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12.3.1 等腰三角形的性质 教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十二章
课题 12.3.1 等腰三角形的性质 课时 1
课标要求 1.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的两个性质：等腰三角形的两底角相等（“等边对等角”）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（“三线合一”）。2.能运用等腰三角形的性质解决有关的证明和计算问题，在探索、证明和应用过程中，体会数形结合思想、转化思想，发展推理能力。
教材分析 《等腰三角形的性质》是华师大版八年级上册第12章第3节第1课时的内容。本节课是在学生已经学习了三角形的基本概念、全等三角形的判定与性质以及轴对称图形的基础上进行的，既是对全等三角形知识的进一步应用，也是后续学习等边三角形、直角三角形、线段垂直平分线等知识的重要铺垫。教材通过生活中的等腰三角形实例引入概念，再借助轴对称性探索性质，最后通过全等三角形证明性质，体现了“观察—猜想—验证—证明—应用”的几何研究过程，符合学生的认知规律。“等边对等角”和“三线合一”是等腰三角形的核心性质，不仅是几何证明和计算的重要依据，更蕴含着轴对称图形的本质特征，对培养学生的逻辑推理能力和几何直观能力具有重要意义。
学情分析 八年级学生已经具备了一定的几何直观和初步的逻辑推理能力，能够识别等腰三角形等基本几何图形，并且熟练掌握了全等三角形的判定方法（如SSS、SAS、ASA、AAS），这为证明等腰三角形的性质提供了知识基础。但在学习过程中，学生可能存在以下问题： 对“等腰三角形的轴对称性”的理解不够深入，难以主动通过折叠等操作探索性质；证明“等边对等角”时，辅助线的添加方法具有一定的灵活性，学生可能会感到困惑。
核心素养目标 1.通过对等腰三角形实例的观察，抽象出等腰三角形的概念，明确腰、底边、顶角、底角等基本要素。2.通过折叠等腰三角形纸片，观察图形的轴对称性，直观感知等腰三角形的“等边对等角”和“三线合一”性质，发展几何直观能力。3.经历“观察—猜想—验证—证明”的过程，运用全等三角形的判定与性质证明等腰三角形的性质，培养演绎推理能力；能运用性质解决简单的证明和计算问题，提升合情推理与演绎推理相结合的能力。
教学重点 1.等腰三角形的概念及“等边对等角”“三线合一”的性质。2.等腰三角形性质的证明及简单应用。
教学难点 1.等腰三角形性质证明中辅助线的添加方法。2.“三线合一”性质的理解及灵活应用。
教学准备 多媒体课件、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 在现实生活中，你看到哪些物体的表面具有等腰三角形的形状？我们知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，如图，AB=AC，△ABC就是等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. 观察图片，感知图形的形状，说出这些图形都是“三角形”，且“有两条边看起来相等”。 从生活实例入手，激发学生的学习兴趣，让学生感受等腰三角形在生活中的广泛应用，为抽象概念奠定基础。
二、探究 探究等腰三角形的性质【做一做】剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD. 你能发现什么现象吗？可以发现，折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形是一个轴对称图形，折痕AD所在的直线就是它的对称轴.我们还可以发现∠B=∠C.由此得到以下等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等.简写成“等边对等角”.已知：如图，在△ABC，AB=AC. 求证：∠B=∠C.分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平分线AD，然后证明△ABD≌△ACD.证明：如图，作∠BAC的平分线AD.在△ABD 和△ACD 中，∵AB=AC，∠1=∠2， AD =AD，∴△ABD≌△ACD ( SAS ).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)。注意：在证明过程中，为了需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线.辅助线通常作成虚线。例如，上述证明中所添加的顶角平分线AD.【例1】在△ABC 中，已知AB=AC，∠B=80°.求∠C和∠A的度数.