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5.3二元一次方程组的应用第1课时教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 五单元
课题 5.3二元一次方程组的应用 课时 第1课时
课标要求 依据 2022 版数学新课标 “数与代数” 领域要求，本节需引导学生运用二元一次方程组解决实际问题，掌握 “审、设、列、解、验、答” 的完整解题流程，深化模型思想。通过分析实际情境中的等量关系，发展抽象思维与应用意识，体会数学与生活及传统文化的联系。落实 “用数学语言表达现实世界”“用数学方法解决实际问题” 的课程目标，培养运算能力、逻辑推理素养，为后续复杂应用问题奠定基础。
教材分析 本节是第五章 “二元一次方程组” 的核心应用环节，承接前两节方程组解法，实现 “方法” 到 “应用” 的过渡，是知识落地的关键。教材以 “雉兔同笼” 等经典古算题为载体，遵循 “情境引入—分析等量关系—列方程组求解—对比交流” 的思路，既渗透数学文化，又通过表格梳理信息的示例，为学生提供实用解题工具。本节内容不仅巩固方程组解法，更强化 “建模” 核心能力，是培养学生应用意识的重要载体，衔接后续更复杂的实际问题求解。
学情分析 学生已掌握二元一次方程组的两种解法，具备初步抽象能力，但面对实际问题（尤其古算题）时，易因情境理解困难、等量关系提取不完整导致列方程出错；部分学生缺乏 “用表格梳理信息” 的习惯，难以清晰区分已知量与未知量。此外，解题后忽略 “检验解的实际意义”，需通过情境拆解、方法示范及针对性练习，帮助学生突破认知难点，形成规范解题思路。
教学目标 1.能运用 “审、设、列、解、验、答” 流程，用二元一次方程组解决实际问题，规范书写解题过程； 2.学会梳理问题中的已知量、未知量及等量关系，提升信息分析与抽象建模能力； 3.体会二元一次方程组与一元一次方程解决问题的联系与区别，深化模型思想，感受数学文化； 4.通过小组合作解决实际问题，增强应用意识，提升合作交流与逻辑表达能力。
教学重点 1.掌握 “审、设、列、解、验、答” 的完整流程，能准确列出二元一次方程组解决实际问题； 2.学会从实际情境中提取两个独立等量关系。
教学难点 从复杂实际情境中准确分析、提炼出两个独立的等量关系，避免因信息误解或遗漏导致列方程错误。
教法与学法分析 教法采用情境教学法、问题驱动法，结合示范讲解，通过古算题激趣，用表格示范梳理信息；学法以“自主分析—小组讨论—模仿实践—总结反思”为主线，学生通过拆解情境、提炼等量关系，掌握建模方法，实现 “教师引导、学生主动建构” 的教学效果。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习回顾： 1.解二元一次方程组的方法有哪些？核心思路是什么？具体步骤是什么？ 方法①：代入消元法， 核心思路： 从一个方程中用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再代入另一个方程，实现 “消元”。 步骤：1.变形；2.代入消元；3.求解一元一次方程；4.回代；5.写解； 方法②：加减消元法， 核心思路：通过将两个方程同时乘（或除以）某个数，使某一未知数的系数相等或互为相反数，再将方程相加（或相减）消去该未知数。 步骤：1.统一系数；2.加减消元；3.求解一元一次方程；4.回代；5.检验与写解。 2.列方程解应用题的步骤有哪些？ 列方程解应用题的核心是 “找到等量关系”，将实际问题转化为数学方程。基本步骤一致，可概括为 “审、设、找、列、解、验、答” 七步： 通过问题链回顾二元一次方程组解法（代入 / 加减消元）及列一元一次方程解应用题步骤，设问 “含两个未知量的实际问题如何更高效建模”。 回忆解法与旧应用题流程，思考双未知量问题的解题思路。 回忆解法与旧应用题流程，思考双未知量问题的解题思路。
探究活动一： 《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题： 今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ (1)这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ 涉及的量有：鸡的数量，兔的数量，鸡足的数量，兔足的数量； 等量关系：鸡的数量+兔的数量=总头数； 鸡的总足数+兔的总足数=总足数； (2)你能列方程组解决这个有趣的问题吗？你是怎么做的？与同伴进行交流。 解：设笼中有鸡x只，兔y只，则依题意，列方程组，得 解这个方程组，得所以笼中有鸡23只，兔12只。 思考：你能用一元一次方程或小学的算术方法求解这个问题吗？ 解法一：假设推理 解：如果都是鸡，35头应该有70只脚，实际有94只脚，多出24只脚，应该是兔子的，每只兔子多两只脚，所以兔子应该有12只，所以鸡有35-12=23(只)。 解法二：用一元一次方程求解 解：设笼中有鸡x只，则有兔(35-x)只， 由题意可列：2x+4(35-x)=94，解得x=23. 所以35-x=12。 所以笼中有鸡23只，兔12只。 归纳小结： 用二元一次方程组解答的优点：相比小学的算术方法求解和一元一次方程求解，更快速简单；用二元一次方程解答的不足：计算较复杂，费时间。 呈现 “雉兔同笼” 问题，引导用表格梳理 “头数”“足数” 关系，提取两个等量关系，示范设未知数、列方程组求解。 