北京版（2024）八年级数学上册12.8 尺规作图 教案+随堂检测（无答案）

北京版（2024）八年级数学上册尺规作图教案
【教学目标】
通过尺规作图的学习与实践，使学生不仅能掌握基本的作图方法，更能深刻理解几何图形的性质与关系，发展其几何直观、逻辑思维、空间想象能力，体会数学的严谨性、逻辑性和创造性，形成用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考问题，用数学的语言表达问题。
【教学重点】
基本尺规作图：①作一条线段等于已知线段，②作一个角等于已知角；.③作角平分线。④作线段的垂直平分线。⑤作三角形。
【教学难点】
作一个角等于已知角，作线段的垂直平分线的作法分析过程.
【教学过程】
一．温故：
用直尺和圆规完成以下两个作图
( 1 ) 过两点作直线、 射线、线段 。
( 2 ) 延长线段成射线。
( 3 ) 以已知点为圆心，定长为半径作圆 ( 圆弧 )
二．知新：
1.定义：在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图.
2.介绍尺规作图的历史背景.
3.五种基本作图：①作一条线段等于已知线段，②作一个角等于已知角；.③作角平分线。④作线段的垂直平分线。⑤作三角形。
三、探究作图方法
活动一
已知：线段 a.
求作：一条线段，使它等于线段 a.
作法：
( 1 ) 作射线 OA；
( 2 ) 以点 O 为圆心，a 为半径作弧，交 OA 于点 B.所以线段 OB 就是所求作的线段 ( 图 12 - 65 )
理论根据：等圆中半径相等。
活动二；
已知：∠AOB．
求作：一个角，使它等于 ∠AOB．
分析：欲作一个角等于 ∠AOB，联想到全等三角形的对应角相等，可以先
构造一个以 ∠AOB 为内角的三角形，再作与之全等的三角形 .
作法：( 1 ) 作射线 O'A'；
( 2 ) 以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D；
( 3 ) 以点 O' 为圆心，OC 的长为半径作弧 C'E'，交 O'A' 于点 C'；
( 4 ) 以点 C' 为圆心，CD 的长为半径作弧，交弧 C'E' 于点 D'；
( 5 ) 过点 D' 作射线 O'B'．所以 ∠A'O'B' 就是所求作的角 ( 图 12 - 67 ) .
理论根据：全等三角形对应角相等。
活动三：
已知：∠AOB.
求作：射线 OC，使它平分 ∠AOB.
作法：( 1 ) 以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交OA 于点 D，交 OB 于点 E；
( 2 ) 分别以点 D，E 为圆心，以大于 DE 的一半长为半径作弧，两弧交于点 C；
( 3 ) 作射线 OC．所以射线 OC 就是所求作的射线 ( 图 12 - 68 ).
理论根据：全等三角形对应角相等
思考：
1、为什么要大于 DE 的一半长为半径作弧？
2、如图 ，OP 是 ∠AOB 平分线，C 是 OP 上任意一点，CM ⊥OA 于点 M，CN ⊥ OB 于点 N， 探究 CM 与 CN 之间的关系
∵OP 是 ∠AOB 平分线，
∴∠BOP=∠AOP
在△OCN和△OCM中，
∠BOP=∠AOP
OC=OC
∠CNO=∠CMO=90°
∴△OCN≌△OCM(AAS)
∴CN=CM
结论，角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等
例题1;已知：如图 12 - 70，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，CA = CB，AD 平
分 ∠BAC，DE ⊥ AB 于点 E.
求证：DC = BE.
证明：∵ DE ⊥ AB，
∴ ∠C = ∠DEA = 90°.
又∵ AD 平分 ∠BAC，
∴ DC = DE ( 角平分线上的点到角两边的距离相等 ) .
∵ ∠C = 90°，CA = CB，
∴ ∠B = 45°.
∴ ∠EDB = 180° - 90° - 45° = 45°.
∴ ∠B = ∠EDB .
∴ BE = DE .
∴ DC = BE
例题2，如图 12 - 71，P 是 ∠AOB 内一点，PC ⊥ OA 于点 C，PD ⊥ OB 于点 D，且 PC = PD.猜想：点 P 在什么位置上？你能证明你的猜想吗？
解：点 P 在∠AOB的平分线上。
理由：连接OP
在Rt△OPD和Rt△OPC中，
OP=OP
PC=PD
∴△OPD≌△OPC(HL)
∴∠DOP=∠COP
∴点 P 在∠AOB的平分线上。
通过上述活动，我们得到定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
活动四
已知：线段 AB.
求作：线段 AB 的垂直平分线 .
分析：欲作线段 AB 的垂直平分线，可以分别找到两点，使得这两点到线段
AB 的两个端点距离相等，然后过这两点作直线，就得到线段 AB 的垂直平分线 .