解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=80°(等边对等角).又∵∠A +∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠A=180°-∠B-∠C =180°-80°-80°= 20°.探究等腰三角形三线合一【探索】由前面的“做一做”，你还可以发现什么结论？请写出你的发现： ∠BAD=∠CAD，BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°.这些结论都和哪条线段有关？这条线分别是什么线？我们发现，AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高。由此可得：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合.简写成“等腰三角形的三线合一”.注意：“三线合一”的前提是“等腰三角形”，且是“顶角的平分线”“底边上的中线”“底边上的高”这三条线重合。用符号语言表示“三线合一”：在△ABC中，AB=AC，①若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD=CD; ②若AD是BC边上的中线，则AD平分∠BAC， AD⊥BC;③若AD是BC边上的高，则AD平分∠BAC， BD=CD.【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上的中点，∠B=30°.(1)求∠ADC的度数；解：∵AB=AC，BD=DC，∴AD ⊥BC(等腰三角形的三线合一）∴∠ADC=∠ADB = 90°.(2)求∠1的度数.解：∵∠1+∠B + ∠ADB=180°(三角形的内角和等于180°)，∠B=30°，∴∠1=180°-∠B-∠ADB =180°-30°-90°=60°.探究线段的垂直平分线【思考】如图所示，我们曾利用尺规作图作出一条线段AB的垂直平分线PQ，现在你能证明所得的直线PQ确实是已知线段AB的垂直平分线吗？【例3】按如图所示的尺规作图的作法，证明直线PQ是已知线段AB的垂直平分线.证明：如图，设AB与PQ相交于点O，连结PA、PB、QA、QB.在△APQ和△BPQ中，∵AP=BP，AQ =BQ，PQ =PQ， ∴△APQ ≌△BPQ(SSS).∴∠APQ=∠BPQ(全等三角形的对应角相等).又∵AP=BP，∴AO=BO且PQ⊥AB(等腰三角形的三线合一).因此直线PQ是已知线段AB的垂直平分线.【思考】如图所示，我们还曾利用尺规作图过点C作出已知直线AB的垂线CP. 当点C在直线AB上时，垂线CP即是平角ACB的平分线所在的直线，那么当点C在直线AB外时，你能证明所作的直线CP确实是直线 AB的垂线吗？比较图1的作法示意图与图2的垂直平分线的作法示意图，我们可以发现两者十分类似，过直线AB外一点C作AB的垂线，就相当于作线段MN的垂直平分线。那么类似于垂直平分线的证明，自然就可以证明过点C所作的直线CP确实是已知直线AB的垂线.探究等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.如图，在等边三角形中，每个角的度数是多少呢？显然，AB=AC，根据“等边对等角”，可以得到∠B=∠C，同理可得∠A=∠B， 所以 ∠A=∠B=∠C. 而 ∠A+∠B +∠C=180°. 所以 ∠A=∠B=∠C=180°÷3=60°.也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形.等边三角形也是轴对称图形，它有几条对称轴？ 按照要求折叠纸片，观察发现：底边BC被折痕分成两段，且重合；顶角∠BAC被折痕分成两个角，且重合；底角∠B和∠C重合。结合折叠现象，小组讨论后提出猜想：① 等腰三角形的两底角相等；② 折痕既是顶角平分线，又是底边上的中线和高。 通过动手折叠，让学生直观感知等腰三角形的轴对称性，为探索性质提供直观体验。从直观操作到猜想，培养学生的合情推理能力，让学生体会“观察—猜想”是几何研究的重要环节。通过例题讲解，让学生学会运用 “斜边直角边” 判定定理证明直角三角形全等，掌握规范的推理书写格式。① 利用“等边对等角”的证明过程，自然引出“三线合一”的证明，体现知识的连贯性，降低证明难度。② 通过符号语言的表示，让学生准确把握“三线合一”的应用条件，避免理解偏差。
