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相似形（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023九上·义乌月考）用放大镜将一个的面积放大为原来的4倍，则放大后的（ ）
A．是原来的4倍 B．周长是原来的2倍
C．对应边长是原来的4倍 D．对应中线长是原来的4倍
2．（2023九上·朝阳期中）小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示若三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
3．（2023九上·永康月考）已知点P是线段AB的黄金分割点，APPB，若AB=4，则PB=（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·新化月考）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，若AB＝2，则PB＝（ ）
A． B． C．3﹣ D．﹣1
5．（2024九上·昌平期中）如果，那么下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·凤山期末）如图，已知是一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是（ ）
A．48mm B．80mm C．20mm D．46mm
7．（2024九上·张掖期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．5cm，6cm，7cm，8cm B．3cm，6cm，2cm，5cm
C．2cm，4cm，6cm，8cm D．2cm，3cm，4cm，6cm
8．（2024九上·汝城期末）如图所示，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆高1.2m，测得1.6m，12.4m. 则建筑物的高是（ ）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
9．（2024九上·来宾期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与轴、轴分别交于A、B，与反比例函数在第一象限的图象交于点E，F，过点作轴于M．过点作轴于，直线EM与FN交于点，若，则与的面积之比是（ ）
A．2：3 B．3：2 C．2：1 D．3：1
10．（2023九上·杨浦期中）如图，在中，点、分别在边、上，四边形是平行四边形，点、在边上，交于点．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（ ）
A．①正确②错误 B．①错误②正确
C．①、②皆正确 D．①、②皆错误
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023九上·西安期中） 某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车的倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（即车尾与倒车镜的距离与车长之比为），如果车头与倒车镜的水平距离为2米（如图），则该车车身总长为 米．
12．（2023九上·浙江期中）已知是线段AB的黄金分割点，且，则线段 .
13．（2023九上·小店期中） 五边形五边形，相似比为，若，则 .
14．（2024九上·成都月考）如图，已知ABC∽AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝ ．
15．（2024·昆明模拟）如图，在 中， ， 分别是边 ， 的中点.若 的面积为 .则四边形 的面积为 .
16．（2024九上·仁寿期末）在中，，，连接，若，，的面积为7.5，则 ．
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·汉川期中）小知识：古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（）的某一部分（）与另一部分（）之比，如果正好等于另一部分（）同整个线段（）的比（即），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（）的点称为线段的“黄金分割点”，在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长20米的舞台上，主持人从点到点走多少米，他的站台最得体？（取）
18．（2023九上·衡阳期末） 如图，在中，为边上一点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
19．（2023九上·衡阳月考）在锐角中，点、分别在、上，于点，于，.
（1）求证：；
（2）若，，求的值.
20．（2023九上·临平月考）已知，线段a，b，c，且．
（1）求的值．
（2）设，线段a，b，c满足a+b+c＝27，求k的值．
21．（2023九上·长兴月考）由36个边长为1的小正方形组成的网格中，线段的两个端点在格点上．
（1）如图1，，也在格点上，连结，相交于点，求的值和的长；
（2）如图2，仅用无刻度直尺在线段上找一点，使得．
22．（2023九上·南开月考）如图，在和中，，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
23．（2023九上·达州期中） 如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似。
（3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位。
24．（2023九上·罗湖月考）如图，在菱形ABCD中，P是它对角线上面的一个点，连接CP后并延长，交CD于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：∠DCP＝∠DAP；
（2）如果PE＝4，EF＝7，求线段PC的长．
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相似形（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023九上·义乌月考）用放大镜将一个的面积放大为原来的4倍，则放大后的（ ）
A．是原来的4倍 B．周长是原来的2倍
C．对应边长是原来的4倍 D．对应中线长是原来的4倍
【答案】B
【解析】【解答】解：∵放大前后的两三角形相似，
∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长以及对应边的中线均为原来的2倍，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变.
