北京版（2024）八年级数学上册 12.5 全等三角形的判定 教案+随堂测试（无答案）

北京版（2024）八年级数学上册全等三角形的判定
【教学目标】
学生能够理解“完全重合”的直观含义，抽象出全等三角形的的定义。
学生能理解，要证明两个三角形全等，并不需要六对元素（三边三角）都相等，通过探究发现“SSS”“ASA”“SAS”这些更简洁更有效的判断公理和判断定理。
运用全等三角形的判断定理或公理，证明三角形全等，根据三角形全等的对角角相等，对应边相等解决实际问题
【教学重点、难点】
重点：判断两个三角形全等
难点：探究三角形全等的条件
【教学过程 】
知识铺垫
1、在图 12 - 23 中，△ABC 和△MPN 能够完全重合，我们说这两个三角形全等 .“全等”用符号“≌”来表示，读作“全等于”. △ABC 全等于△MPN，记作“△ABC≌△MPN”.
当两个三角形重合时，互相重合的顶点叫作对应顶点，互相重合的边叫作对应边，互相重合的角叫作对应角。
2、在图 12 - 24 中，△DEF 是由△ABC 沿 BC 平移得到的，那么△ABC ≌ . 指出对应顶点、对应边和对应角 .
二、探究新知
1、如图:在△ABC和△DEF中,AB=DE,BC=EF,AC=DF, ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F,则△ABC和△DEF全等吗
2、△ABC和△DEF全等是不是一定要满足AB=DE,BC=EF,AC=DF, ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F这六个条件呢？若满足这六个条件中的一个、两个或三个条件,这两个三角形全等吗
一个条件可分为：一组边相等和一组角相等
两个条件可分为：两个边相等、两个角相等、一组边一组角相等
探究一：
1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）。
①只给一条边：
②只给一个角：
2.给出两个条件：
①一边一内角：
②两内角：
③两边：
问题3：
两个三角形若满足这六个条件中的三个条件能保证它们全等吗？满足三个条件有几种情形呢？
三个条件可分为：三条边相等、三个角相等、两角一边相等、两边一角相等
探究二：已知线段a、b、c， 请画一个△ABC，使它满足：边 AB为 c，边BC为a,边AC为b. 然后把△ABC 剪下来，并与同学的三角形互相叠放在一起，它们能完全重合吗？
归纳：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（基本事实） .
简记为：边边边或 SSS
数学语言：如图 12 - 33，在△ABC 和△A'B'C' 中，如果 AB = A'B'，AC = A'C'，BC =B'C'，那么△ABC ≌△A'B'C'.
例题1：如图 12 - 34，在△ABC 中，AB = AC，D 为 BC 的中点 .
求证：AD 平分 ∠BAC.
证明：∵ D 为 BC 的中点，
∴ BD = CD .
在△ABD 和△ACD 中，
AB = AC，
BD = CD，
AD = AD，
∴ △ABD ≌△ACD ( SSS ) .
∴ ∠BAD = ∠CAD，
即 AD 平分 ∠BAC.
探究三：已知线段c，角α，角β，如图 12 - 28. 请画一个△ABC，使它满足：边 AB为 c，∠ A 为 α，∠ B 为 β. 然后把△ABC 剪下来，并与同学的三角形互相叠放在一起，它们能完全重合吗？
归纳：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 .
简记为：角边角或 ASA
数学语言：如图12-29，在△ABC 和△A′B'C' 中，如果 ∠B = ∠B'，∠C = ∠C'，BC = B'C'，那么，△ABC ≌ △A'B'C'
例2 ；如图 12 - 30，AC // BD，AB 交 CD 于点 O，且 AC = BD.
求证：△AOC ≌ △BOD.
证明：∵ AC // BD，
∴ ∠A = ∠B，∠C = ∠D.
在△AOC 和△BOD 中，
∠ A = ∠ B，
AC = BD，
∠C = ∠ D，
∴ △AOC ≌ △BOD ( ASA )
探究四：已知线段a，b,角α， 请画一个△ABC，使它满足：边BC为 a，边AC为b,∠ C 为 α 然后把△ABC 剪下来，并与同学的三角形互相叠放在一起，它们能完全重合吗？
归纳：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
简记为：边角边或 SAS.
数学语言；如图 12 - 31，在△ABC 和△A'B'C' 中，如果 AB = A'B'，AC = A'C'，∠A =∠A'，那么△ABC ≌△A'B'C'.
例3：如图 12 - 32，AC = AD，AB 平分 ∠CAD.
求证：( 1 ) △CAB ≌△DAB；( 2 ) ∠C = ∠D.
