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第2章 对称图形——圆（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·武胜期末）同一平面内，已知的直径是，线段，则点与的位置关系是（ ）
A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定
2．（2024九上·红塔期末）如图，点在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·贵州期末）如图，点A，B，C，D都在上，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·浙江期末）如图，在矩形中，，，若以点为圆心，4为半径作，则下列各点在外的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
5．（2024九上·长兴期末）如图是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于点．若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·杭州期中）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．以点C为圆心，4为半径画圆，则（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点B在圆上 D．点B在圆外
7．（2023九上·丰台期中） 雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为（ ）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
8．（2024九上·六安月考）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ）
A．36° B．54° C．18° D．28°
9．（2024·深圳模拟）乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则桥拱半径OC为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．8m
10．（2024九上·磐石期末）如图，已知∠ACB是⊙O的圆周角，∠ACB=50°，则圆心角∠AOB是（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·杭州期末）已知圆弧的度数是，半径是，则该圆弧的长是 ．
12．（2024九上·鹿寨期末）若⊙O的半径为3，点P为平面内一点，OP＝2，那么点P在⊙O （填“上”、“内部”或“外部”）
13．（2024九上·鄞州期中）一个扇形的半径为3cm，面积为 ，则此扇形的圆心角为 .
14．（2024九上·江门期末）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径作弧，分别交边于点，则阴影部分的面积为 ．
15．（2024九上·杭州期末）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点C是运行轨道的最低点，则点C到弦的距离为 ．
16．（2024九上·三门期末）如图，正五边形内接于，则的度数为 ．
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·乐清期中）如图，A是⊙O上一点，BC是直径，点D在⊙O上且平分．
（1）连接AD，求∠BAD的度数；
（2）若，AB＝8，求AC的长．
18．（2023九上·苍溪期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16.求AE的长.
19．（2020九上·中山期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，求线段AE的长。
20．（2019九上·淮阴期末）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为P，且CD＝2 ，BP＝1，求⊙O的半径.
21．（2023九上·吉林期中） 如图，是的直径，是的中点，于，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
22．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC=6 cm，AC=8 cm，∠ABD=45 ．
（1）求BD的长．
（2）求图中阴影部分的面积．
23．（2023九上·义乌月考）如图，扇形OAB的圆心角为，半径为.
（1）求出此扇形的面积.
（2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），求圆锥的底面半径.
24．（2023九上·乌鲁木齐月考） 如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连接.
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的半径.
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第2章 对称图形——圆（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·武胜期末）同一平面内，已知的直径是，线段，则点与的位置关系是（ ）
A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得3＞，
∴点P位于外，
故答案为：A
【分析】根据点与圆的位置关系结合题意比较即可求解。
2．（2024九上·红塔期末）如图，点在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵，，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用圆周角的性质可得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍求解即可.
3．（2024九上·贵州期末）如图，点A，B，C，D都在上，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据圆周角定理可得：
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】利用圆周角定理得到，再根据得到，然后利用解题即可．
4．（2024九上·浙江期末）如图，在矩形中，，，若以点为圆心，4为半径作，则下列各点在外的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵以点为圆心，4为半径作，如图所示，连接，
∴，
∴点在外，
故答案为：D ．
【分析】根据勾股定理求的长，再根据“，点在圆内；，点在圆上；，点在圆外”解题即可．
5．（2024九上·长兴期末）如图是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于点．若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，．
在中，根据勾股定理，得，
∴，
∴，
∴．
根据弧长公式，得，
∴．
故答案为：B．
【分析】先利用垂径定理得到，即可得到，然后利用勾股定理求出长，和的度数，然后利用弧长公式解题即可．
6．（2024九上·杭州期中）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．以点C为圆心，4为半径画圆，则（ ）
A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点B在圆上 D．点B在圆外
【答案】C
【解析】【解答】解：根据勾股定理得BC=4，因此B在以C为圆心，4为半径的圆上；
故答案为：C.
【分析】点与圆的位置关系：d＞r，点在圆外；d=r，点在圆上；d＜r，点在圆内；题目中由勾股定理求出BC长，即可得到C与A、C与B的距离d，从判断A、B与圆的位置关系：A在圆内，B在圆上.