2．（2023九上·朝阳期中）小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示若三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：根据图可知所在海拔差为，所在海拔差为，
则
故答案为：A．
【分析】利用平行线分线段成比例，和的比值等于它们对应的海拔差比值，据此求解．
3．（2023九上·永康月考）已知点P是线段AB的黄金分割点，APPB，若AB=4，则PB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，AB=4，
∴AP=AB=×4=2-2，
∴PB=AB-AP=4-（2-2）=4-2+2=6-2，
故答案为：C.
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答.
4．（2023九上·新化月考）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，若AB＝2，则PB＝（ ）
A． B． C．3﹣ D．﹣1
【答案】C
【解析】【解答】解：当AP＞BP时，
，
，
故答案为：C．
【分析】黄金比=，就是较长的线段与原线段的比值，也是较短的线段与较长的线段的比值，据此求解。
5．（2024九上·昌平期中）如果，那么下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得：
如果，则
故答案为：B
【分析】根据比例的性质即可求出答案.
6．（2024九上·凤山期末）如图，已知是一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是（ ）
A．48mm B．80mm C．20mm D．46mm
【答案】A
【解析】【解答】解：设正方形的边长为x（ mm），
则AI=AD-x=80-x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，
∴
即：
解得x=48mm，
故答案为：A．
【分析】通过证明△AEF∽△ABC，再利用相似三角形的对应边成比例求解.
7．（2024九上·张掖期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．5cm，6cm，7cm，8cm B．3cm，6cm，2cm，5cm
C．2cm，4cm，6cm，8cm D．2cm，3cm，4cm，6cm
【答案】D
【解析】【解答】解：A．，A不符合题意；
B．，B不符合题意；
C．，C不符合题意；
D．，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据比例线段的性质结合题意对选项逐一分析即可求解。
8．（2024九上·汝城期末）如图所示，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆高1.2m，测得1.6m，12.4m. 则建筑物的高是（ ）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
【答案】B
【解析】【解答】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴，即，
∴CD=10.5（米）．
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的判定与性质结合题意即可求解。
9．（2024九上·来宾期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与轴、轴分别交于A、B，与反比例函数在第一象限的图象交于点E，F，过点作轴于M．过点作轴于，直线EM与FN交于点，若，则与的面积之比是（ ）
A．2：3 B．3：2 C．2：1 D．3：1
【答案】C
【解析】【解答】解：过点F作于点R，于点W，如图所示：
∵轴，，
∴，
∴，
∵点E、F在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
设E点坐标为，则F点坐标为：，
∴，
∵
，
∴，
故答案为：C
【分析】过点F作于点R，于点W，先根据平行线的判定结合平行线分线段成比例得到，进而根据反比例函数图象上的几何意义得到，即，设E点坐标为，则F点坐标为：，根据三角形的面积结合题意得到，从而即可得到比值。
10．（2023九上·杨浦期中）如图，在中，点、分别在边、上，四边形是平行四边形，点、在边上，交于点．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（ ）
A．①正确②错误 B．①错误②正确
C．①、②皆正确 D．①、②皆错误
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，即，
∴，故①正确；
设交于点，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，故②正确；
故答案为：C．
【分析】证明△BDF∽△BAN，△CEG∽△CAN，可推导出，，可证明‰正确，证明△ADE∽△ABC，△ADH∽△ABN，可，，推导出可证明②正确。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023九上·西安期中） 某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车的倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（即车尾与倒车镜的距离与车长之比为），如果车头与倒车镜的水平距离为2米（如图），则该车车身总长为 米．
【答案】（3+）
【解析】【解答】解：设该车车身总长为xm，根据题意得
解之：.
故答案为：.
【分析】设该车车身总长为xm ，利用车尾与倒车镜的距离与车长之比为，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
12．（2023九上·浙江期中）已知是线段AB的黄金分割点，且，则线段 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC为较长线段，
∴AC＝AB，
∵AB＝6，
∴．
故答案为：．
【分析】根据黄金分割的定义，知AC为较长线段，则AC＝AB，然后把AB＝6代入计算即可．
13．（2023九上·小店期中） 五边形五边形，相似比为，若，则 .