小组合作分析情境，填写表格梳理信息，尝试列方程组并求解，对比一元一次方程与算术法的差异。 以经典古算题切入，让学生初步掌握 “梳理信息→提等量关系→列方程组” 的流程，感受数学文化与建模思想。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 尝试思考： 列方程组求解下面的问题： 若甲从乙处得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有的第纳尔是乙的5倍；若乙从甲处得到5第纳尔，则乙拥有的第纳尔是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？[选自意大利数学家斐波纳奇（LeonardoFibonacci，约1170-约1240）的《计算之书》] 问题1：这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ 涉及的量：甲原有的钱币数，乙原有的钱币数；甲现在的钱币数，乙现在的钱币数。 等量关系：甲得到7个钱币后的数量=乙失去7个钱币后的数量×5， 乙得到5个钱币后的数量=甲失去5个钱币后的数量× 7。 问题2：你能列方程解决这个问题吗？你是怎样做的？与同伴进行交流。 解：设甲原来有x个钱币，乙原来有y个钱币， 由题意可列： 解得： 答：甲原来拥有8第纳尔，乙原来拥有10第纳尔. 展示斐波纳奇《计算之书》中的钱币问题，引导分析 “甲得乙钱”“乙得甲钱” 两种情境下的等量关系，强调 “变化后数量关系” 的准确表达。 独立分析两种情境的数量变化，列出方程组并求解，验证解的实际意义。 深化对 “动态数量关系” 的理解，突破 “根据情境变化提等量关系” 的难点，强化解题规范。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 例题精讲 例1：今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍。乙得甲十钱，适等。问甲、乙怀钱各几何？(选自《张丘建算经》) 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等。甲、乙两人各带了多少钱？ 分析：题目涉及哪些数量关系？你能用含未知量的式子表示这些数量关系吗？ 涉及的量：甲原有的钱数，乙原有的钱数；甲现在的钱数，乙现在的钱数。 等量关系：甲得到10钱币后的数量=乙失去10钱币后的数量×5， 乙得到10钱币后的数量=甲失去10钱币后的数量。 解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，根据题意，得 解这个方程组，得 所以，甲带了38钱，乙带了18钱。 探究活动四： 思考交流： 1.列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联系？与同伴进行交流。 两者都是解决实际问题的代数方法，核心思路一致，均围绕 “找到等量关系、用数学符号表示实际问题” 展开； 两者在 “设未知数的数量”“表示数量关系的方式”“求解过程” 等方面存在明显差异，具体对比如下表： 2.类比一元一次方程解决实际问题的一般过程，请你总结归纳出运用二元一次方程组解决实际问题的步骤。 二元一次方程组解决实际问题的基本步骤： ①审：通过审题找出等量关系； ②设：用字母表示题目中的两个未知数； ③列：依据找到的等量关系，列出方程组； ④解：解方程组，求出未知数的值； ⑤验：检验所得的解是否是方程组的解，并且要检验其是否符合实际问题的意义； ⑥答：回答题目中要解决的问题，注意单位名称。 精讲《张丘建算经》中的 “甲、乙怀钱” 题，重点解析 “多乙余钱五倍” 的含义（甲的钱数 = 6× 乙剩余钱数），示范完整解题流程（审→设→列→解→验→答）。 组织学生讨论 “列二元一次方程组与一元一次方程解应用题的联系与差异”，总结列方程组解应用题的六步流程，明确方法选择依据。 跟随教师拆解题意，纠正对 “倍数关系” 的误解，独立完成解题步骤，同桌互查规范。 小组交流对比结果，归纳解题步骤，总结 “双未知量且关系复杂时优先用方程组” 的规律。 针对古算题中易误解的表述进行专项突破，强化完整解题流程，提升学生对复杂表述的解读能力。 形成结构化解题思路，让学生理解方法适配性，深化对建模思想的认知。
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.《九章算术》是我国古代数学的经典书，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等；交易其一，金轻十三两。问金、银一枚各重几何。”意思是甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问一枚黄金、白银各重几两。设一枚黄金重x两，一枚白银重y两，根据题意列方程组为 ( ) A. B. C. D. 2.我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个。若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为 ( ) A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 3.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前。