证明：( 1 ) ∵ AB 平分 ∠CAD，
∴ ∠CAB = ∠DAB.
在△CAB 和△DAB 中，
AC = AD，
∠CAB = ∠ DAB，
AB = AB，
∴ △CAB ≌△DAB ( SAS ) .
( 2 ) ∵ △CAB ≌△DAB，
∴ ∠C = ∠D
探究五：由于三角形的内角和180°，已知两个角相等，第三个角必定相等。所以得到；两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 .
简记为：角角边或 AAS.
数学语言：如图 12 - 35，在△ABC 和△A'B'C' 中，如果 ∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，BC = B'C'，那么△ABC ≌△A'B'C'.
例4：如图 12 - 36，∠C = ∠D = 90°，AB 平分 ∠CAD
求证：AC = AD.
证明：∵ AB 平分 ∠CAD，
∴ ∠1 = ∠2.
在△CAB 和△DAB 中，
∠C = ∠ D，
∠1 = ∠2，
AB = AB，
∴ △CAB ≌△DAB ( AAS ) .
∴ AC = AD
三、课堂总结：
两个三角形全等的判断定理
边边边（SSS）（基本事实）
边角边（SAS）
角边角（ASA）;角角边（AAS）
随堂测试
单选题
1.下列说法：①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长相等，面积不相等，其中正确的为 （ ）
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④
2.已知下图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）
A. 72° B. 60° C. 58° D. 50°
3.已知△ABC≌△A1B1C1 ， A和A1对应，B和B1对应，∠A=70°，∠B1=50°，则∠C的度数为（ ）
A. 70° B. 50° C. 120° D. 60°
4.如图，若△ABC ≌ △ DEF, BC=6, EC=4,则CF的长为 ( )
A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3
5.如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6.如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC=5cm，BF=7cm，则EC长为（　 ）
A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm
第4题图 第5题图 第6题图
7.如图，△ABC≌△BDE ，若AB=12 ，ED=5 ，则CD的长为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8.如图△ABC≌△ADE ，若∠B=80°， ∠C=30° ，则 ∠EAD 的度数为（ ）
A. 60° B. 70° C. 75° D. 80°
第7题图 第8题图 第9题图
9.如图，点B，E，C，F在同一条直线上，△ABC≌△DEF，∠B=45°，∠F=65°，则∠COE的度数为（ ）
A. 40° B. 60° C. 70° D. 100°
10.如图所示，△ABC ≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，有以下结论：①AC=AF；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC，其中正确的个数是 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
填空题
11.如图，△ACE≌△DBF，如果∠E＝∠F，DA＝12，CB＝2，那么线段AB的长是________．
12.如图，△ABC≌△ADE，∠EAC=25°，则∠BAD=________。
第10题图 第11题图 第12题图
13.如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为________.
14.如图，△ABC≌△ADE，∠EAC＝35°，则∠BAD＝________°.
15.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，若ABC的面积为18cm2 ， 则图中阴影部分的面积是________cm2.
第13题图 第14题图 第15题图
16.一个三角形的三边为6、10、x,另一个三角形的三边为 y 、6、12,如果这两个三角形全等,则 x+y =________.
17.如图所示，△ABC≌△ADE，且∠DAE=55°，∠B=25°，则∠ACG=________.
18.如图,AB=6cm,AC=BD=4cm.∠CAB=∠DBA=60 ,点 P 在线段 AB 上以 1cm/s 的速度由点A 向点 B 运动,同时,点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动。它们运动的时间为 t(s)，则点 Q的运动速度为________cm/s，使得 A.C.P 三点构成的三角形与 B.P、Q 三点构成的三角形全等。
第17题图 第18题图
三、综合题
19.如图，已知△ABC≌△DEF，点B、E、C、F在同一直线上，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．
（1）求∠F的度数与DH的长；
（2）求证：AB∥DE．
20.如图，已知△ABF≌△CDE.
（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；
（2）若BD=10，EF=2，求BF的长.
21.如图，在△ ABC 中，D 为 BC 的中点，过 D 点的直线 GF 交 AC 于点 F，交 AC
的平行线 BG 于点 G，DE ⊥ GF 并交 AB 于点 E，连接 EG，EF .
( 1 ) 求证：BG = CF.
( 2 ) 请你猜想 BE + CF 与 EF 的大小关系，并说明理由
拓展提高：
22.刘大伯承包了一个鱼塘（如图），他想知道鱼塘的宽AB究竟是多少 .请你设计一种测量鱼塘宽度 AB 的方案，帮助刘大伯解决这个问题
D
E
F
A
B
C
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