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浙教版2025-2026学年九年级上数学期中模拟卷（二）
（解析版）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．小明买彩票中奖
B．在一个只有红球的盒子里摸球，摸到了白球
C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下
D．三角形两边之和大于第三边
【答案】D
【解析】A、小明买彩票中奖是随机事件，不符合题意；
B、在一个只有红球的盒子里摸球，摸到了白球是不可能事件，不符合题意；
C、任意抛掷一只纸杯，杯口朝下是随机事件，不符合题意；
D、三角形两边之和大于第三边是必然事件，符合题意；
故答案为：D.
2．把抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，
∴平移后抛物线的解析式为．
故答案为：C．
3．如图，点A，B，C在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵点A，B，C在上，，
∴，
故答案为：C.
4．在 “双减政策” 的推动下， 我校学生课后作业时长有了明显的减少． 2021 年第三季度平均每周作业时长为 630 分钟， 经过 2021 年第四季度和 2022 年第一季度两次整改后， 现 平均每周作业时长为 450 分钟，设每季度平均每周作业时长的季度平均下降率为， 则可列方程为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设每季度平均每周作业时长的季度平均下降率为a，
可列方程为，
故答案为：C．
5．如图，为的直径，弦于，，，那么弦的长为( )
A．5 B．10 C．12 D．13
【答案】B
【解析】如图，连接OA，
∵，
∴，
∵直径CD⊥AB，
∴AB=2AE，
中，，
解得：
∴，
故答案为：B．
6．已知，，是拋物线上的点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∵点关于对称轴的对称点是，
又∵，
∴，
故答案为：C．
7．如图，已知是的直径，弦与交于点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】连接，令，如图所示：
在中，（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∵（同弧或等弧所对的圆周角相等），
，
又∵AB是直径，
∴（直径所对的圆周角是直角），
，
故答案为：A．
8．已知函数，若则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有最小值 B．当时，无最大值
C．当时，有最小值 D．当时，有最大值
【答案】C
【解析】画出函数图象如图：
由图可知：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当时，，
当时，即：，
∴，
∴，当的值越小，越小，无限接近0，但不等于0，即没有最小值，
当时，，
当时，，
当时，，
时，，当，时，的值最大，为，
综上：当时，有最大值，无最小值，
故选项A，B错误；
当时，，
当时，即：，
∴当越小时，的值越大，即没有最大值，
当时，，
当时，；
当时，，
当时，和的函数值相同时，的值最小，
综上：当，有最小值，无最大值；
故选项C正确，D错误．
故答案为：C．
9．如图，在半径为的中，弦与交于点，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点作于点，于，连接，如图所示：
则，
∴，
在中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
故答案为：C．
10．如图，二次函数的图像过点和，有以下结论：①；②；③；④；其中正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【解析】①二次函数的图像开口向下，
，
二次函数的图象过轴正半轴，
，
，
，
，
∴此结论正确；
②当时，，
即，
，
∴此结论正确；
③二次函数的图像过点和，
，，
两边同除以有，，
，
整理得，
∴此结论正确；
④由题知时，，，
，
，
，
由③同理可得，
，
∴此结论错误．
综上可得，正确的序号是①②③，
故答案为：A．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知二次函数，当时， ．
【答案】
【解析】二次函数，
当时，，
故答案为：.
12．在，，1，2四个数中，随机取一个数分别作为函数中的值，使该二次函数图象开口向上的概率为 ．
【答案】
【解析】从，，1，2四个数中随机选取一个数，共有4种等可能结果，其中使该二次函数图象开口向上的有1、2这2种结果，
该二次函数图象开口向上的概率是，
故答案为：．
13．正六边形每个内角的度数是 ．
【答案】
【解析】正六边形的内角和为：，
正六边形的每个内角的度数为：
，
故答案为：．
14．若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵，
∴二次函数的图象开口向上，顶点为，对称轴是直线，
∵到y轴的距离小于2，
∴，
而，
当，
当时，，
∴n的取值范围是，
故答案为：．
15．如图，四边形内接于，对角线是的直径．为内一点，满足，，若，，则弦的长为 ．
【答案】
【解析】延长交于，延长交于，
，，
，
是的直径，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
．
16．如图，等边内接于，，D为弧上一动点，过点B作射线的垂线，垂足为E．当点D由点C沿运动到点A时，点E的运动路径长为 ．
【答案】
【解析】连接，取的中点为，连接，
，
，
点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，如图，
是等边三角形，
，
，
如图，延长交于，连接，
，
，
，
∴
，
，
，
，
，
点的运动轨迹长为∶；
故答案：．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知二次函数．
（1）求二次函数图象与轴的交点坐标．
（2）求二次函数的顶点坐标．
【答案】（1）解：∵，
∴当时，或，
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为，
（2）解：∵，
∴该函数的顶点坐标为
18．一个盒子里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．
（1）若只从盒子里摸出一个球，直接写出摸出一个白球的概率是________．
（2）若从盒子里摸出一个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出一个球，求两次摸出都是红球的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
红 红 白
红 （红，红） （红，红） （红，白）
红 （红，红） （红，红） （红，白）
白 （白，红） （白，红） （白，白）
共有9种等可能的结果，其中两次摸出都是红球的结果有4种，
∴两次摸出都是红球的概率为．
【解析】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出一个白球的结果有1种，
∴摸出一个白球的概率是．
故答案为：．
19．在平面直角坐标系中，函数图象过点，
（1）当时，求该函数的表达式
（2）证明该函数的图象必过点（m+1，2）
（3）求该函数的最大值
【答案】解：（1）把代入得：A（1，0）、B（4，0）
∴，
解得，
故函数表达式为，
（2）由题意得，
把代入得：，
∴该函数的图象必过点（m+1，2）；
（3）由（2）知，
当时，函数最大值为：
20．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，交AC于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长．