其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步。问人与车各几何。”意思是现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行。问人与车各多少。设有x人，y辆车，可列方程组为 ( ) A. B. C. D. 4.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何。”意思是几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱。问人数、物品的价格分别是多少。该问题中的人数为 。 5.《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上唱歌，另一部分在地上觅食，树上一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子数一样多。” 所以树上和树下共有 只鸽子。 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 列二元一次方程组解应用题的完整流程：审（分析情境，明确已知 / 未知量）→设（设两个未知数）→列（根据两个独立等量关系列方程组）→解（用代入 / 加减消元法求解）→验（检验解的数学正确性与实际意义）→答（规范书写答案，带单位）。 关键要点：从实际情境中提取两个独立等量关系（如总量关系、倍数关系、变化后关系等）是列方程组的核心。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 5.3二元一次方程组的应用第1课时 探究： 例1： 列方程组解决实际问题的基本步骤：审，设，列，解，检，答. 准确找到等量关系是列二元一次方程组的关键. 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.《张丘建算经》中有题如下：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说，得甲九只，两人羊数一样.设甲有羊x只，乙有羊y只，可列部分方程组为则正确的是( ) A.方程①为 B.方程①为 C.甲有羊63只 D.乙有羊44只 2.学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数的比是，求两种球各有多少个？若设篮球有x个，排球有y个，根据题意得方程组( ) A. B. C. D. 3.小华和爸爸玩“掷飞镖”游戏.游戏规则：小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分，两人一共投中30次.经过计算发现爸爸比小华多得2分.设小华投中的次数为x，爸爸投中的次数为y，根据题意列出的方程组正确的是( ) A. B. C. D. 4.某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示： 若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程组为( ) A. B. C. D. 能力提升： 5.李明一家自驾旅行，车上备了一些矿泉水，如果每人分2瓶，则多出4瓶，如果每人分3瓶，则有一人少一瓶.设这一行人共有x人，矿泉水一共y瓶，下列方程组中正确的是( ) A. B. C. D. 6.小明作业本中有一道未写完的题目如下： 小东在某商场看中的一台电视机和一台空调在“五一”前购买需花费5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视机打8折销售，①，于是小东在促销期间购买了同样的电视机一台、空调两台，共花费7200元，则“五一”前同样的电视机和空调每台分别为多少元？ 解：设“五一”前同样的电视机每台x元，空调每台y元， 根据题意，得 该题中的一个条件和方程①不小心被污染了，已知小明所列的方程组是正确的，则被污染的条件是__________，方程①是__________. 7.明代数学家程大位所著的《算法统宗》中有这样一道题：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排用于制作笔管或笔套的短竹的数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，可列方程组为 . 拓展迁移： 8.陕西是联合国粮农组织认定的世界苹果最佳优生区，是全球集中连片种植苹果最大区域，某苹果园现有一批苹果，计划租用A、B两种型号的货车将苹果运往外地销售，已知满载时，用3辆A型车和2辆B型车一次可运苹果13吨；用4辆A型车和3辆B型车一次可运苹果18吨.求1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运苹果多少吨？
教学反思 本节通过古算题引入，多数学生能掌握基本解题流程，但部分学生仍存在等量关系提取不完整、忽略检验实际意义的问题。后续需增加多样化情境练习，强化表格梳理信息的训练；同时，可补充更多数学文化案例，深化学生对数学应用价值的理解。此外，应多展示学生解题过程，针对性纠错，进一步规范解题步骤，提升学生建模与应用能力，更好落实核心素养目标。
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分课时学案
