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对称图形——圆（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·五华期末）AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是（ ）
A．25° B．35° C．15° D．20°
2．（2024九上·常州月考）已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定
3．（2024九上·蛟河期末）如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（ ）
A．4圈 B．3圈 C．5圈 D．3.5圈
4．（2024九上·东阳期末）已知⊙O的半径为2，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024九上·连云港月考）⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d是方程x2-6x+9=0的两根，则点A与⊙O的位置关系是 （ ）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外 D．点A不在⊙O上
6．（2024九上·大丰月考）下列语句中，正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023九上·大城期中）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作，下列判断正确的是（ ）
A．与轴相交 B．与轴相切
C．点在外 D．点在内
8．（2025·兴宁模拟）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·绍兴期末）如图，是的直径，，弦是上的动点，取的中点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·平阳月考）如图，C是以为直径的半圆O上一点，连接，，分别以，为直径向外作半圆，，的中点分别为D，E，连接，，若要求出的长，只需知道（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023九上·大同期中）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 ．
12．（2023九上·南宁期中） 直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B，C不重合），若∠A＝40°，则∠BDC的度数是 ．
13．（2023九上·温州期中）若扇形的圆心角是，半径为6，则该扇形的弧长为
14．（2023九上·张湾期中）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于 ．
15．（2024九上·游仙期末）如图，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．
16．（2024·余姚期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM=CM；② ；③⊙O的直径为2；④AE=AD．其中正确的结论有 （填序号）．
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·东莞期中）如图所示，已知为的直径，是弦，且于点．连接、、．
（1）若，求的度数．
（2）若，，求的直径．
18．（2023九上·滨江期中）如图，AB=AC，AB为⊙O直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连结ED、BE．
（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由
（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．
19．（2023九上·香洲期中）如图，是的内接三角形，，经过圆心O交于点E，连接，．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
20．如图，
AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在⊙O上，FD恰好经过圆心O，连结FB．
（1）若∠F=∠D，求∠F的度数．
（2）若CD=24，BE=8，求⊙O的半径．
21．（2023九上·金华月考）如图，正方形网格中有一段弧，弧上三点A，B，C均在格点上．
（1）请作图找出圆心P的位置，并写出它的坐标．
（2）求的长度．
22．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）请判断△ABC的形状并说明理由．
（2）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大 求出最大面积．
23．（2023九上·鹿城月考）如图，△ABD内接于半圆O，AB是直径，点C是弧BD的中点，连结OC，AC，分别交BD于点F、E．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
24．（2023九上·绍兴期中）如图，是的直径，，过D作，垂足为点E，的延长线交于点F，.
（1）求的度数
（2）求的长．
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对称图形——圆（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·五华期末）AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是（ ）
A．25° B．35° C．15° D．20°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=65°，
∴∠CAB=25°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB=25°，
故答案为：A．
【分析】根据AB是⊙O的直径，得出∠ACB=90°，从而得出∠CAB=25°，即可得解。
2．（2024九上·常州月考）已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，
∴d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．
故答案为：A．
【分析】根据点与圆的位置关系求解即可。
3．（2024九上·蛟河期末）如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（ ）
A．4圈 B．3圈 C．5圈 D．3.5圈
【答案】A
【解析】【解答】解：设圆的周长是C，
则圆所走的路程是圆心所走过的路程即等边三角形的周长+三条圆心角是120°的弧长=4C，
则这个圆共转了4C÷C=4圈．
故选A．
【分析】根据圆所走的路程是圆心所走过的路程即等边三角形的周长+三条圆心角是120°的弧长=4C选择．
4．（2024九上·东阳期末）已知⊙O的半径为2，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：∵点P在 ⊙O内，∴OP故答案为：A.
【分析】当点P在圆内时，OPr，据此分析求解即可.
5．（2024九上·连云港月考）⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d是方程x2-6x+9=0的两根，则点A与⊙O的位置关系是 （ ）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外 D．点A不在⊙O上
【答案】B
【解析】【解答】解：由x2-6x+9=0解得：x1=x2=3，则R=d=3，所以点A在⊙O上，故答案为：B.
【分析】先解方程求出R与d的值，再由大小关系判断位置即可
6．（2024九上·大丰月考）下列语句中，正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中.