三、尝试 【知识技能类作业】必做题：1.图①是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似看成等腰三角形 ABC(如图②)，若AB = AC，∠B = 35°，则∠C的度数为( C ).A.70° B.45° C.35° D.110° 2.如图，在△ABC中， AB=AC，∠A=30°，以C为圆心，CB的长为半径画弧，交AB于点D，连结CD，则∠BDC的度数为( D ).A.55° B.70° C.72° D.75° 3.如图，在△ABC中，AB= AC，AD⊥BC，若BD =2，则BC的长度为( C ).A.6 B.5 C.4 D.3 我国的桥梁建设在世界上处于领先地位，无论是桥梁数量、跨度还是技术创新，都取得了显著成就.图①为某斜拉索桥，该斜拉索桥的拉索和桥面构成等腰三角形.图②为其示意图，在△ABC中， AB =AC，若D是BC边上的一点，则下列条件不能说明 AD⊥BC的是( D ).A.BD =CD B.∠ADB = ∠ADC C.∠BAD = ∠CAD D.BC= 2AD 知识技能类作业】选做题：5.如图，若△ABC是等边三角形，AB=6， BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使 CE =CD，则BE=( C ).A.7 B.8 C.9 D.10 6.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为( D ).A.60° B.120° C.60°或150° D.60°或120° 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，延长BC至点E，连结AE，使得∠DAE= ∠BAC，延长AD至点F，使得AF =AE，连结BF.(1)求证：△ABF≌△ACE；证明：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE -∠DAC=∠BAC-∠DAC，即∠BAF = ∠CAE.在△ABF与△ACE中，∵AB=AC，∠BAF= ∠CAE，AF=AE，∴△ABF≌△ACE（SAS）(2)若AD ⊥BC，BF=17，BC=16，求DE的长.解：∵AB =AC，AD⊥BC，∴BD=16÷2=8.∵△ABF≌△ACE，BF=17，∴CE =BF=17，∴DE=CE +CD =17+8=25. 独立完成基础练习，在练习本上写出详细的解题过程。 基础练习旨在巩固本节课的核心知识点，帮助学生夯实基础；拓展提升活动则将数学知识与生活实际相结合，让学生体会数学与生活的联系，提高学生的知识应用能力和创新思维能力。
四、提升 适时小结，兴趣延伸等腰三角形的性质：(1)等腰三角形是轴对称图形.(2)等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合(三线合一)等边三角形的性质：(1)三条边都相等的三角形叫做等边三角形.(2)等边三角形的各角都相等，都等于60°. 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。
帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。
板书设计 12.3.1 等腰三角形的性质1.等边对等角2.三线合一3.等边三角形 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】必做题：1.如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE. 若∠ABC= 30°，则∠D的度数为( B ).A. 85° B. 75° C. 65° D. 30° 2. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC， ∠B = 25°，AD是△ABC的中线，则∠CAD的度数是( B ).A.72° B.65° C.50° D.36°3.如图，△ABC，△ADE及△EFG都是等边三角形，D，G分别为AC， AE的中点. 若AB=4，则多边形ABCDEFG外围的周长是( C ).A.12 B.14 C.15 D.16 4.如图，△ABC是等边三角形.若∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点D，则∠ABD +∠ACD的度数是( C ).A.36° B.50° C.60° D.70° 如图，△ABC是等边三角形，AB=6，P为BC上一动点(不与B，C重合)以AP为边在BC上方作等边三角形APE，连结CE.(1)求证： AB∥CE；证明：∵△ABC，△APE是等边三角形，∴∠BAC= ∠PAE =∠B =60°，AB =AC，AP =AE，∴∠BAP =∠CAE，∴ △ABP≌△ACE(SAS)，∴∠ACE =∠B=60°，∴∠BAC= ∠ACE，∴AB∥CE.(2)当点P运动到使AE⊥CE时，求CE的长.解：∵AE⊥ CE，∴ ∠AEC =90°.∵△ABP≌△ACE，∴CE =BP，∠APB =∠AEC=90°，∴AP ⊥BC.∵△ABC是等边三角形，∴P为BC的中点，BC=AB=6，∴BP=BC÷2=3，∴CE = BP =3.