课题 5.3二元一次方程组的应用第1课时 单元 第五单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.能运用 “审、设、列、解、验、答” 流程，用二元一次方程组解决实际问题（含古算题），规范书写解题过程； 2.学会用表格梳理问题中的已知量、未知量及等量关系，提升信息分析与抽象建模能力； 3.体会二元一次方程组与一元一次方程解决问题的联系与区别，深化模型思想，感受数学文化； 4.通过小组合作解决实际问题，增强应用意识，提升合作交流与逻辑表达能力。
重点 1.掌握 “审、设、列、解、验、答” 的完整流程，能准确列出二元一次方程组解决实际问题； 2.学会从实际情境（含古算题）中提取两个独立等量关系。
难点 从复杂实际情境（尤其是古算题的文字表述）中准确分析、提炼出两个独立的等量关系，避免因信息误解或遗漏导致列方程错误。
教学过程
导入新课 复习回顾： 1.解二元一次方程组的方法有哪些？核心思路是什么？具体步骤是什么？ 2.列方程解应用题的步骤有哪些？
新知讲解 探究活动一： 《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题： 今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ (1)这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ (2)你能列方程组解决这个有趣的问题吗？你是怎么做的？与同伴进行交流。 思考：你能用一元一次方程或小学的算术方法求解这个问题吗？ 探究活动二： 尝试思考： 列方程组求解下面的问题： 若甲从乙处得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有的第纳尔是乙的5倍；若乙从甲处得到5第纳尔，则乙拥有的第纳尔是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？[选自意大利数学家斐波纳奇（LeonardoFibonacci，约1170-约1240）的《计算之书》] 问题1：这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ 问题2：你能列方程解决这个问题吗？你是怎样做的？与同伴进行交流。 探究活动三： 例题精讲 今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍。乙得甲十钱，适等。问甲、乙怀钱各几何？(选自《张丘建算经》) 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍;如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等。甲、乙两人各带了多少钱？ 探究活动四： 思考交流： 1.列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联系？与同伴进行交流。 2.类比一元一次方程解决实际问题的一般过程，请你总结归纳出运用二元一次方程组解决实际问题的步骤。
课堂练习 巩固训练 1.《九章算术》是我国古代数学的经典书，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等;交易其一，金轻十三两。问金、银一枚各重几何。”意思是甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问一枚黄金、白银各重几两。设一枚黄金重x两，一枚白银重y两，根据题意列方程组为( ) A. B. C. D. 2.(2024泰安中考)我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个。若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为 ( ) A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 3.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前。其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空;二人共车，九人步。问人与车各几何。”意思是现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车;若每辆车乘坐2人，则有9人步行。问人与车各多少。设有x人，y辆车，可列方程组为 ( ) A. B. C. D. 4.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三;人出七，不足四，问人数、物价各几何。”意思是几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱;每人出7钱，则还差4钱。问人数、物品的价格分别是多少。该问题中的人数为 。 5.《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上唱歌，另一部分在地上觅食，树上一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的;若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子数一样多。” 所以树上和树下共有 只鸽子。
