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浙教版2025-2026学年九年级上数学期中模拟卷（一）
（解析版）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、不是二次函数，故A不符合题意；
B、不是二次函数，故B不符合题意；
C、，是二次函数，故C符合题意；
D、，不是二次函数，故D不符合题意；
故答案为：C．
2．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符题意.
故答案为：D.
3．如图，直线，，则的长为（ ）
A．6 B． C．4 D．8
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：B．
4．若为二次函数的图.象上的三点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴当时，随的增大而减少，
∵关于直线的对称点是，
且，
∴．
故答案为：B．
5．一只孟子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与取得的不是白球的概率相同，那么与必满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵取得白球的概率与取得的不是白球的概率相同，
∴，
故答案为：B．
6．在⊙中，点在圆上，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：C．
7．如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（ ）
A．只有方法1对 B．只有方法2对
C．方法1，2都对 D．方法1，2都错
【答案】C
【解析】方法一∵AC∥BD，
∴∠ACP=∠PDB，∠CAP=∠PBD，
∴△ACP∽△BDP，
∴，方法正确；
方法二：连接BC，AD，则BC∥AD，
∴∠BCP=∠PDA，∠CBP=∠PAD，
∴△BCP∽△ADP，
∴，方法正确；
故答案为：C.
8．如图，为的直径，点是弧的中点．过点作于点，交于点，若，，则的半径长是（ ）
A．4 B．5.5 C． D．
【答案】C
【解析】连接，设的半径为r，
∵，
∴，，
∵点C是弧BE的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得，
即的半径为．
故答案为：C．
9．已知直线y＝kx＋1与抛物线y＝x2交于点A、B，与抛物线y＝x2＋2x－1交于点C、D．若AB＝CD，则k的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．－2
【答案】A
【解析】设点A，B的横坐标为，，则，是方程 x2 -kx-1=0的两根，
∴x1+x2=k，x1x2=-1，
∴，
同理，
∵ AB＝CD，
∴，
即，
解得：k=2，
故答案为：A.
10．已知中，直径于点，点在上，且，过点作于点，已知的周长为，且，则的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵直径，
∴，，
∴BC=6，AF垂直平分BC，
∵的周长为， 即，
∴.
设与交于点G，延长至T，使，连接，如图所示：
∴，.
∵AF垂直平分BC，
∴AB=AC，GB=GC.
∴，
∴，即.
∵，
∴，
∵DT=DB，
∴∠DTB=∠DBT，
∵，
∴.
∴∠TBA=∠TGA.
∴点T、B、G、A共圆，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
在中，，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．抛物线交y轴于点，则c的值是 ．
【答案】-5
【解析】∵抛物线交y轴于点，
∴
解得，
12．已知线段AB的长为10厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段AP的长等于 厘米．
【答案】5 ﹣5
【解析】∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP= AB=（5 ﹣5）厘米，
故答案为：5 ﹣5．
13．一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的和是
【答案】
【解析】
根据概率公式，摸出白球的概率 摸出不是白球的概率
由于二者相同，故有
整理得
故答案为：
14．如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是 ．
【答案】（2，0）
【解析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0）．
故答案为：（2，0）．
15．如图，在半径为5的中，弦，D为优弧的中点，C为上点，于点E，于点H，连结．若，则四边形的面积为 ．
【答案】
【解析】过点作于点G，连接，
∵D为优弧的中点，
∴，
∴
∴是等腰三角形，
∵，，
∴，
∵是的外接圆，
∴点O在上，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵于点H，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
故答案为：．
16．在中，，，是的角平分线，是中线，相交于点，，则的值为 ．
【答案】
【解析】∵中，，，
∴，
作交的延长线于点，如图所示，
则，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作交于点，则，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．有一个转盘如图，转盘可以自由转动．
（1）让转盘自由转动一次，求指针落在红色区域的概率．
（2）让转盘自由转动二次，求两次指针都落在黄色区域的概率．
【答案】（1）解：如图，将黄色区域平分成两部分，
这样把一个圆平均分为三部分，红色区域只占一部分，
所以，指针落在红色区域的概率为
（2）解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次指针都落在黄色区域的只有4种情况，
∴两次指针都落在黄色区域的概率为：
18．如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：连接，如图，
∵为半圆的直径，
∴，即，
∵是等腰三角形，即，
∴平分，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为100°．
19．如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点，，都是格点．已知每个小正方形的边长为．
（1）画出的外接圆，并直接写出的半径：
（2）在圆上找一个点，使得是直角三角形，且点在格点上．
【答案】（1）解：如图：作AB和BC的垂直平分线，交点即为点O，然后以点O为圆心，OA为半径作圆即可；
根据勾股定理可得半径为；
（2）解：当是直角三角形时，且点在上，只能是或，利用网格作图如下，点、即为所求．
20．已知抛物线的部分图象如图所示．
（1）结合函数图象，写出当时，x的取值范围．
（2）求该函数图象与x轴的交点和顶点所围成的三角形的面积．
【答案】（1）解：∴对称轴是直线，顶点坐标是．
令
解得或，
∴与轴的交点坐标，
，开口向下，
∴时的取值范围为
（2）解：该函数图象与x轴的交点和顶点所围成的三角形的面积
21．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，
∴AE=ED；
（2）解：∵OC⊥AD，
∴ ，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴ =．