【答案】解：（1）∵，OD是半径，
∴，，
又∵，
∴，
（2） ∵，，
∴，，
又∵在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴
21．有这样一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大值约为．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为，利用图3，解答下列问题：
（1）若为，求此时窗户的透光面积？
（2）与上一个例题比较，改变窗户形状后，若设的长度为，请问当x的值为多少时窗户透光面积最大？与例题相比透光的最大面积是否变大？通过计算说明．
【答案】（1）解：由题意，，，
∴，
∴此时窗户的透光面积为
（2）解：设，则，
∵，
∴，
则窗户的透光面积，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为，即当时，窗户透光面积最大；
∵，
∴与例题相比透光的最大面积变大
22．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG与DC的延长线交于点F．
（1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；
（2）求证：∠FGC=∠AGD．
【答案】解：（1）连接OC．
设⊙O的半径为R．∵CD⊥AB，
∴
在Rt中，∵
∴
解得R=5．
（2）连接AD，
∵弦CD⊥AB，
∴=
∴
∵四边形ADCG是圆内接四边形，
∴，
∵
∴
∴
23．设二次函数（是常数，）
（1）若，求该函数图象的顶点坐标.
（2）若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式.
（3）若二次函数图象经过，两点，当，时，，求证：
【答案】（1）解：当时，二次函数
顶点坐标为
（2）解：当时，，因此不过点，
当时，，因此不过点，
故抛物线过点，代入得，
，
，
抛物线的关系式为
（3）二次函数是常数，的图象与轴交于点，，，
函数图象的对称轴为直线，
当时，函数图象开口向上，
当，时，，
，
，
解得，舍去；
当时，函数图象开口向下，
时，，
，
，，
，
，
24．如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，连结，，．
（1）求证：平分．
（2）如图2，延长，相交于点E．
①求证：．
②若，，求的半径．
【答案】（1）证明∵点C为弧的中点，∴，
∴，，
∴平分
（2）①证明：∵是的直径，∴，
∴，
∵，
∴
②如图2，连接，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的半径为r，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴的半径为5
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浙教版2025-2026学年九年级上数学期中模拟卷（二）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．小明买彩票中奖 B．在一个只有红球的盒子里摸球，摸到了白球
C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 D．三角形两边之和大于第三边
2．把抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，点A，B，C在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
（第3题） （第5题） （第7题） （第9题） （第10题）
4．在 “双减政策” 的推动下， 我校学生课后作业时长有了明显的减少． 2021 年第三季度平均每周作业时长为 630 分钟， 经过 2021 年第四季度和 2022 年第一季度两次整改后， 现 平均每周作业时长为 450 分钟，设每季度平均每周作业时长的季度平均下降率为， 则可列方程为 （ ）
A． B． C． D．
5．如图，为的直径，弦于，，，那么弦的长为( )
A．5 B．10 C．12 D．13
6．已知，，是拋物线上的点，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知是的直径，弦与交于点，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有最小值 B．当时，无最大值
C．当时，有最小值 D．当时，有最大值
9．如图，在半径为的中，弦与交于点，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，二次函数的图像过点和，有以下结论：①；②；③；④；其中正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知二次函数，当时， ．
12．在，，1，2四个数中，随机取一个数分别作为函数中的值，使该二次函数图象开口向上的概率为 ．
13．正六边形每个内角的度数是 ．
14．若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是 ．
15．如图，四边形内接于，对角线是的直径．为内一点，满足，，若，，则弦的长为 ．
（第15题） （第16题）
16．如图，等边内接于，，D为弧上一动点，过点B作射线的垂线，垂足为E．当点D由点C沿运动到点A时，点E的运动路径长为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知二次函数．
（1）求二次函数图象与轴的交点坐标．
（2）求二次函数的顶点坐标．
18．一个盒子里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．
（1）若只从盒子里摸出一个球，直接写出摸出一个白球的概率是________．
（2）若从盒子里摸出一个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出一个球，求两次摸出都是红球的概率．
19．在平面直角坐标系中，函数图象过点，
（1）当时，求该函数的表达式
（2）证明该函数的图象必过点（m+1，2）
（3）求该函数的最大值
20．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，交AC于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长．
21．有这样一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大值约为．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为，利用图3，解答下列问题：
（1）若为，求此时窗户的透光面积？
（2）与上一个例题比较，改变窗户形状后，若设的长度为，请问当x的值为多少时窗户透光面积最大？与例题相比透光的最大面积是否变大？通过计算说明．
22．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG与DC的延长线交于点F．
（1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；
（2）求证：∠FGC=∠AGD．
23．设二次函数（是常数，）
（1）若，求该函数图象的顶点坐标.
（2）若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式.
（3）若二次函数图象经过，两点，当，时，，求证：
24．如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，连结，，．
（1）求证：平分．
（2）如图2，延长，相交于点E．
①求证：．
②若，，求的半径．
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