②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等.
③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧.
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.正确.
故答案为：A.
【分析】根据同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等可判断A；根据弦所对的弧有两条可判断B；根据等弧的概念可判断C；根据圆的对称性可判断D.
7．（2023九上·大城期中）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作，下列判断正确的是（ ）
A．与轴相交 B．与轴相切
C．点在外 D．点在内
【答案】C
【解析】【解答】
如图所示
∵ 点A（1，3）
∴ 点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，
∵以点A（1，3）为圆心，2为半径作
∴与x轴相离·········选项A错误；
与y轴相交··········选项B错误；
OA=，点O在外··········选项C正确；
点A到点(1，1)的线段长为2，与半径相等，则点A（1，1）在上··········选项D错误；
故答案为：C
【分析】本题考查直线和圆的位置关系，点和圆的位置关系。点到圆心的距离大于半径，点在圆外；点到圆心的距离等于半径，点在圆上；点到圆心的距离小于于半径，点在圆内；圆心到直线的距离d＞r，则直线与圆相离；圆心到直线的距离d=r，则直线与圆相切；圆心到直线的距离d小于r，则直线与圆相交。根据点A（1，3）可得点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，圆的半径为2，而作出判断。
8．（2025·兴宁模拟）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为∶C．
【分析】根据弧长公式∶求解即可．
9．（2024九上·绍兴期末）如图，是的直径，，弦是上的动点，取的中点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹为以为直径的，连接，
∵，
∴当点在的延长线上时，的值最大，
∵是的直径，，弦，
∴，
∴是等边三角形，
，
取的中点，连接，
则，，
在中，，
，
，
∴的最大值为，
故答案为：A．
【分析】连接，首先得到点在以为直径的上运动，连接，即可得到当点在的延长线上时，的值最大，然后根据勾股定理求出长解题．
10．（2023九上·平阳月考）如图，C是以为直径的半圆O上一点，连接，，分别以，为直径向外作半圆，，的中点分别为D，E，连接，，若要求出的长，只需知道（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
【答案】C
【解析】【解答】解：连接交于，连接、、，记交于，如图所示：
∵C是以为直径的半圆O上一点，
∴，，
∴点在的垂直平分线上，也在垂直平分线上，
∵，的中点分别为D，E，
∴，，
∴，，
∴点D在的垂直平分线上，点E在垂直平分线上，
∴垂直平分，垂直平分，
∴点和点分别是和的中点，即点和点分别是以，为直径向外所作半圆的圆心，
∴，，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
∴，即点C、D、E在同一直线上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴若要求出的长，只需知道的长即可，
故答案为：C．
【分析】先证出和是等腰直角三角形，可得，再求出，可得是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得若要求出的长，只需知道的长即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023九上·大同期中）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接，过点O作于点C，如图：
由题意可知：，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：；
故答案为：．
【分析】连接，过点O作于点C，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积．
12．（2023九上·南宁期中） 直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B，C不重合），若∠A＝40°，则∠BDC的度数是 ．
【答案】25°或155°
【解析】【解答】解：如图，
连接OB，
∵AB与圆O相切于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=40°，
∴∠AOB=50°，
∵点D是圆O上的动点（D与B、C不重合），
∴∠BDC=∠BOA=25°；
如图，
连接OB，
∵AB与圆O相切于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=40°，
∴∠AOB=50°，
∵点D是圆O上的动点（D与B、C不重合），
∴∠BEC=∠BOA=25°；
∵四边形BDCE为圆内接四边形，
∴∠BEC+∠BDC=180°，
∴∠BDC=180°-25°=155°.
∴∠BDC的度数是25°或155°.
故答案为：25°或155°.
【分析】根据切线的性质、同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半和圆内接四边形对角互补可以求出答案.
13．（2023九上·温州期中）若扇形的圆心角是，半径为6，则该扇形的弧长为
【答案】
【解析】【解答】解：∵扇形圆心角，半径为6，∴扇形的弧长为.
故答案为：.
【分析】根据扇形的弧长计算公式求解即可.
14．（2023九上·张湾期中）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径 ，∴∠ACB=90°，∵∠D=60°，∴∠A=∠D=60°，∴∠ABC=30°，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴AB=2AC=2×2=4，∴.
故答案为：.
