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浙教版2025-2026学年九年级上数学期中模拟卷（一）
（解析版）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知⊙O的半径为1，OA＝2，则点A在（ ）
A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定
【答案】C
【解析】∵ ⊙O的半径为1，OA＝2 ，
∴，
则点A在圆外，
故答案为：C.
2．对于y＝﹣5（x﹣3）2+2的图象下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为（﹣3，2） B．对称轴为：直线x＝﹣3
C．当x≥3时y随x增大而减小 D．函数的最小值是2
【答案】C
【解析】，顶点坐标为，A选项错误，
对称轴为直线，B选项错误，
，开口向下，对称轴为
∴ 当时，y随x增大而减小，C选项正确，符合题意；
开口向下，函数有最大值，最大值为2，D选项错误；
故答案为：C.
3．若正多边形的一个外角等于，则这个多边形是正（ ）边形
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】∵多边形的外角和为360°，
∴360°÷60°=6
故答案选：B.
4．如图，四边形ABCD为⊙O内接四边形，AO⊥BC，垂足为点E，若∠ADC＝130°，则∠BDC的度数为（ ）
A．70° B．80° C．75° D．60°
【答案】B
【解析】∵四边形为的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
5．我国古代数学名著《九章算术》中有一个经典的“圆材埋壁”问题： “今有圆材埋壁中，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 "意思是： 如图，CD是⊙O的直径， 弦 AB⊥CD于P，CP=1寸，AB=10寸，则直径CD的长是 （ ）寸
A．20 B．23 C．26 D．30
【答案】C
【解析】连接OA，设圆O的半径长为x，
∵AB⊥CD，
∴AP=BP=5寸，
∵CP=1，
∴OP=x-1，
在Rt△AOP中，x2-（x-1）2=52，
解得x=13，
∴CD=26寸．
故选：C．
6．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠B＝62°，∠ACD＝39°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接，
∵，
∴，
∴，
∴弧的长为．
故答案为：C．
7．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】【解答】连接OP．
∵PA⊥PB，OA=OB，
∴OP=AB，当OP最短时，AB最短．
连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM==3，
∴AB的最小值为2OP=6．
故答案为：C．
8．在平面直角坐标系中，过点P(0，p)的直线AB交抛物线于A、B两点，已知A(a，b)，B(c，a)，且，则下列说法正确的是（ ）
A．当且时，p有最大值 B．当且时，p有最小值
C．当且时，p有最大值 D．当且时，p有最小值
【答案】D
【解析】依题意，过点P(0，p)的直线AB交抛物线 于A(a，b)，B(c，a)两点，
设直线y= kx+p，
联立，
即
∴a，c是方程 的两根，
即 ac= -p， a+c=k，
∵a
∴B(c，a)在y=x的下方，
联立，
解得： 或
∴0∵B(c，a)在抛物线上， 则(
∴0∴ac> 0，
当 ac>0且a+c=1，
，
有最小值，
故选： D.
9．如图，边长为2的正方形的中心与半径为2的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图，延长，交于点，，
∵边长为2的正方形的中心与半径为2的的圆心重合，
∴图中阴影部分的面积．
故答案为：C．
10． 已知抛物线 经过点 和点 ， 则 的最小值是 （ ）
A．-3 B．-1 C．0 D．1
【答案】A
【解析】 抛物线的对称轴为直线x=-，而函数经过 和点 ，
故m=，即有m=p+1；
又-1≤m≤2，即-1≤p+1≤2，得-2≤p≤1
t=p2-2mp=p2-2(p+1)p=-p2-2p，
t是p的二次函数，且-2≤p≤1，对称轴为直线p=-1
当p=1时，t取最小值，即tmin=-1-2=-3.
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于
【答案】
【解析】一共有5个数，编号是偶数（2和4）的有2个，∴P（编号是偶数）=
故答案为：.
12．如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B＝25°，则∠CAD＝ °．
【答案】65
【解析】连接CD，
∵，
∴∠D=∠B=25°，
又∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD=180°-∠D-∠ACD=65°.
故答案为：65.