作业布置 基础达标： 1.《张丘建算经》中有题如下：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说，得甲九只，两人羊数一样.设甲有羊x只，乙有羊y只，可列部分方程组为则正确的是( ) A.方程①为 B.方程①为 C.甲有羊63只 D.乙有羊44只 2.学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数的比是，求两种球各有多少个？若设篮球有x个，排球有y个，根据题意得方程组( ) A. B. C. D. 3.小华和爸爸玩“掷飞镖”游戏.游戏规则：小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分，两人一共投中30次.经过计算发现爸爸比小华多得2分.设小华投中的次数为x，爸爸投中的次数为y，根据题意列出的方程组正确的是( ) A. B. C. D. 4.某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示： 甲食材乙食材每克所含蛋白质0.3单位0.7单位每克所含碳水化合物0.6单位0.4单位
若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程组为( ) A. B. C. D. 能力提升： 5.李明一家自驾旅行，车上备了一些矿泉水，如果每人分2瓶，则多出4瓶，如果每人分3瓶，则有一人少一瓶.设这一行人共有x人，矿泉水一共y瓶，下列方程组中正确的是( ) A. B. C. D. 6.小明作业本中有一道未写完的题目如下： 小东在某商场看中的一台电视机和一台空调在“五一”前购买需花费5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视机打8折销售，，于是小东在促销期间购买了同样的电视机一台、空调两台，共花费7200元，则“五一”前同样的电视机和空调每台分别为多少元？ 解：设“五一”前同样的电视机每台x元，空调每台y元， 根据题意，得 该题中的一个条件和方程①不小心被污染了，已知小明所列的方程组是正确的，则被污染的条件是__________，方程①是__________. 7.明代数学家程大位所著的《算法统宗》中有这样一道题：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排用于制作笔管或笔套的短竹的数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，可列方程组为 . 拓展迁移： 8.陕西是联合国粮农组织认定的世界苹果最佳优生区，是全球集中连片种植苹果最大区域，某苹果园现有一批苹果，计划租用A、B两种型号的货车将苹果运往外地销售，已知满载时，用3辆A型车和2辆B型车一次可运苹果13吨；用4辆A型车和3辆B型车一次可运苹果18吨.求1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运苹果多少吨？
参考答案：
例题精讲：
例1：解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，根据题意，得
解这个方程组，得
所以，甲带了38钱，乙带了18钱。
巩固训练：
1.D 解析：根据题意，得故选D。
2.D 解析：根据列出的二元一次方程组，可得缺失的条件应为：甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱。故选D。
3.D 解析：设有x人，y辆车。根据题意，得故选D。
4.7 解析：设该问题中的人数为x，物品的价格为y钱。根据题意，得解得所以该问题中的人数为7。
5.12 解析：设树上有x只鸽子，树下有y只鸽子。由题意，得解得所以x+y=12，所以树上、树下共有12只鸽子。
作业设计：
1.答案：C
解析：由题意可得，
，
求解得：，
即甲有羊63只，乙有羊45只，
故选：C.
2.答案：D
解析：设篮球有x个，排球有y个，根据题意得：
，
故选D.
3.答案：C
解析：∵两人一共投中30次，
∴；
∵小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分，爸爸比小华多得2分，
∴.
∴根据题意得可列二元一次方程组.
故选：C.
4.答案：C
解析：由题意可得，
，
故选：C.
5.答案：B
解析：设这一行人共有x人，矿泉水一共y瓶，则：
，
故选：B.
6.答案：同样的空调每台降价400元；
解析：根据题意可知，表示每台空调在“五一”促销活动中的售价，所以被墨水污染的条件是“同样的空调每台降价400元”.因为小东看中的一台电视机和一台空调在“五一”前购买共需要5500元，所以被墨水污染的方程①是.
7.答案：
解析：设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，
由题意得：，
故答案为：.
8.答案：1辆A型车满载时一次可运苹果3吨，1辆B型车满载时一次可运苹果2吨
解析：设1辆A型车满载时一次可运苹果x吨，1辆B型车满载时一次可运苹果y吨，由题意得：
，
解得：；
答：1辆A型车满载时一次可运苹果3吨，1辆B型车满载时一次可运苹果2吨.