教学反思 本节课围绕“等腰三角形的性质”展开，通过“情境导入—动手探索—严谨证明—例题应用—巩固提升—小结作业”的流程，基本达成了预设的核心素养目标，突出了教学重点，突破了部分教学难点，本节课的教学基本达成了目标，但在学生自主探究和难点突破方面仍有提升空间，后续将结合以上反思优化教学流程，提升教学效果，更好地培养学生的几何核心素养。
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第十二章
课标要求 1.能够区分真命题与假命题，准确判断命题的真假，理解命题由题设和结论两部分组成。2.掌握定义的内涵，能通过定义对几何对象进行分类，体会定义的严谨性与规范性。3.掌握 “两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）”“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）”“三边分别相等的两个三角形全等（SSS）” “斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）”这几个全等三角形的判定方法。4.会利用基本作图，根据已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形。5.明确等腰三角形的定义（有两条边相等的三角形），区分腰、底边、顶角、底角等关键元素；结合边的长度关系，会进一步分类。6.对应性质形成逆向判定逻辑，包括 “等角对等边”（若一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边相等）、等边三角形的判定（三边相等、三角均为 60°、有一个角为 60° 的等腰三角形）。7.明确垂直平分线的定义，能在复杂图形中识别线段的垂直平分线，区分 “线段的垂直平分线”（直线）与 “线段的垂线”“线段的中线” 的差异。
内容分析 本章是在学生学习了三角形的基本概念、性质和作图等知识的基础上进行的，全等三角形的性质和判定是研究三角形、四边形、相似三角形等后续内容的重要工具。例如，后续学习等腰三角形的性质、平行四边形的判定等，都需要运用全等三角形的知识进行证明。同时，本章所学的演绎推理方法，也是初中数学推理证明的重要基础，为后续更复杂的几何证明打下坚实的基础。全等三角形的知识在实际生活中有着广泛的应用，如建筑设计、机械制造、测量技术等领域。通过本章学习，能让学生体会数学与生活的密切联系，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
学情分析 八年级学生在七年级已经学习了三角形的概念、三边关系、内角和定理以及三角形的作图方法，对三角形的基本性质有了一定的了解。同时，学生在之前的学习中已经接触过一些简单的推理证明，具备初步的合情推理能力，能够通过观察、实验等方式发现一些简单的数学规律，这些都为本章全等三角形的学习提供了良好的知识储备。同时八年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，他们对直观、具体的事物更容易理解和接受，但对于抽象的概念和严谨的推理证明仍存在一定的难度。学生喜欢通过动手操作、小组合作等方式进行学习，对新鲜的数学知识充满好奇心和探索欲。
单元目标 （一）教学目标1.了解命题的概念,理解命题的结构,并会区分一个命题的条件和结论。2.能准确说出全等三角形的定义，在具体图形中正确找出对应顶点、对应边和对应角，熟练掌握全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等），并能运用性质解决简单的计算和证明问题。 3.掌握 SSS、SAS、ASA、AAS 四种一般三角形全等的判定方法以及 HL 直角三角形全等的判定方法，能根据具体条件选择合适的判定方法证明两个三角形全等。 4.理解角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边的距离相等）和判定定理（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），能运用这两个定理解决与角平分线相关的计算和证明问题。 5.能运用全等三角形的性质和判定方法、角平分线的性质和判定定理解决简单的实际问题，如测量物体长度、作图等。（二）教学重点、难点重点1.全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）及其应用。 2.全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）及其灵活运用，能根据不同的已知条件选择合适的判定方法证明三角形全等。 3.角平分线的性质定理和判定定理及其应用。难点1.在复杂图形中准确找出全等三角形的对应边和对应角。 2.理解并掌握全等三角形判定方法中的关键条件，如 SAS 中的 “夹角”、HL 中的 “斜边和一条直角边”，避免误用判定条件。 3.掌握规范的几何证明书写格式，能清晰、有条理地进行演绎推理证明。 4.运用全等三角形的知识解决实际问题，将实际问题转化为数学模型，构造全等三角形解决问题。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数12.1 命题、定义、定理与证明命题的概念和结构定义、 定理与证明212.2 三角形全等的判定全等三角形的判定条件边角边角边角边边边斜边直角边512.3等腰三角形等腰三角形的性质等腰三角形的判定212.4逆命题和逆定理互逆命题和互逆定理线段垂直平分线角平分线3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务12.1 命题、定义、定理与证明1.了解命题的概念,理解命题的结构,并会区分一个命题的条件和结论.2.