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相似形（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·深圳期中）已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·宁波期中）若，则（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2024九上·诸暨月考）如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·宁波期中）已知5x＝4y（y≠0），则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·任丘期末）如图，小明在打网球时，要使球恰好能过网，而且落在离网的位置上，则球拍击球的高度应为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·杭州期中）若3x=4y（xy≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．= B． C． D．
7．下列说法中不一定正确的是( )
A．两个全等的三角形是相似三角形
B．两个等边三角形是相似三角形
C．两个等腰直角三角形是相似三角形
D．两个直角三角形是相似三角形
8．（2024九上·双峰期末）已知a，b，c，d是比例线段．若，求c的值（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·佛山期中）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DEAB），那么小管口径DE的长度是（ ）
A．5毫米 B．毫米 C．毫米 D．2毫米
10．（2023九上·金沙期中）某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（ ）
A．4.14米 B．2.56米 C．6.70米 D．3.82米
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·乐山期末）已知，相似比为，若的面积为2，则的面积为 ．
12．（2024九上·南岸期末）若，则 ．
13．（2024·深圳模拟） 若，则 .
14．（2023九上·永修期中）如图，已知矩形矩形，，，则的长为 ．
15．（2023九上·西安期中） 已知，则＝ ．
16．（2023九上·闵行期中） 已知：点P是线段AB的黄金分割点， 其中AP较短，若AB＝10，则AP＝ .
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·鄞州月考）已知：如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．
（1）求证：△ABD∽△CBA．
（2）若△ABC的周长为11，请求出AD的长．
18．如图，已知△ABC∽△ADE，AE=6，EC=4，BC=8，∠A=40°，∠C=35°．求：
（1）∠AED和∠ADE的大小．
（2）DE的长．
19．（2023九上·大名月考）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且.
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，求的长.
20．（2023九上·鄞州期中）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上．
（1）在图1中以线段AB为边画一个，使其与相似，但不全等．
（2）在图2中画一个，使其与相似，且面积为8．
21．（2023九上·渠县期中）已知，且．
（1）求的值．
（2）若，是方程的两根，求的值．
22．（2023九上·鹿城月考）如图，在方格中，是格点三角形（三角形的顶点在格点上），按要求画图：
（1）要求在图1的方格中，画一个与相似且相似比为整数（不为1）的格点三角形．
（2）要求在图2的方格中，画一个与相似且相似比为无理数的格点三角形．
23．（2023九上·南京月考）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED＝∠B，AG分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：AC＝DF：CG．求证：
（1）AG平分∠BAC；
（2）EF CG＝DF BG．
24．（2023九上·香坊月考）如图1，△ABC与△EBD都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BED＝90°，AB＝AC，EB＝ED，连接AE、CD．
（1）求证： ；
（2）如图2，当BE平分∠ABC，点C在DE上时，直接写出图中所有与∠ABE相等的角．
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相似形（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·深圳期中）已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、由，则x与y的比例是，只是其中一特殊值，故此项不符合题意；
B、由，可化为，故此项不符合题意；
C、由，得，故此项不符合题意；
D、由，可化为，故此项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据比例的基本性质，分别对各选项进行适当的变形，即可得出答案。
2．（2024九上·宁波期中）若，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由可知：，
∴；
故答案为：B．
【分析】由已知的等式变形将a用含b的代数式表示得：，然后代入所求代数式计算即可求解．
3．（2024九上·诸暨月考）如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、由，，得，故A不符合题意；
B、由，，得，故B不符合题意；
C、由，，不能推断，故C符合题意；
D、由，，得，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定：①两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似；②有两组角对应相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似.据此逐项进行判断即可.
4．（2024·宁波期中）已知5x＝4y（y≠0），则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：
∴ A、B、C选项不符合题意，D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用内项之积等于外项之积对各选项进行判断.
5．（2024九上·任丘期末）如图，小明在打网球时，要使球恰好能过网，而且落在离网的位置上，则球拍击球的高度应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】本题考查相似三角形的应用.根据，利用相似三角形的判定定理可推出：，再利用相似三角形的性质：相似三角形的对应线段成比例，据此可得：，再代入数据进行计算可求出答案.
