AD=2m>0，
∴m的值为8
（2）∵AB=3，
∴3+AD=m，3AD=2m，
∴，
解得AD=6，
∴ ABCD的周长=2(3+6)=18
【解析】【分析】(1)根据菱形的判定得到AB=AD，再利用根的判别式的意义得到Δ=(-m)2-4×2m=0，解得m1=0，m2=8，然后根据根与系数的关系得到AB+AD=m>0，AB·AD=2m>0，从而确定m的值；
(2)利用根与的关系得到3+AD=m，3AD=2m，解方程组得到AD=6，然后根据平行四边形的性质求解.
23．（2024九上·绍兴期末）已知一次函数，反比例函数．
（1）若，两函数图象在第一象限内交点的横坐标是整数，求正整数k的值；
（2）若，两函数图象所有交点的横坐标都大于，求实数m的最大值．
【答案】（1）解：∵，
∴一次函数，反比例函数．
，
，
都是正整数，
∴或，
或（舍去），
验证得当时符合题设，
。
（2）解：∵，∴一次函数，
，
，
，令，则，
∵两函数图象所有交点的横坐标都大于，
∴，
，
所以当且仅当，即时等号成立，
的最大值为．
【解析】【分析】本题考查一次函数和反比例函数交点问题，二次函数的图象和性质．
（1） 当，两函数图象在第一象限内交点的横坐标是整数可得：，再根据都是正整数，可列出方程组或，解方程组可求出k的值，据此可求出答案；
（2）当 时，一次函数为，进而可得，变形可得：，采用换元法令，则，再由函数图象所有交点的横坐标都大于，令，通过配方可得：，利用二次函数的性质可求出m的最大值.
（1）解：∵，
∴一次函数，反比例函数．
，
，
都是正整数，
∴或，
或（舍去），
验证得当时符合题设，
；
（2）解：∵，
∴一次函数，
，
，
，令，则，
∵两函数图象所有交点的横坐标都大于，
∴，
，
所以当且仅当，即时等号成立，
的最大值为．
24．（2023九上·滕州开学考）某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
【答案】（1）解：设每次降价的百分率为x，
依题意得：3000（1-x）2＝2430，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）
答：每次降价的百分率是10%；
（2）解：假设下调a个50元，依题意得：5000＝（2900-2500-50a）（8+4a）．
解得a1＝a2＝3．
所以下调150元，因此定价为2750元．
【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为X，根据降价后的价格=降价前的价格(1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是60（1-X） ，第二次后的价格是60（1-X）2 元，据此既可以列出方程求解。
（2）假设下调a个50元，销售利润=一台冰箱的利润×销售冰箱数量，一台冰箱的利润=售价-进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一个减一个加”，根据每台的盈利×销售的件数=5000，既可以列出方程并求解。
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