【分析】本题考查了圆周角和含30°角的解特殊直角三角形的知识.根据直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等，得出△ABC是特殊的直角三角形，此步骤是解决本题的关键，最后利用勾股定理即可求出BC的长.
15．（2024九上·游仙期末）如图，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得当为的边上的高时，直径最短，
如图，连接，过O点作，
在中，，
∴，即此时圆的直径最小为8，
∵，
由等腰三角形的性质可得：，
由垂径定理可得：，
∴，
在中，，∴，
∴，
∵
∴最小时，最小，也就是最小，
∵
∴，，
∴，即最小为，
故答案为：
【分析】根据线段的定义结合题意得到当为的边上的高时，直径最短，连接，过O点作，进而根据等腰三角形的性质得到，从而根据垂径定理得到，再结合题意根据勾股定理得到，从而结合题意得到最小时，最小，也就是最小，进而即可求解。
16．（2024·余姚期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM=CM；② ；③⊙O的直径为2；④AE=AD．其中正确的结论有 （填序号）．
【答案】①②④
【解析】【解答】解：如下图，连接AM，连接MB，过点O作OG⊥AM，OH⊥AM，
∵∠BAD=∠CDA=90°，
∴AM过圆心O，而A、D、M、B四点共圆，
∴四边形ADMB为矩形，
∵AB=1，CD=2，
∴CM=2-1=1=AB=DM，
故①正确；
又∵AB∥CD，
∴四边形ABMC为平行四边形，
∴∠AEB=∠MAE， = ，
故②正确；
∵四边形ADMB为矩形，
∴AB=DM，
∴ = ，
∴=，
∴∠DAM=∠EAM，
过点O作OG⊥AM，OH⊥AM，
∴OG=OH，
∴AD=AE，
故④正确；
由题设条件求不出直径的大小，
故③⊙O的直径为2，错误；
故答案为：①②④.
【分析】①根据圆周角定理和圆的内接四边形可知四边形ADMB为矩形，从而可求得DM=CM，故①正确；
②根据平行四边形的判定可知四边形ABMC为平行四边形，由平行线的性质可知∠AEB=∠MAE，从而可得 ②正确；
③由题设条件求不出直径的大小，故③错误；
④根据矩形的性质和弦、弧之间的关系可得=，从而可得∠DAM=∠EAM，再由角平分线的性质可得OG=OH，从而可得④正确.
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·东莞期中）如图所示，已知为的直径，是弦，且于点．连接、、．
（1）若，求的度数．
（2）若，，求的直径．
【答案】（1）解：，
，
为的直径，是弦，且，
，
；
（2）解：设的半径为，则，，
，，
，
在中，，
，解得：，
的直径为．
【解析】【分析】（1）由同圆半径相等及等边对等角可得，由垂径定理即可求得，然后根据圆周角定理，可得；
（2）设的半径为，则，，由垂径定理可得，在中，利用勾股定理建立关于x方程，解之即可．
（1）解：，
，
为的直径，是弦，且，
，
；
（2）设的半径为，则，，
，，
，
在中，，
，解得：，
的直径为．
18．（2023九上·滨江期中）如图，AB=AC，AB为⊙O直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连结ED、BE．
（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由
（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．
【答案】解：（1）DE=BD，理由如下：
如图，连接AD，
∵AB是圆O的直径，
∴AD⊥BC，
∵在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，
∴∠CAD=∠BAD（等腰三角形三线合一），
∴弧ED=弧BD，
∴DE=BD；
（2）∵在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=BC=3，∠ADB=90°，
∴，
∵AB=AC=5，
∴AC BE=CB AD，
∴BE=4.8．
【解析】【解答】（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角得AD⊥BC，由等腰三角形的三线合一推出AD平分，再由同圆相等的圆周角所对的弧相等即可得出，进而再根据等弧所对的弦相等证得DE=DB；
（2）先根据等腰三角形的三线合一求出BD的长，再由勾股定理求出AD长，由直径所对的圆周角是直角，得BE⊥AC，由等面积法得出AC BE=CB AD，代入计算出BE的长．
19．（2023九上·香洲期中）如图，是的内接三角形，，经过圆心O交于点E，连接，．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：直线与相切，
理由：如图，连接，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线与相切；
（2）解：如（1）中图，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积．
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，连接，可证△OBE是等边三角形，利用等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到，利用解直角三角形得到，BD的长，由阴影部分的面积进行计算即可．
（1）解：直线与相切，
理由：如图，连接，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线与相切；
（2）解：如（1）中图，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积．
20．如图，
AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在⊙O上，FD恰好经过圆心O，连结FB．
（1）若∠F=∠D，求∠F的度数．
（2）若CD=24，BE=8，求⊙O的半径．
【答案】（1）解：∵OF=OB，∴∠B=∠F，
∴∠DOB=∠B+∠F=2∠B．
∵∠DOE+∠D=90°，
∴2∠B+∠D=90°．
∵∠F=∠B=∠D，∴2∠D+∠D= 90°，
∴∠D=30°．
∴∠F= 30°；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵AB⊥CD，
∴CE= DE= CD= ×24=12．
在Rt△ODE中，OE=OB- BE=r- 8，0D=r，
∵OE2+ DE2=OD2 ，
∴(r-8)2+122=r2 ，解得r=13，
∴⊙O的半径为13.