6．（2024九上·杭州期中）若3x=4y（xy≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．= B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、由比例的性质，得3x=4y，故A正确；
B、由比例的性质，得xy=12，故B错误；
C、由比例的性质，得4x=3y，故C错误；
D、由比例的性质，得4x=3y，故D错误；
故选：A．
【分析】根据比例的性质，可得答案．
7．下列说法中不一定正确的是( )
A．两个全等的三角形是相似三角形
B．两个等边三角形是相似三角形
C．两个等腰直角三角形是相似三角形
D．两个直角三角形是相似三角形
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵全等是特殊的相似，∴A正确；
B、∵等边三角形都是相似三角形，符合三边对应成比例，∴B正确；
C、∵两个等腰直角三角形是相似三角形，各角对应相等，∴C正确；
D、∵两个直角三角形不一定是相似三角形，如一副三角板里的两个直角三角形，∴D错误．
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法（①三边对应成比例的两个三角形相似，②有两组角对应相等的两个三角形相似，③两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似）逐项分析判断即可.
8．（2024九上·双峰期末）已知a，b，c，d是比例线段．若，求c的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解∶因为a，b，c，d是成比例线段，，
可得：，
故答案为：D．
【分析】利用成比例线段的定义解题．
9．（2024九上·佛山期中）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DEAB），那么小管口径DE的长度是（ ）
A．5毫米 B．毫米 C．毫米 D．2毫米
【答案】B
【解析】【解答】解：∵DEAB，
∴△CDE∽△CAB，
∴，即，
解得：DE=，
故答案为：B．
【分析】先证出△CDE∽△CAB，再利用相似三角形的性质可得，即，最后求出DE的长即可.
10．（2023九上·金沙期中）某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（ ）
A．4.14米 B．2.56米 C．6.70米 D．3.82米
【答案】A
【解析】【解答】解：设该车车身总长为xm，
汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置 ，
汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618xm，
x-0.618x=1.58，
解得xm，
故答案为：A.
【分析】设该车车身总长为xm，根据黄金分割的定义得到汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618xm，列出方程，解方程得x得值即可求解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·乐山期末）已知，相似比为，若的面积为2，则的面积为 ．
【答案】50
【解析】【解答】解：∵，相似比为，
∴面积比为，
∵的面积为2，
∴的面积为2×25=50，
故答案为：50
【分析】根据相似三角形的性质结合题意即可求解。
12．（2024九上·南岸期末）若，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由可得，
∴．
故答案为：
【分析】先根据比例得到，进而代入约分即可求解。
13．（2024·深圳模拟） 若，则 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：
【分析】根据比的性质即可求出答案.
14．（2023九上·永修期中）如图，已知矩形矩形，，，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵矩形矩形，
∴，即，
∴（负值舍去），
故答案为：．
【分析】根据相似多边形对应边成比例得到，代入数据，即可求解．
15．（2023九上·西安期中） 已知，则＝ ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：.
【分析】利用等比的性质，可求出结果.
16．（2023九上·闵行期中） 已知：点P是线段AB的黄金分割点， 其中AP较短，若AB＝10，则AP＝ .
【答案】
【解析】【解答】解：∵点P是线段的黄金分割点，其中较短，，
，
，
故答案为：．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算．
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·鄞州月考）已知：如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．
（1）求证：△ABD∽△CBA．
（2）若△ABC的周长为11，请求出AD的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
且，
∴．
（2）解：∵△ABC的周长为11，，，∴AC=5，
∵，
∴
∴AD=2.5
【解析】【分析】(1)根据数量关系得，结合得到；
(2)根据三角形周长公式先求出AC=5，再根据相似比求AD的长．
18．如图，已知△ABC∽△ADE，AE=6，EC=4，BC=8，∠A=40°，∠C=35°．求：
（1）∠AED和∠ADE的大小．
（2）DE的长．
【答案】（1）解：由图和已知： ∠A=40°，∠C=35°，
由三角形内角和定理可算得∠B=180°-（∠A+∠C）=180°-（40°＋35°） =105°，
又 △ABC∽△ADE，
∴∠AED=∠C=35°，∠ADE=∠B=105°.
（2）解：由已知AE=6，EC=4， 得AC=AE+EC=10，又 BC=8，
由相似三角形的性质得，
即，
解之得.
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理先算得∠B，再由相似三角形的性质对应角相等可得∠AED和∠ADE的大小；
（2）先由已知 AE=6，EC=4，算得AC，再由三角形相似的性质对应边成比例列比例式可算得DE的长.
19．（2023九上·大名月考）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且.
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，求的长.
【答案】（1）解：∵，∴，即，解得；
（2）解：∵，∴，即，解得.
【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例。
（1）根据得，则可知；
（2）根据得，根据 得，得.