会用“如果……,那么……”来改写一个命题,并会判断真假.通过学习，会用“如果……,那么……”来改写命题,以分清命题的结构，并且会识别命题的真假.任务一：探究命题的概念。任务二：理解命题的结构。1.理解已学的5个基本事实，理解定理的概念.2.理解证明的概念，体会证明的必要性.3.掌握推理证明的格式，并会证明简单命题的真假.(1)理解五个基本事实.(2)理解定理的概念.(3)证明及证明的过程与步骤.任务一：探究什么是定理。任务二：理解什么是证明及证明的必要性。12.2 三角形全等的判定1.理解全等三角形的概念,会找全等三角形的对应边、对应角和对应顶点.2.掌握全等三角形的性质,并能进行简单的推理和计算.1.通过图形变换,培养学生用动态观点研究几何图形的能力.2.通过动手操作,理解全等三角形的判定条件.任务一：掌握全等三角形的性质.任务二：会找全等三角形的对应边及对应角.1.掌握证三角形全等的“SAS”判定方法.2.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.提出问题,根据问题归纳认识“边角边”,并学会用“边角边”解决问题.任务一：应用“边角边”证明三角形全等.任务二：寻求三角形全等的条件.1.经历探究三角形全等的条件的过程,进一步体会操作、归纳获得数学规律的过程.2.掌握三角形全等的“角边角”、“角角边”的判定方法.提出问题,根据问题归纳得出“角边角”及“角角边”定理,并学会运用定理解决问题.任务一：应用“角边角”和“角角边”证明三角形全等.任务二：利用三角形全等,证明线段相等或角相等.1.掌握“边边边”基本事实,并能熟练运用它证明两个三角形全等.2.能运用“边边边”,解决简单的实际问题，提出问题,根据问题归纳出判定三角形全等必备的条件,掌握“SSS”基本事实及其运用.任务一：应用“边边边”证明三角形全等.任务二：灵活运用“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”判定三角形全等.1.经历探究直角三角形全等条件的过程,体会一般与特殊的辩证关系，2.掌握直角三角形全等的判定方法.会运用“HL”解决一些简单的实际问题和推理证明问题.任务一：“斜边直角边”的探究及其运用.任务二：灵活运用三角形全等的判定方法进行证明，12.3等腰三角形1.了解等腰三角形的概念,掌握等腰三角形的性质.2.会运用等腰三角形的概念和性质解决有关问题.．通过运用等腰三角形的性质解决有关问题,提高运用知识和技能解决问题的能力.任务一：等腰三角形的概念和性质及其应用。任务二：等腰三角形“三线合一”性质的理解及其应用.1.理解并掌握等腰三角形的判定方法.2.理解并掌握等边三角形的判定方法.3.等腰三角形的性质与判定的综合运用.提出问题,根据问题归纳等腰三角形及等边三角形的判定方法,进而探究性质与判定的运用.任务一：等腰三角形的判定与等边三角形的判定.任务二：等腰三角形的判定与性质的综合应用.12.4逆命题和逆定理1.理解逆命题的概念,并会判断一个命题、逆命题的真假.2.理解逆命题与互逆定理的概念.经历探究的过程,去观察、分析、理解、归纳逆命题与逆定理的相关知识.任务一：理解逆命题与逆定理的概念.任务二：会判断命题、逆命题的真假.1.经历探索线段垂直平分线的性质定理与判定定理的过程,进一步体验轴对称的特点。2.会运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决简单的实际问题。提出问题,根据问题归纳线段垂直平分线的性质定理与判定定理,发展学生的空间想象.任务一：理解线段垂直平分线的性质定理与判定定理.任务二：线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的综合运用.1.经历探索角平分线的性质定理及其逆定理的过程,进一步体验轴对称的特点,体会互逆定理之间的关系.2.会运用角平分线的性质定理与判定定理解决简单的实际问题.提出问题,根据问题进行探究、归纳角平分线的性质定理与判定定理,发展学生的空间想象力.任务一：角平分线的性质定理与判定定理.任务二：角平分线的互逆定理的综合运用.
《全等三角形》 大单元教学设计
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第十二章 全等三角形
12.3.1 等腰三角形的性质
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
通过对等腰三角形实例的观察，抽象出等腰三角形的概念，明确腰、底边、顶角、底角等基本要素。
01
通过折叠等腰三角形纸片，观察图形的轴对称性，直观感知等腰三角形的“等边对等角”和“三线合一”性质，发展几何直观能力。
02
通过将实际问题转化为等腰三角形的几何问题，运用等腰三角形的性质解决问题，初步体会数学建模的思想。
03
02
新知导入
在现实生活中，你看到哪些物体的表面具有等腰三角形的形状
02
新知导入
我们知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，
如图，AB=AC，△ABC就是等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
指出△ABC的腰、底边、顶角和底角.
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
03
新知探究
探究
等腰三角形的性质
【做一做】剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD. 你能发现什么现象吗
03
新知探究
探究
可以发现，折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形是一个轴对称图形，折痕AD所在的直线就是它的对称轴.
我们还可以发现∠B=∠C.