【解析】【分析】（1）由OF=OB可得∠B=∠F，根据三角形外角的性质可得∠DOB=∠B+∠F=2∠B，从而得出∠DOE+∠D=2∠B+∠D=90°，结合∠B=∠D可求出∠D的度数，继而得解；
（2）设⊙O的半径为r，由垂径定理可得DE= CD=12，在Rt△ODE中，利用勾股定理建立关于r的方程并解之即可.
21．（2023九上·金华月考）如图，正方形网格中有一段弧，弧上三点A，B，C均在格点上．
（1）请作图找出圆心P的位置，并写出它的坐标．
（2）求的长度．
【答案】（1）解：如图所示，
P（-2，1）；
（2）解：∵ AP2=10，CP2=10，AC2=20，
∴ AP2+CP2=AC2，
即∠APC=90°，
∴=，
=.
答：的长度为 .
【解析】【分析】（1）分别作AB，BC的垂直平分线，交点即为P，写出它的坐标，即可求得.
（2）根据弧长公式计算即可.
22．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）请判断△ABC的形状并说明理由．
（2）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大 求出最大面积．
【答案】（1）解：△ABC是等边三角形．理由如下：
在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=21APC．
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形
（2）解：当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下：
如图，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB=AB·PE，S△ABC=AB·CF，
∴S四边形APBC=AB·(PE+CF)．
当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB=，
∴S四边形APBC最大=×2×=
【解析】【分析】(1)利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；
(2)过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积.
23．（2023九上·鹿城月考）如图，△ABD内接于半圆O，AB是直径，点C是弧BD的中点，连结OC，AC，分别交BD于点F、E．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：点为弧的中点，
，
是半圆的直径，
，
；
（2）解：连结BC，
是半圆的直径，
，
设，则，
即，
解得，
∴OF=1.4，
∵点O是AB的中点，点F是BD的中点，
∴OF是的中位线，
【解析】【分析】（1）由垂径定理的推论：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，可得OC⊥BD；由直径所对的圆周角是直角，可得AD⊥BD，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，所以OC//AD；
（2）由（1）可知，OC垂直平分BD，又OC//AD，可得OF是 ABD的中位线，故AD=2OF，那么求出OF就可以求出AD的长；已知AB=10，AC=8，连接BC，由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，根据勾股定理得BC=6，设OF=x，在Rt OFB中，OF=x，OB=5 ，BF2=OB2-OF2，在Rt CFB中，CF=5-x，BC=6，BF2=CB2-CF2，故52-x2=62-(5-x)2，解得x=1.4，故AD=2OF=2.8.
24．（2023九上·绍兴期中）如图，是的直径，，过D作，垂足为点E，的延长线交于点F，.
（1）求的度数
（2）求的长．
【答案】（1）解：如图，连接，
∵，∴，
∵是的直径，
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴，
∵，，且是直径，
∴，，
∴，，
∴
【解析】【分析】（1）连接BD，根据圆周角推论可知∠B=30°和∠ADB=90°，∠DAB即可求得；
（2）根据直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半得AD和AE，再根据勾股定理得DE，根据垂径定理得DE=EF，DF即可求得.
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