7．（2023九上·丰台期中） 雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为（ ）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
【答案】B
【解析】【解答】如图，观察图象可得，能被雷达监测到的最远点为N，
故答案为B.
【分析】以点P为圆心，5为半径作圆即可得出结论.
8．（2024九上·六安月考）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ）
A．36° B．54° C．18° D．28°
【答案】A
【解析】【解答】根据圆周角定理可知，∠AOB=2∠ACB=72°，则∠ACB=36°，
故答案为：A．
【分析】由圆周角定理即可求出.
9．（2024·深圳模拟）乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则桥拱半径OC为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．8m
【答案】B
【解析】【解答】解：连接BO，
由题意可得：AD=BD=4m，设B半径OC=xm，
则DO=（8﹣x）m，
由勾股定理可得：x2=（8﹣x）2+42，
解得：x=5．
故选：B．
【分析】连接OA，设OB=OC=x，则OD=8﹣x，根据垂径定理得出BD，然后根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可得出答案．
10．（2024九上·磐石期末）如图，已知∠ACB是⊙O的圆周角，∠ACB=50°，则圆心角∠AOB是（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠ACB=50°，
∴∠AOB=2∠ACB=100°．
故选D．
【分析】根据同弧所对圆心角是圆周角2倍，可得∠AOB=2∠ACB=100°．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·杭州期末）已知圆弧的度数是，半径是，则该圆弧的长是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：该圆弧的长是．
故答案为：3π．
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系可得该圆弧所对的圆心角为60°，然后根据弧长公式“ ”直接计算即可.
12．（2024九上·鹿寨期末）若⊙O的半径为3，点P为平面内一点，OP＝2，那么点P在⊙O （填“上”、“内部”或“外部”）
【答案】内部
【解析】【解答】∵⊙O的半径r＝3，
∵OP＝2，
∵
∴点P在⊙O内部，
故答案为：内部.
【分析】设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上，当d＞r时，点在圆外，据此判断即可.
13．（2024九上·鄞州期中）一个扇形的半径为3cm，面积为 ，则此扇形的圆心角为 .
【答案】40°
【解析】【解答】根据扇形的面积计算公式可得： =π，解得：n=40°，即圆心角的度数为40°.
【分析】根据扇形面积=可列方程求解.
14．（2024九上·江门期末）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径作弧，分别交边于点，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接，过点作，垂足为，如图所示，
∵，
∴，
，
则，
以点C为圆心，的长为半径作弧，
，又，
是等边三角形，
，
，
，
∴
，
故答案为：．
【分析】连接，过点作，垂足为，根据三角形内角和定理可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得AB=6，根据勾股定理可得BC，由等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据含30° 角的直角三角形性质可得，再根据，结合三角形，扇形面积即可求出答案.
15．（2024九上·杭州期末）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点C是运行轨道的最低点，则点C到弦的距离为 ．
【答案】2米
【解析】【解答】解：如图，连接、，交于点，
由题意得：米，，
（米，，
（米，
米，
故答案为：2米．
【分析】连接、，交于点，根据垂径定理可得（米，然后根据勾股定理求出OD长即可解题．
16．（2024九上·三门期末）如图，正五边形内接于，则的度数为 ．
【答案】
【解析】【解答】解： ∵五边形为的内接正五边形，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴．
故答案为：.
【分析】根据正五边形的内角和得到，再利用圆内接四边形的对角互补解题．
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·乐清期中）如图，A是⊙O上一点，BC是直径，点D在⊙O上且平分．
（1）连接AD，求∠BAD的度数；
（2）若，AB＝8，求AC的长．
【答案】（1）解：∵BC是直径
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵点D在⊙O上且平分，
∴＝，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45°；
（2）解：∵＝，
∴BD＝CD＝5，
∵∠BDC＝90°，
∴BC＝CD＝10，
∵AB＝8，∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴AC＝＝6．
【解析】【分析】（1） 首先根据直径BC判断出∠BDC=90°，再根据点D在⊙O上且平分，推断出=，从而得出∠BAD=∠BDC=×90°=45°.