【答案】6
【解析】【解答】∵五边形五边形，相似比为，
∴，
∵AB=2，
∴A'B'=3AB=3×2=6，
故答案为：6.
【分析】利用相似多边形的性质可得，再将AB的长代入计算即可.
14．（2024九上·成都月考）如图，已知ABC∽AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝ ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△AMN，
∴，
∵M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，
∴AM＝MC＝4，
∴，
解得AN＝，
故答案为：．
【分析】根据相似得出△ABC∽△AMN，推出，再根据M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，得出AM＝MC＝4，代入计算即可。
15．（2024·昆明模拟）如图，在 中， ， 分别是边 ， 的中点.若 的面积为 .则四边形 的面积为 .
【答案】
【解析】【解答】解： 点 ， 分别是边 ， 的中点
，即
又
则四边形 的面积为
故答案为： .
【分析】易知DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，DE=BC，证明△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可得△ABC的面积，然后根据S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE进行求解.
16．（2024九上·仁寿期末）在中，，，连接，若，，的面积为7.5，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵BD∥AC，
∴∠3=∠2=∠1，
又∵，
∴2∠3+∠5=90°，
过点C作CF⊥BD交BD的延长线于点F，
∴∠3+∠4+∠5=90°，
∴∠3=∠4，
又∵∠F=∠F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵∠1=∠3，∠AEB=∠CFB=90°，
∴，
∴，
设AE=5x，则CE=BE=6x，
，
解得x2=，
∴AB=，
故答案是：
【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，进而根据平行线的性质得到∠3=∠2=∠1，过点C作CF⊥BD交BD的延长线于点F，进而结合题意运用相似三角形的判定与性质证明即可得到，再证明即可得到， 设AE=5x，则CE=BE=6x，从而根据三角形的面积结合勾股定理即可求解。
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·汉川期中）小知识：古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（）的某一部分（）与另一部分（）之比，如果正好等于另一部分（）同整个线段（）的比（即），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（）的点称为线段的“黄金分割点”，在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长20米的舞台上，主持人从点到点走多少米，他的站台最得体？（取）
【答案】解：设米，则米，
根据题意得：当，即，
解得：（舍去），，
米，
此时主持人从A点到B点走8米；
当，即，
，
解得：，（舍去），
米，
此时主持人从A点到B点走12米；
综上：主持人从A点到B点走8米或12米他的站台最得体．
【解析】【分析】设米，根据题意，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，列出方程即，解方程即可求出答案.
18．（2023九上·衡阳期末） 如图，在中，为边上一点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，，
；
（2）解：，
，
，，
．
【解析】【分析】（1）直接利用三角形相似的判定定理：有两个角相等的三角形时相似三角形，即可求解；
（2）根据相似三角形的性质得到比例式， 代入数据进行计算即可求解.
19．（2023九上·衡阳月考）在锐角中，点、分别在、上，于点，于，.
（1）求证：；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）证明于点，于，
，
，
在和中，，，
（2）解：，
.
，，
.
【解析】【分析】（1）先根据垂直的定义得到，结合图形利用直角三角形两锐角的关系得到得到 ，再根据已知条件可得，根据相似三角形的判定条件即可得出结论；
（2）根据，得到，结合证明，根据相似三角形的性质得到，代入数据计算即可求解.
20．（2023九上·临平月考）已知，线段a，b，c，且．
（1）求的值．
（2）设，线段a，b，c满足a+b+c＝27，求k的值．
【答案】（1）解：∵＝，
∴＝，
∴＝，
（2）解：设＝＝＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b+c＝27，
∴2k+3k+4k＝27，
∴k＝3．
【解析】【分析】
(1)根据已知得出a：b的值，再求a+b/b的值即可。
(2)设比值为k，用k表示出 a，b，c，再根据a+b+c=27列方程求出k .