13．若二次函数的图像上有两个点A（2，a），B（3，b），则a b（填“＜”或“＝”或“＞”）．
【答案】<
【解析】将点A（2，a），B（3，b） 代入 二次函数可得：
，
∴，
故答案为：<
14．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解折式是的一部分，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来走了 ．
【答案】45
【解析】根据二次函数解析式
可知，汽车的刹车时间为，
当时，
故答案为：45．
15．已知的直径cm，CD是的弦，，垂足为点E，，垂足为点F，且cm，则的长为 cm．
【答案】6
【解析】如图，作OH⊥CD于H，连接AH，延长AH交BF于K，连接OC．
∵OH⊥CD，
∴CH=DH=4（cm），∠CHO=90°，
∴OH==3（cm），
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE∥OH∥BF，
∵OA=OB，
∴EH=FH，
∵∠AEH=∠KFH=90°，∠AHE=∠FHK，
∴△AEH≌△KFH（AAS），
∴AH=HK，
∵AO=OB，
∴OH=BK，
∴BK=6（cm），
∴BF-AE=BF-FK=BK=6（cm）．
故答案为：6．
16． 如图， A B 为 的直径， 且 ， 点 为 上半圆的一点， 于点 ， 的角平分线交 于点 ， 弦 ， 那么 的面积是 .
【答案】85
【解析】延长CE、CO交圆于点F、G，
∵CD平分∠OCE，
∴∠DCF=∠DCG
∴
∵∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBA=90°
∴∠ACE=∠CBA
∵OC=OB
∴∠OCB=∠OBC
∴OCB=ACE
∴
∴
∴∠BCD=45°
在CB延长线上取点M，使BM=AC，连接DM
∵∠CAD+∠CBD=180°，∠CBD+∠DBM=180°
∴∠CAD=∠DBM
又∵AD=BD
∴△DAC≌△DBM(SAS)
∴∠ADC=∠BDM
∵∠ADC+∠CDB=90°
∴∠CDB+∠BDM=90°，即∠CDM=90°
∴△CDM为等腰直角三角形
作DH⊥CM于点H
∴DH=CH=MH=17
∴
故△ACD的面积为85.
故答案为：85.
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知二次函数的图象经过点(0，0)，且它的顶点坐标是(1，-2)．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）判断点(3，5)是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
【答案】（1）∵顶点坐标是(1，-2)
∴设函数表达式为
当x=0，y=0时，有，解得a=2
∴函数表达式为
（2）当x=3时，有
∵
∴点(3，5)不在这个二次函数的图象上
18．如图，有一个可以自由转动的圆形转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．
（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果：
（2）两次转动转盘，第一次转得的数字记为，第二次记为，点的坐标为，求点在函数图象上的概率．
【答案】（1）解：画树状图如下：
每次游戏可能出现的所有结果有9种
（2）解：共有9种等可能的结果，在函数图象上的结果有2种，即，，∴点在函数图象上的概率为
19．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过点（0，3）和（1，1）．
（1）求抛物线C的解析式：
（2）将抛物线C先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1，求抛物线C1的顶点坐标．
【答案】（1）解：将点和分别代入抛物线中
可得
解得
∴抛物线C的解析式为；
（2）解：∵抛物线C的解析式为
∴
∴当时，
∴抛物线C的顶点坐标为
∵将抛物线C先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线
∴抛物线的顶点坐标为
故抛物线的顶点坐标为．
20．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、CE交于点G，DG=2．
（1）求正六边形ABCDEF的边长；
（2）求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：如图，连接，则，
正六边形内接于，
是正三角形，
，
，
，
，
即正六边形的边长为；
（2）解：在中，，，
，
=．
21．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△BCD的面积．
【答案】解：（1）抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式，
把点代入得，，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为；
令，则，
或，
，；
，
.
22．已知：如图，在中，弦与相较于点，连结，．
（1）求证：．
（2）如果的半径为5，，．
①求的度数．
②求的长．
【答案】（1）证明：，
，即，
（2）解：①连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②过O作与F，
由①得：，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∵，
∴，
∵的半径为5，
∴，
在中，，
∴，
解得：或（舍去），
∴，，
∴
23．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．
（1）求点的坐标；
（2）如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
（3）如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）∵点在抛物线的图象上，
∴
∴，
∴点的坐标为；
（2）过作于点，过点作轴交于点，如图：
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，∴当最大时，最大，
设直线解析式为，
将代入得，
∴，
∴直线解析式为，
设，，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴此时最大为，即点到直线的距离值最大
（3）存在．∵
∴抛物线的对称轴为直线，
设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x，）
分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴，即
解得，x=3.
∴
∴点M的坐标为（3，-16）
②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，
方法同①可得，，
∴
∴点M的坐标为（-7，-16）；
③当AC为对角线时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴线段AC的中点H的坐标为，即H（）
∴，解得，。
∴
∴点M的坐标为（-3，8）
综上，点的坐标为：或（3，-16）或．
24．如图1，内接于，点为上一点，点为的中点，连结BF并延长与AE交于点，连结AF，CF
（1）求证： ∠AFC=∠AFG
（2）如图 2，当 BG 经过圆心0时，
①求 FG 的长；.
