《一元二次方程根与系数的关系》教案
教学目标
知识技能：
掌握一元二次方程根和系数的关系，能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积.
能利用一元二次方程根与系数的关系来判断已知两数是否是原方程的根，能灵活解决一些简单的有关一元二次方程的问题.
过程与方法：
经过小组讨论和从特殊到一般的数学认知过程的体会.
教学重点
一元二次方程根与系数的关系.
教学难点
韦达定理的论证
教学过程
一、复习.
1、一元二次方程的一般式？
，
2、一元二次方程有实数根的条件是什么？(
3、＞0 ，即△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？
反过来，若方程有两个不相等的实数根，说明△怎么样等？
4、一元二次方程的求根公式.
二、引入.
由求根公式可知，一元二次方程的根由系数、、确定，换句话就是说根与系数有关系，今天我们将进一步来学习并发现一元二次方程的根与系数到底还有没有其他关系.
思考填表.
解出下列各方程的两根和，并计算和的值.
方程
三、新授
师：谁能发现两根和、两根积与系数的关系？
(两根和由一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数得到；而两根和
是由常数项除以二次项系数所得)
(板书)若，，(假设成立)
则，
1、论证韦达定理.
师：刚才列举了部分方程发现两根和、两根积与系数有这样的关系，那么是不
是所有的一元二次方程根与系数都有关系呢？
证明：当△＞0时，由求根根式得：，
∴
当△=0时，
即
师：假设成立，这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理，因为是
法国数学家韦达最先发现的.
2、翻书P47.(让学生划下韦达定理)
3、写出方程的两根和与两根积，并解方程检验其结果.
解：设方程的两根为，.则
检验：由求根公式得
，
课堂小结
今天我们学习了一元二次方程根与系数的关系，刚才通过填空题我们小结了一下，知道这两个关系我们可以用来求两根和、两根积，而且可以验算所求的根是否正确，更重要的是利用韦达定理可以简捷地解决许多有关一元二次方程的问题.
课件10张PPT。一元二次方程根与系数的关系复习回顾一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）推论1一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）推论2例题1、课本P47例1、2.2、利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和3.例题3、已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0
的两根的平方和比两根之积的3倍少
10，求k的值.1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另
一个根是___，m =____.
2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = ___ ，X1X2 = ____，
X12+X22 = ( X1+X2)2 - ___ = ___
( X1-X2)2 = ( ___ )2 - 4X1X2 = ___
3、判断正误：
以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （ ）
4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是
_____ .
X1+X22X1X2-3411412×2和-1基础练习（还有其他解法吗？）练习：P48 练习再见《一元二次方程的根与系数的关系》习题
1．设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，则(x1＋1)(x2＋1)=__________，x12＋x22＝_________，＝__________，(x1－x2)2＝_______.
2．当__________时，关于的方程有实数根．（填一个符合要求的数即可）
3.已知关于的方程的判别式等于0，且是方程的根，则的值为 ．
4.已知是关于的方程的两个实数根，则的最小值是 ．
5．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（ ）
A．3或 B．3 C．1 D．或1
6．一元二次方程的两个根分别是，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．
7．若关于的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m－1 C．m>l D．m<－1
8．设关于x的方程kx2－(2k＋1)x＋k＝0的两实数根为x1、x2，，若
求k的值.
9．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值；
（2）若方程的两实数根之积等于，求的值．
《一元二次方程根的根与系数的关系》习题
一、填空题
1、设x1、x2是方程3x2＋4x－5＝0的两根,则 ，.x12＋x22＝ ．
2、关于x的方程2x2＋(m2－9)x＋m＋1＝0，当m＝ 时，两根互为倒数；
0当m＝ 时，两根互为相反数．
3、若x1 =是二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根,则a＝ ，该方程的另一个根x2= ．
4、若关于x的一元二次方程有两根分别为，，那么 ， ．
二、解答题
1、已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0．
(1)若x=1是方程的一个根，求方程的另一个根；
(2) 若x1、x2是方程的两个不同的实数根，且x1和x2满足：x12+x22+2x1x2―x12x22=0，求m的值．
2、关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＝0．
⑴ 如果方程有实数根，求k的取值范围．
⑵ 设x1、x2是方程的两根，且，求k的值．
3、已知： x1、x2是关于x的方程x2＋（2a－1）x＋a2＝0的两个实数根，且（x1＋2）（x2＋2）＝11，求a的值．