（2）已知CD=，根据=，得出CD=BD，BC是直径，所以∠BDC=90°，根据勾股定理求出BC的长，已知AB=8，∠BAC=90度，根据勾股定理再求出AC的长即可.
18．（2023九上·苍溪期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16.求AE的长.
【答案】解：如图，连接OC，
∵CD⊥AB，CD＝16.
∴CE＝DE＝ CD＝8，
∵AB＝20，
∴OA＝OB＝OC＝ AB＝10，
∴OE＝ ＝ ＝6，
则AE＝OA-OE＝10-6＝4.
【解析】【分析】 连接OC， 根据垂径定理可得CE=8，在Rt△COE中，利用勾股定理算出OE的长，进而根据AE=OA-OE即可算出答案.
19．（2020九上·中山期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，求线段AE的长。
【答案】解：连接OC，
∵AB=10，∴OC=OA=5，
∵CD⊥AB，∴CE= CD= ×8=4，
在Rt△OCE中，OE= =3，
∴AE=OA-OE=5-3=2
【解析】【分析】 连接OC， 根据垂径定理和勾股定理，即可求出OE的值，进而即可得到答案.
20．（2019九上·淮阴期末）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为P，且CD＝2 ，BP＝1，求⊙O的半径.
【答案】解：连接OC.
∵CD⊥⊙O的直径AB，
∴CP＝DP＝ CD＝ ，
设⊙O的半径为r.
∵△OPC是直角三角形，
∴OC2＝PC2+OP2，
∴r2＝（ ）2+（r﹣1）2，
∴r＝ ，
∴⊙O的半径为 .
【解析】【分析】连接OC.设⊙O的半径为r.根据OC2＝PC2+OP2，构建方程即可解决问题.
21．（2023九上·吉林期中） 如图，是的直径，是的中点，于，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：延长交于点，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
；
（2）解：是的直径，
，
，，
，
在中，，
的半径为．
【解析】【分析】（1）延长交于点，利用弧与圆心角的关系可得，再利用等量代换可得，最后利用等角对等边的性质可得；
（2）利用勾股定理求出AB的长可得圆的直径，再求出圆的半径即可.
22．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC=6 cm，AC=8 cm，∠ABD=45 ．
（1）求BD的长．
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：连结OD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB= 90°．
∵BC=6 cm，AC=8 cm，
∴AB= 10 cm，
∴OB= 5 cm．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABD=45°，
∴∠ BOD=90°，
∴BD= cm．
（2）解：S阴影=(cm2)．
【解析】【分析】（1）连结OD，根据圆周角定理得到∠ACB= 90°．进而根据勾股定理求出AB，从而得到OB，再根据等腰直角三角形得到∠ BOD=90°，从而根据勾股定理即可求出BD；
（2）根据扇形的面积结合三角形的面积结合即可求解。
23．（2023九上·义乌月考）如图，扇形OAB的圆心角为，半径为.
（1）求出此扇形的面积.
（2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），求圆锥的底面半径.
【答案】（1）解：扇形的面积等于12πcm2.
（2）解：， 则圆锥的底面周长为 .
设圆锥的底面半径为r，则2πr=4π，解得r=2.
即圆锥的底面半径为2cm.
【解析】【分析】（1）根据圆锥的侧面积等于扇形AOB的面积；
（2）因为扇形围成一个圆锥的侧面，圆锥的底面圆的周长是扇形的弧长，借助扇形弧长公式可以求出圆锥的底面半径.
24．（2023九上·乌鲁木齐月考） 如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连接.
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的半径.
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
是的切线，
，
为的中点，
，
，
，，
，
，
与相切；
（2）解：，，
，
由（1）可知，，
，
设，
，
，
，
解得，
故的半径为．
【解析】【分析】（1）连接，进而根据切线的性质得到，再根据题意得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而根据切线的判定即可求解；
（2）先根据题意求出EF，进而根据勾股定理求出AF，设，根据三角形的面积结合题意即可求出x.
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