由此得到以下等腰三角形的性质:
等腰三角形的两个底角相等.
简写成“等边对等角”.
等腰三角形的性质
03
新知探究
探究
已知：如图，在△ABC，AB=AC. 求证：∠B=∠C.
分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平分线AD，然后证明△ABD≌△ACD.
等腰三角形的性质
03
新知探究
探究
已知：如图，在△ABC，AB=AC. 求证：∠B=∠C.
证明：如图，作∠BAC的平分线AD.
在△ABD 和△ACD 中,
∵AB=AC，∠1=∠2， AD =AD,
∴△ABD≌△ACD ( SAS ).
∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)。
等腰三角形的性质
03
新知探究
探究
注意：在证明过程中，为了需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线.
辅助线通常作成虚线。
例如，上述证明中所添加的顶角平分线AD.
等腰三角形的性质
03
新知探究
探究
【例1】在△ABC 中，已知AB=AC，∠B=80°.
求∠C和∠A的度数.
解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=80°(等边对等角).
又∵∠A +∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠A=180°-∠B-∠C
=180°-80°-80°= 20°.
等腰三角形的性质
03
新知探究
探究
等腰三角形三线合一
【探索】由前面的“做一做”，你还可以发现什么结论？请写出你的发现：
∠BAD=∠CAD，
BD=CD，
∠ADB=∠ADC=90°.
这些结论都和哪条线段有关？这条线分别是什么线？
03
新知探究
探究
我们发现，AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高。由此可得:
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合.
简写成“等腰三角形的三线合一”.
等腰三角形三线合一
知识要点
注意：“三线合一”的前提是“等腰三角形”，且是“顶角的平分线”
“底边上的中线”“底边上的高”这三条线重合。
用符号语言表示“三线合一”:
在△ABC中，AB=AC，
①若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD=CD;
②若AD是BC边上的中线，则AD平分∠BAC， AD⊥BC;
③若AD是BC边上的高，则AD平分∠BAC， BD=CD.
03
新知探究
探究
【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上的中点，∠B=30°.
(1)求∠ADC的度数；
解：∵AB=AC，BD=DC，
∴AD ⊥BC(等腰三角形的三线合一）∴∠ADC=∠ADB = 90°.
等腰三角形三线合一
03
新知探究
探究
【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上的中点，∠B=30°.
(2)求∠1的度数.
解：∵∠1+∠B + ∠ADB=180°(三角形的内角
和等于180°)，∠B=30°，
∴∠1=180°-∠B-∠ADB
=180°-30°-90°=60°.
等腰三角形三线合一
03
新知探究
探究
线段的垂直平分线
【思考】如图所示，我们曾利用尺规作图作出一条线段AB的垂直平分线PQ，现在你能证明所得的直线PQ确实是已知线段AB的垂直平分线吗
03
新知探究
探究
线段的垂直平分线
【例3】按如图所示的尺规作图的作法，证明直线PQ是已知线段AB的垂直平分线.
证明：如图，设AB与PQ相交于点O，连结PA、PB、QA、QB.
在△APQ和△BPQ中，
∵AP=BP，AQ =BQ，PQ =PQ，
∴△APQ ≌△BPQ(SSS).
∴∠APQ=∠BPQ(全等三角形的对应角相等).
03
新知探究
探究
线段的垂直平分线
【例3】按如图所示的尺规作图的作法，证明直线PQ是已知线段AB的垂直平分线.
又∵AP=BP，
∴AO=BO且PQ⊥AB(等腰三角形的三线合一).
因此直线PQ是已知线段AB的垂直平分线.
03
新知探究
探究
线段的垂直平分线
【思考】如图所示，我们还曾利用尺规作图过点C作出已知直线AB的垂线CP. 当点C在直线AB上时，垂线CP即是平角ACB的平分线所在的直线，那么当点C在直线AB外时，你能证明所作的直线CP确实是直线 AB的垂线吗
03
新知探究
探究
线段的垂直平分线
比较图1的作法示意图与图2的垂直平分线的作法示意图，我们可以发现两者十分类似，过直线AB外一点C作AB的垂线，就相当于作线段MN的垂直平分线。那么类似于垂直平分线的证明，自然就可以证明过点C所作的直线CP确实是已知直线AB的垂线.