22．在中，，，是中线，一个以点D为顶点的角绕点D旋转，使角的两边分别与的延长线相交，交点分别为点E、F，与交于点M，与交于点N．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，是中线，
是的角平分线，
，
，
，
在与中，
，
，
；
（2）证明：由（1）知：，
，
，
，
，
，
，
即；
（3）解：过点E、D分别作，垂足分别为G、H，如图所示，
，，
由（2）知，，
，
∴，
，CD=3，，
∴，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
∴
23．如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y=x﹣4交于B，D两点
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标是A（﹣2，0）、B（4，0），
∴设该抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
将点C（0，﹣8）代入函数解析式代入，得a（0+2）（0﹣4）=﹣8，
解得a=1，
∴该抛物线的解析式为：y=（x+2）（x﹣4）或y=x2﹣2x﹣8．
联立方程组：
解得（舍去）或，
即点D的坐标是（﹣1，﹣5）；
（2）如图所示：
过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4）．
∴PE=x﹣4﹣（x2﹣2x﹣8）=﹣x2+3x+4．
∴S△BDP=S△DPE+S△BPE=PE （xp﹣xD）+PE （xB﹣xE）=PE （xB﹣xD）=（﹣x2+3x+4）=﹣（x﹣）2+．
∴当x=时，△BDP的面积的最大值为．
∴P（，﹣）．
（3）（2，﹣2）或（3，﹣1）．
【解析】
解：（3）设直线y=x﹣4与y轴相交于点K，则K（0，﹣4），设G点坐标为（x，x2﹣2x﹣8），点Q点坐标为（x，x﹣4）．
∵B（4，0），
∴OB=OK=4．
∴∠OKB=∠OBK=45°．
∵QF⊥x轴，
∴∠DQG=45°．
若△QDG为直角三角形，则△QDG是等腰直角三角形．
①当∠QDG=90°时，过点D作DH⊥QG于H，
∴QG=2DH，QG=﹣x2+3x+4，DH=x+1，
∴﹣x2+3x+4=2（x+1），解得：x=﹣1（舍去）或x=2，
∴Q1（2，﹣2）．
②当∠DGQ=90°，则DH=QH．
∴﹣x2+3x+4=x+1，解得x=﹣1（舍去）或x=3，
∴Q2（3，﹣1）．
综上所述，当△QDG为直角三角形时，点Q的坐标为（2，﹣2）或（3，﹣1）．
故答案为：（2，﹣2）或（3，﹣1）.
24．如图，在中，D在边上，圆O为锐角的外接圆，连接并延长交于点E．
（1）若，请用含的代数式表示；
（2）如图2，作，垂足为F，与交于点G，已知．
①求证：；
②若，求的值．
【答案】（1）解：连接，如图所示：
∵∠DBC=α，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①∵，
∴，即，
设，由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∴；
②作于点M，于点N，如图：
∵BF⊥AC，
∴∠MFN=∠FNE=∠EMF=90°，
∴四边形为矩形，
∴NE=MF.
∵，设，则，，
∴，
∴.
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，于点M，
∴，
∴．
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浙教版2025-2026学年九年级上数学期中模拟卷（一）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，直线，，则的长为（ ）
A．6 B． C．4 D．8
（第3题） （第6题） （第8题） （第10题）
4．若为二次函数的图.象上的三点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．一只孟子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与取得的不是白球的概率相同，那么与必满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
6．在⊙中，点在圆上，，则为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（ ）
A．只有方法1对 B．只有方法2对 C．方法1，2都对 D．方法1，2都错
8．如图，为的直径，点是弧的中点．过点作于点，交于点，若，，则的半径长是（ ）
A．4 B．5.5 C． D．
9．已知直线y＝kx＋1与抛物线y＝x2交于点A、B，与抛物线y＝x2＋2x－1交于点C、D．若AB＝CD，则k的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．－2
10．已知中，直径于点，点在上，且，过点作于点，已知的周长为，且，则的半径长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．抛物线交y轴于点，则c的值是 ．
12．已知线段AB的长为10厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段AP的长等于 厘米．
13．一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的和是
14．如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，在半径为5的中，弦，D为优弧的中点，C为上点，于点E，于点H，连结．若，则四边形的面积为 ．
16．在中，，，是的角平分线，是中线，相交于点，，则的值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．有一个转盘如图，转盘可以自由转动．
（1）让转盘自由转动一次，求指针落在红色区域的概率．
（2）让转盘自由转动二次，求两次指针都落在黄色区域的概率．
18．如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
19．如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点，，都是格点．已知每个小正方形的边长为．
（1）画出的外接圆，并直接写出的半径：
（2）在圆上找一个点，使得是直角三角形，且点在格点上．
20．已知抛物线的部分图象如图所示．
（1）结合函数图象，写出当时，x的取值范围．
（2）求该函数图象与x轴的交点和顶点所围成的三角形的面积．
21．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．
22．在中，，，是中线，一个以点D为顶点的角绕点D旋转，使角的两边分别与的延长线相交，交点分别为点E、F，与交于点M，与交于点N．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立；
（3）若，，求的长．
23．如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y=x﹣4交于B，D两点
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
24．如图，在中，D在边上，圆O为锐角的外接圆，连接并延长交于点E．
（1）若，请用含的代数式表示；
（2）如图2，作，垂足为F，与交于点G，已知．
①求证：；
②若，求的值．
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