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第五章 二元一次方程组
5.3二元一次方程组的应用第1课时
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
能运用 “审、设、列、解、验、答” 流程，用二元一次方程组解决实际问题，规范书写解题过程；
01
学会梳理问题中的已知量、未知量及等量关系，提升信息分析与抽象建模能力；
02
体会二元一次方程组与一元一次方程解决问题的联系与区别，深化模型思想，感受数学文化；
03
通过小组合作解决实际问题，增强应用意识，提升合作交流与逻辑表达能力。
04
02
新知导入
复习回顾：
1.解二元一次方程组的方法有哪些？核心思路是什么？具体步骤是什么？
方法①：代入消元法，
核心思路：
从一个方程中用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再代入另一个方程，实现 “消元”。
步骤：1.变形；2.代入消元；3.求解一元一次方程；4.回代；5.写解；
方法②：加减消元法，
核心思路：通过将两个方程同时乘（或除以）某个数，使某一未知数的系数相等或互为相反数，再将方程相加（或相减）消去该未知数。
步骤：1.统一系数；2.加减消元；3.求解一元一次方程；4.回代；5.检验与写解。
02
新知导入
2.列方程解应用题的步骤有哪些？
列方程解应用题的核心是 “找到等量关系”，将实际问题转化为数学方程。
基本步骤一致，可概括为 “审、设、列、解、验、答” 六步：
03
新知讲解
《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：
今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
(1)这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？
涉及的量有：鸡的数量，兔的数量，鸡足的数量，兔足的数量；
等量关系：鸡的数量+兔的数量=总头数；
鸡的总足数+兔的总足数=总足数；
(2)你能列方程组解决这个有趣的问题吗？你是怎么做的？与同伴进行交流。
解：设笼中有鸡x只，兔y只，
则依题意，列方程组，得
解这个方程组，得
所以笼中有鸡23只，兔12只。
03
新知讲解
思考：你能用一元一次方程或小学的算术方法求解这个问题吗？
解法一：假设推理
解：如果都是鸡，35头应该有70只脚，实际有94只脚，多出24只脚，应该是兔子的，每只兔子多两只脚，
所以兔子应该有12只，所以鸡有35-12=23(只)。
03
新知讲解
思考：你能用一元一次方程或小学的算术方法求解这个问题吗？
解法二：用一元一次方程求解
解：设笼中有鸡x只，则有兔(35-x)只，
由题意可列：2x+4(35-x)=94，解得x=23.
所以35-x=12。
所以笼中有鸡23只，兔12只。
03
新知讲解
归纳小结：
用二元一次方程组解答的优点：相比小学的算术方法求解和一元一次方程求解，更快速简单；用二元一次方程解答的不足：计算较复杂，费时间。
03
新知讲解
列方程组求解下面的问题：
若甲从乙处得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有的第纳尔是乙的5倍；若乙从甲处得到5第纳尔，则乙拥有的第纳尔是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？[选自意大利数学家斐波纳奇（LeonardoFibonacci，约1170-约1240）的《计算之书》]
问题1：这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？
涉及的量：甲原有的钱币数，乙原有的钱币数；甲现在的钱币数，乙现在的钱币数。
等量关系：甲得到7个钱币后的数量=乙失去7个钱币后的数量×5，
乙得到5个钱币后的数量=甲失去5个钱币后的数量× 7。
03
新知讲解
问题2：你能列方程解决这个问题吗？你是怎样做的？与同伴进行交流。
解：设甲原来有x个钱币，乙原来有y个钱币，
由题意可列：
解得：
答：甲原来拥有8第纳尔，乙原来拥有10第纳尔.
03
新知讲解
今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍。乙得甲十钱，适等。问甲、乙怀钱各几何？(选自《张丘建算经》)
题目大意：甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等。甲、乙两人各带了多少钱？
例1
分析
题目涉及哪些数量关系？你能用含未知量的式子表示这些数量关系吗？
涉及的量：甲原有的钱数，乙原有的钱数；甲现在的钱数，乙现在的钱数。
等量关系：甲得到10钱币后的数量=乙失去10钱币后的数量×5，
乙得到10钱币后的数量=甲失去10钱币后的数量。
03
新知讲解
解析
解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，
根据题意，得
解这个方程组，得
所以，甲带了38钱，乙带了18钱。
03
新知讲解
联系：两者都是解决实际问题的代数方法，核心思路一致，均围绕 “找到等量关系、用数学符号表示实际问题” 展开；
区别：两者在 “设未知数的数量”“表示数量关系的方式”“求解过程” 等方面存在明显差异，具体对比如下表：
1.列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联系？与同伴进行交流。
03
新知讲解
03
新知讲解
二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：
①审：通过审题找出等量关系；
②设：用字母表示题目中的两个未知数；
③列：依据找到的等量关系，列出方程组；
④解：解方程组，求出未知数的值；
⑤验：检验所得的解是否是方程组的解，并且要检验其是否符合实际问题的意义；
⑥答：回答题目中要解决的问题，注意单位名称。
2.类比一元一次方程解决实际问题的一般过程，请你总结归纳出运用二元一次方程组解决实际问题的步骤。
03
新知讲解
04
巩固训练
1.《九章算术》是我国古代数学的经典书，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等；交易其一，金轻十三两。问金、银一枚各重几何。”意思是甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问一枚黄金、白银各重几两。设一枚黄金重x两，一枚白银重y两，根据题意列方程组为 ( )