图1
图2
03
新知探究
探究
等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
如图，在等边三角形中，每个角的度数是多少呢
显然，AB=AC，根据“等边对等角”，可以得到∠B=∠C，
同理可得∠A=∠B，
所以 ∠A=∠B=∠C.
而 ∠A+∠B +∠C=180°.
所以 ∠A=∠B=∠C=180°÷3=60°.
03
新知探究
探究
等边三角形
也就是说:
等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形.
等边三角形也是轴对称图形，它有几条对称轴
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.图①是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似看成等腰三角形 ABC(如图②)，若AB = AC，∠B = 35°，则∠C的度数为( ).
A.70°
B.45°
C.35°
D.110°
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，在△ABC中， AB=AC，∠A=30°，以C为圆心，CB的长为半径画弧，交AB于点D，连结CD，则∠BDC的度数为( ).
A.55°
B.70°
C.72°
D.75°
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，在△ABC中，AB= AC，AD⊥BC，若BD =2，则BC的长度为( ).
A.6
B.5
C.4
D.3
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4. 我国的桥梁建设在世界上处于领先地位，无论是桥梁数量、跨度还是技术创新，都取得了显著成就.图①为某斜拉索桥，该斜拉索桥的拉索和桥面构成等腰三角形.图②为其示意图，在△ABC中， AB =AC，若D是BC边上的一点，则下列条件不能说明 AD⊥BC的是( ).
A.BD =CD B.∠ADB = ∠ADC
C.∠BAD = ∠CAD D.BC= 2AD
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，若△ABC是等边三角形，AB=6， BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使 CE =CD，则BE=( ).
A.7
B.8
C.9
D.10
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为( ).
A.60°
B.120°
C.60°或150°
D.60°或120°
D
04
证明：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE -∠DAC=∠BAC-∠DAC，
即∠BAF = ∠CAE.
在△ABF与△ACE中，
∵AB=AC，∠BAF= ∠CAE，AF=AE，∴△ABF≌△ACE（SAS）
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，延长BC至点E，连结AE，使得∠DAE= ∠BAC，延长AD至点F，使得AF =AE，连结BF.
(1)求证:△ABF≌△ACE；
04
解：∵AB =AC，AD⊥BC，
∴BD=16÷2=8.
∵△ABF≌△ACE，BF=17,
∴CE =BF=17，∴DE=CE +CD =17+8=25.
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，延长BC至点E，连结AE，使得∠DAE= ∠BAC，延长AD至点F，使得AF =AE，连结BF.
(2)若AD ⊥BC，BF=17，BC=16，求DE的长.
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
等腰三角形的性质：
(1)等腰三角形是轴对称图形.
(2)等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合(三线合一)
等边三角形的性质：
(1)三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
(2)等边三角形的各角都相等，都等于60°.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE. 若∠ABC= 30°，则∠D的度数为( ).
A. 85°
B. 75°
C. 65°
D. 30°
B
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC， ∠B = 25°，AD是△ABC的中线，则∠CAD的度数是( ).
A.72°
B.65°
C.50°
D.36°
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，△ABC，△ADE及△EFG都是等边三角形，D，G分别为AC， AE的中点. 若AB=4，则多边形ABCDEFG外围的周长是( )
A.12
B.14
C.15
D.16
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，△ABC是等边三角形.若∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点D，则∠ABD +∠ACD的度数是( ).
A.36°
B.50°
C.60°
D.70°
C
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.如图，△ABC是等边三角形，AB=6，P为BC上一动点(不与B，C重合)以AP为边在BC上方作等边三角形APE，连结CE.
(1)求证: AB∥CE；
证明：∵△ABC，△APE是等边三角形，
∴∠BAC= ∠PAE =∠B =60°，AB =AC，AP =AE，
∴∠BAP =∠CAE，∴ △ABP≌△ACE(SAS)，
∴∠ACE =∠B=60°，∴∠BAC= ∠ACE，∴AB∥CE.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.(2)当点P运动到使AE⊥CE时，求CE的长.
解：∵AE⊥ CE，∴ ∠AEC =90°.
∵△ABP≌△ACE，∴CE =BP，∠APB =∠AEC=90°，
∴AP ⊥BC.
∵△ABC是等边三角形，
∴P为BC的中点，BC=AB=6，
∴BP=BC÷2=3，∴CE = BP =3.
Thanks!
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