21．（2023九上·长兴月考）由36个边长为1的小正方形组成的网格中，线段的两个端点在格点上．
（1）如图1，，也在格点上，连结，相交于点，求的值和的长；
（2）如图2，仅用无刻度直尺在线段上找一点，使得．
【答案】（1）解：由图知：，，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠B，∠C=∠D，
∴△AOC∽△BOD，
∴，
∵，
∴.
（2）解：从A向左取两个格为E，过B向右取三个格为F，连结EF交AB与点M，
∵AE∥BF，
∴∠A=∠B，∠E=∠F，
∴△AEM∽△BFM，
∴，
如图，点是所求作的点．
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠A=∠B，∠C=∠D，根据两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可得△AOC∽△BOD，根据相似三角形的对应边之比相等即可得出的值；根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方可得CD的值，结合相似比即可求解；
（2）从A向左取两个格为E，过B向右取三个格为F，连结EF交AB与点M，构造相似三角形，根据两直线平行，内错角相等可得∠A=∠B，∠E=∠F，根据两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可得△AEM∽△BFM，根据相似三角形的对应边之比相等即可得出 .
22．（2023九上·南开月考）如图，在和中，，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）∵，，
∵，∴，∴，
∴，∴；
（2）∵，，
∴，∵，∴.
【解析】【分析】（1）根据题意证明三角形相似，由相似三角形的性质证明；
（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出DE长。
23．（2023九上·达州期中） 如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似。
（3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位。
【答案】（1）解：由题意，得解得
所以，直线AB的解析式为y=-+6
（2）解：
由AO=6，BO=8得AB=10，
所以AP=t，AQ=10-2t，
①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB．
所以，解得t=
②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB．
所以，解得t=
∴当t为秒或秒时，△APQ与△AOB相似；
（3）解：过点Q作QE垂直AO于点E．
∵△AEQ∽△AOB
∴= ，=
∴QE= (10-2t)
S= (10-2t)t
(10-2t)t=
解得t=1（秒）或t=4（秒）．
∴当t为1秒或4秒时，△APQ的面积为个平方单位.
【解析】【分析】（1）根据题意运用待定系数法即可求解；
（2）先根据题意得到AP=t，AQ=10-2t，进而分类讨论：①当∠APQ=∠AOB时，②当∠AQP=∠AOB时，再根据相似三角形的判定与性质结合题意即可求解；
（3）过点Q作QE垂直AO于点E，根据相似三角形的性质得到= ，=，进而根据三角形的面积结合题意解一元二次方程即可求解。
24．（2023九上·罗湖月考）如图，在菱形ABCD中，P是它对角线上面的一个点，连接CP后并延长，交CD于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：∠DCP＝∠DAP；
（2）如果PE＝4，EF＝7，求线段PC的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，BD平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠CDP，
在△DAP与△DCP中，
，
∴△DAP＝△DCP（SAS），
∴∠DCP＝∠DAP；
（2）解：由（1）得：△DAP≌△DCP，
∴∠DCP＝∠DAP，
∵CD∥AB，
∴∠DCF＝∠DAP＝∠CFB，
又∵∠FPA＝∠FPA，
∴△APE∽△FPA，
∴，
∴PA2＝PE PF，
∵△ADP≌△CDP，
∴PA＝PC，
∴PC2＝PE PF，
∵PE＝4，EF＝7，
∴PF=PE+EF=4+7＝11，
∴PC2=PE PF=4×11=44，
∴．
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质和角平分线的概念，可证得AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，利用SAS可证得△DAP≌△DCP，然后利用全等三角形的对应角相等，可证得结论.
（2）利用平行线的性质可证∠DCF＝∠DAP＝∠CFB，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可知△APE∽△FPA，利用相似三角形的对应边成比例可推出∴PA2＝PE PF；由（1）可知△DAP≌△DCP可证得PA＝PC，由此可得到PC2＝PE PF，代入计算可求出CP的长.
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