A. B.
C. D.
D
2.我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个。若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为 ( )
A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
D
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巩固训练
3.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前。其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步。问人与车各几何。”意思是现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行。问人与车各多少。设有x人，y辆车，可列方程组为 ( )
A. B.
C. D.
D
04
巩固训练
4.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何。”意思是几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱。问人数、物品的价格分别是多少。该问题中的人数为 。
7
解析：设该问题中的人数为x，物品的价格为y钱。
根据题意，得
解得
所以该问题中的人数为7。
04
巩固训练
5.《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上唱歌，另一部分在地上觅食，树上一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子数一样多。” 所以树上和树下共有 只鸽子。
12
解析：设树上有x只鸽子，树下有y只鸽子。
由题意，得
解得
所以x+y=12，所以树上、树下共有12只鸽子。
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巩固训练
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
列二元一次方程组解应用题的完整流程：审（分析情境，明确已知 / 未知量）→设（设两个未知数）→列（根据两个独立等量关系列方程组）→解（用代入 / 加减消元法求解）→验（检验解的数学正确性与实际意义）→答（规范书写答案，带单位）。
关键要点：从实际情境中提取两个独立等量关系（如总量关系、倍数关系、变化后关系等）是列方程组的核心。
1.《张丘建算经》中有题如下：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说，得甲九只，两人羊数一样.设甲有羊x只，乙有羊y只，可列部分方程组为则正确的是( )
A.方程①为 B.方程①为
C.甲有羊63只 D.乙有羊44只
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作业设计
基础达标：
C
2.学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数的比是，求两种球各有多少个？若设篮球有x个，排球有y个，根据题意得方程组( )
A. B. C. D.
06
作业设计
基础达标：
D
3.小华和爸爸玩“掷飞镖”游戏.游戏规则：小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分，两人一共投中30次.经过计算发现爸爸比小华多得2分.设小华投中的次数为x，爸爸投中的次数为y，根据题意列出的方程组正确的是( )
A. B. C. D.
C
4.某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示：
若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程组为( )
A. B.
C. D.
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作业设计
基础达标：
甲食材 乙食材
每克所含蛋白质 0.3单位 0.7单位
每克所含碳水化合物 0.6单位 0.4单位
5.李明一家自驾旅行，车上备了一些矿泉水，如果每人分2瓶，则多出4瓶，如果每人分3瓶，则有一人少一瓶.设这一行人共有x人，矿泉水一共y瓶，下列方程组中正确的是( )
A. B. C. D.
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作业设计
能力提升：
解析：设这一行人共有x人，矿泉水一共y瓶，
则：，
故选：B.
6.小明作业本中有一道未写完的题目如下：
小东在某商场看中的一台电视机和一台空调在“五一”前购买需花费5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视机打8折销售，①，于是小东在促销期间购买了同样的电视机一台、空调两台，共花费7200元，则“五一”前同样的电视机和空调每台分别为多少元？
解：设“五一”前同样的电视机每台x元，空调每台y元，
根据题意，得
该题中的一个条件和方程①不小心被污染了，已知小明所列的方程组是正确的，则被污染的条件是__________________________，
方程①是______________.
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作业设计
能力提升：
同样的空调每台降价400元
06
作业设计
能力提升：
7.明代数学家程大位所著的《算法统宗》中有这样一道题：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排用于制作笔管或笔套的短竹的数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，可列方程组为 .
解析：设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，
由题意得：.
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作业设计
迁移拓展：
8.陕西是联合国粮农组织认定的世界苹果最佳优生区，是全球集中连片种植苹果最大区域，某苹果园现有一批苹果，计划租用A、B两种型号的货车将苹果运往外地销售，已知满载时，用3辆A型车和2辆B型车一次可运苹果13吨；用4辆A型车和3辆B型车一次可运苹果18吨.求1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运苹果多少吨？
解析：设1辆A型车满载时一次可运苹果x吨，1辆B型车满载时一次可运苹果y吨，
由题意得：，
解得：；
答：1辆A型车满载时一次可运苹果3吨，1辆B型车满载时一次可运苹果2吨.
Thanks!
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