20．（2023九上·鄞州期中）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上．
（1）在图1中以线段AB为边画一个，使其与相似，但不全等．
（2）在图2中画一个，使其与相似，且面积为8．
【答案】（1）解：解：如图，△ABD即为所求；
（2）解：如图，△EFG即为所求．
【解析】【分析】（1）由图可知，AC=2，根据网格特点画AD⊥AB，使AD=即可；
（2）由AC=2，BC=4，画出直角边分别为2，4的直角三角形EFG即可．
（1）解：如图，△ABD即为所求；
（2）如图，△EFG即为所求．
21．（2023九上·渠县期中）已知，且．
（1）求的值．
（2）若，是方程的两根，求的值．
【答案】（1），∴，，，
∴；
（2）∵，
∴一元二次方程为，
∵，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根式，
∵，是方程的两根，
∴，，
∴．
【解析】【分析】本题考查比例的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，完全平方公式.（1）根据，利用比例线段的性质可得：，，，再代入k的进行式进行化简，可求出k的值；
（2）根据方程先找出a，b，c的值，再根据方程有两个实数根，利用根的判别式进行计算可得：，利用一元二次方程根与系数的关系可得：，，利用完全平方公式变形可得：，将，代入式子进行计算可求出答案.
22．（2023九上·鹿城月考）如图，在方格中，是格点三角形（三角形的顶点在格点上），按要求画图：
（1）要求在图1的方格中，画一个与相似且相似比为整数（不为1）的格点三角形．
（2）要求在图2的方格中，画一个与相似且相似比为无理数的格点三角形．
【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
相似比：；
（2）解：设相似三角形的性质将对应边的比为，则，
，，，
，，，
如图所示，即为所求，
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定方法及作图方法作出图形即可；（2）利用相似三角形的判定方法及作图方法作出图形即可.
（1）解：如图所示：即为所求；
相似比：；
（2）解：设相似三角形的性质将对应边的比为，则，
，，，
，，，
如图所示，即为所求，
23．（2023九上·南京月考）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED＝∠B，AG分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：AC＝DF：CG．求证：
（1）AG平分∠BAC；
（2）EF CG＝DF BG．
【答案】（1）解：如图所示：
∵∠DAE+∠AED+∠ADE＝180°，
∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∠AED＝∠B，
∴∠ADE＝∠C，
在△ADF和△ACG中，
∴△ADF∽△ACG，
∴∠DAF＝∠CAG，
∴AG平分∠BAC；
（2）解：在△AEF和△ABG中，
，
∴△AEF∽△ABG，
∴，
在△ADF和△AGC中，
，
∴△ADF∽△AGC，
∴，
∴，
∴EF CG＝DF BG．
【解析】【分析】（1）由 ∠AED＝∠B 得∠ADE＝∠C，结合AD：AC＝DF：CG 即得△ADF∽△ACG，得AG平分∠BAC；
（2）由△AEF∽△ABG得， 同时由△ADF∽△AGC得，即有，即EF CG＝DF BG.
24．（2023九上·香坊月考）如图1，△ABC与△EBD都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BED＝90°，AB＝AC，EB＝ED，连接AE、CD．
（1）求证： ；
（2）如图2，当BE平分∠ABC，点C在DE上时，直接写出图中所有与∠ABE相等的角．
【答案】（1）证明：∵△ABC与△EBD都是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠EBD＝45°， ，
∴∠ABE＝∠CBD，，
∴△ABE∽△CBD，
∴，
∴．
（2）∵BE平分∠ABC，
∴，
∵∠EBD＝45°，∠D＝45°，
∴∠CBD＝22.5°，∠BCE＝∠CBD+∠D＝45°+22.5°＝67.5°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝22.5°，
同理（1）可得：△ABE∽△CBD，
∴∠BAE＝∠DCB＝180°﹣∠CBD﹣∠D＝180°﹣22.5°﹣45°＝112.5°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAE＝22.5°，
∴与∠ABE相等的角有：∠CAE，∠ACE，∠CBD，∠CBE．
【解析】【解答】解：（1）∵与都是等腰直角三角形
∴，
∴，
∴
∴
∴
（2）∵平分
∴
∵，
∴，
∵
∴
同理（1）可得：
∴
∵
∴
∴与相等的角有：，，，
【分析】本题考查相似三角形判断与性质，等腰直角三角形的性质．
（1）利用等腰三角形的性质可推出，，利用相似三角形的判定定理可证明，再根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，可证明结论；
（2）根据角平分线的性质可求出，利用三角形的内角和定理可求出∠CBD＝22.5°，∠CAE＝22.5°，利用三角形的外角和定理可求出∠ACE＝22.5°，据此可求出答案；
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