作法：( 1 ) 分别以点 A，B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧分别交于点 C，D；
( 2 ) 作直线 CD.所以直线 CD 就是所求作的直线 ( 图 12 - 74 )
例题3，如图 ，CD 是线段 AB 的垂直平分线，P 是 CD 上一点，分别连接 PA，PB. 当点 P 在 CD 上移动时，观察 PA，PB 长度的关系，可得出什么猜想？能证明你的猜想吗？
猜想：PA=PB
证明：∵PD是线段AB的垂直平分线
∴AD=BD.∠PDA=∠PDB=90°
在Rt△OPD和Rt△OPC中，
PD=PD
∠PDA=∠PDB=90°
AD=BD
∴△OPD≌△OPC(SAS)
∴∠PA=PB
例题4：如图 12 - 73，PA = PB，点 P 在什么位置上
解：点 P 在AB的垂直平分线上。
理由：过P作AB的垂线交AB于D
在Rt△OPD和Rt△OPC中，
PD=PD
PA=PB
∴△APD≌△BPD(HL)
∴AD=BD
又∵PD⊥AB
∴点 P 在AB的垂直平分线上。
通过以上活动得到：
1.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 .
2. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
例 5 已知：如图 12 - 75，AC = AD，BC = BD，E 是直线 AB 上任意一点，求证：EC = ED.
证明：∵ AC = AD，
∴ 点 A 在线段 CD 的垂直平分线上 ( 到线段两端距离相等的点在线段
的垂直平分线上 ) .
同理可证：点 B 在线段 CD 的垂直平分线上
根据两点确定一条直线，可知直线 AB 是线段 CD 的垂直平分线 .
∵ 点 E 在直线 AB 上，
∴ EC = ED ( 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 )
活动五
已知两边及其夹角，求作三角形 .
已知：线段 a，b 及 ∠α ( 图 12 - 76 ).
求作：△ABC，使 BC = a，AC = b，∠C = ∠α.
分析：欲作一个三角形，使其两边分别等于 a，b，其夹角等于 ∠α，先作
∠DCE等于∠α，然后在这个角的两条边上分别截取CB = a，CA = b，再连接AB即可.
作法：( 1 ) 作 ∠DCE = ∠α；
( 2 ) 在射线 CE 上截取 CB = a；
( 3 ) 在射线 CD 上截取 CA = b；
( 4 ) 连接 AB.
所以△ABC 就是所求作的三角形 ( 图 12 - 77 )
四、小结
1.尺规作图的定义：用没有刻度的直尺和圆规作图
2.尺规作图的基本作图：①作一条线段等于已知线段，②作一个角等于已知角；.③作角平分线。④作线段的垂直平分线。⑤作三角形。
3.尺规作图的要求：保留痕迹，明确结论
4.尺规作图的方法：假设图形，分析作法，作出图形，验证作法
五、随堂检测
1.已知直线L以及直线上一点 A. 求作：过点 A 与直线L垂直的直线 .
2. 已知直线L以及直线外一点 B. 求作：过点 B 与直线L垂直的直线 .
3.用尺规完成以下作图：
( 1 ) 已知：∠ AOB. 求作：一个角，使它等于 ∠ AOB.
( 2 ) 已知：∠COD. 求作：∠COD 的平分线 .
( 3 ) 已知：线段 MN. 求作：MN 的垂直平分线
4.已知下列条件，用尺规作三角形：
( 1 ) 已知：线段 a，b. 求作：等腰三角形，使它的腰长为 a，底边长为 b.
( 2 ) 已知：线段 a，b. 求作：直角三角形，使它的两条直角边长分别为 a，b.
( 3 ) 已知：线段 a. 求作：等边三角形，使它的边长为 a
5.已知下列条件，用尺规完成下列作图：
( 1 ) 已知：∠α，∠β，线段 a. 求作：△ABC，使 AB = a，∠A = ∠α，∠B = ∠β.
( 2 ) 已知：∠α，∠β. 求作：∠ AOB，使 ∠ AOB = ∠α + ∠β
6．下列画图语言表述正确的是( )
A．延长线段AB至点C，使AB=BC；
B．以点O为圆心作弧
C．以点O为圆心，以AC长为半径画弧；
D．在射线OA上截取OB=a，BC=b，则有OC=a+b
7．如图点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
8.如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF一半长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M。
（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，
求证：△ACN≌△MCN。
9. 如图，村庄 A，B 分别在笔直公路 L 的两侧 . 在公路的什么位置设置车站，
可以使车站到 A，B 两村庄的距离相等？请找出车站的位置，并说明理由 .
10.如图，要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A，B 两城镇供气 . 泵站修在管道的什么位置，可使所用的输气管线最短？
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