②记△AFG，△BFC的面积分别为 ， 则 .
【答案】（1）证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
又∵∠ACB=∠AFB
∴∠ABC=∠AFB
∵∠AFG+∠AFB=180
∵∠AFC+∠ABC=180
∴∠AFG=∠AFC
（2）解：①连结 AO，延长 AO 交 BC 于点 M
∵点 F 为的中点
∴∠FAE=∠CAF
又∵AF=AF，∠AFG=∠AFC
∴△AFC≌△AFG
∴FG=FC
∵AB=AC
∴∠AOB=∠AOC
∴∠BOM=∠COM
又∵BO=CO
∴AM⊥BC
设则在 中， 有
解得
，点 O 为 BF 的中点
∴
；
②连接FM
∵AM⊥BC，FC⊥BC
∴AM||CF
∴S△AFC=S△MFC
∵M为BC的中点
∴S△MCF：S△BCF=1：2
∴ 1：2=
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浙教版2025-2026学年九年级上数学期中模拟卷（一）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知⊙O的半径为1，OA＝2，则点A在（ ）
A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定
2．对于y＝﹣5（x﹣3）2+2的图象下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为（﹣3，2） B．对称轴为：直线x＝﹣3
C．当x≥3时y随x增大而减小 D．函数的最小值是2
3．若正多边形的一个外角等于，则这个多边形是正（ ）边形
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，四边形ABCD为⊙O内接四边形，AO⊥BC，垂足为点E，若∠ADC＝130°，则∠BDC的度数为（ ）
A．70° B．80° C．75° D．60°
（第4题） （第5题） （第6题） （第7题） （第9题）
5．我国古代数学名著《九章算术》中有一个经典的“圆材埋壁”问题： “今有圆材埋壁中，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 "意思是： 如图，CD是⊙O的直径， 弦 AB⊥CD于P，CP=1寸，AB=10寸，则直径CD的长是 （ ）寸
A．20 B．23 C．26 D．30
6．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠B＝62°，∠ACD＝39°．若⊙O的半径为5，则弧CD的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
8．在平面直角坐标系中，过点P(0，p)的直线AB交抛物线于A、B两点，已知A(a，b)，B(c，a)，且，则下列说法正确的是（ ）
A．当且时，p有最大值 B．当且时，p有最小值
C．当且时，p有最大值 D．当且时，p有最小值
9．如图，边长为2的正方形的中心与半径为2的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10． 已知抛物线 经过点 和点 ， 则 的最小值是 （ ）
A．-3 B．-1 C．0 D．1
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于
12．如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B＝25°，则∠CAD＝ °．
（第12题） （第15题） （第16题）
13．若二次函数的图像上有两个点A（2，a），B（3，b），则a b（填“＜”或“＝”或“＞”）．
14．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解折式是的一部分，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来走了 ．
15．已知的直径cm，CD是的弦，，垂足为点E，，垂足为点F，且cm，则的长为 cm．
16． 如图， A B 为 的直径， 且 ， 点 为 上半圆的一点， 于点 ， 的角平分线交 于点 ， 弦 ， 那么 的面积是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知二次函数的图象经过点(0，0)，且它的顶点坐标是(1，-2)．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）判断点(3，5)是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
18．如图，有一个可以自由转动的圆形转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．
（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果：
（2）两次转动转盘，第一次转得的数字记为，第二次记为，点的坐标为，求点在函数图象上的概率．
19．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过点（0，3）和（1，1）．
（1）求抛物线C的解析式：
（2）将抛物线C先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1，求抛物线C1的顶点坐标．
20．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、CE交于点G，DG=2．
（1）求正六边形ABCDEF的边长；
（2）求阴影部分的面积．
21．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△BCD的面积．
22．已知：如图，在中，弦与相较于点，连结，．
（1）求证：．
（2）如果的半径为5，，．
①求的度数．
②求的长．
23．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．
（1）求点的坐标；
（2）如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
（3）如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图1，内接于，点为上一点，点为的中点，连结BF并延长与AE交于点，连结AF，CF
（1）求证： ∠AFC=∠AFG
（2）如图 2，当 BG 经过圆心0时，
①求 FG 的长；.
②记△AFG，△BFC的面积分别为 ， 则 .
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