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第2讲 力的合成和分解
一、力的合成
1．合力与分力
共同
等效替代
2．力的合成
平行四边形
三角形
二、力的分解
效果
正交
三、矢量和标量
方向
算术
答案：B
答案：B
考点一 力的合成
考向1 合力的范围
例1 两个力F1＝8 N和F2＝6 N之间的夹角θ(0≤θ≤180°)，其合力为F，以下说法正确的是( )
A．合力F比分力F1和F2中的任何一个力都大
B．当F1和F2大小不变时，θ角减小，合力F一定减小
C．合力F不可能大于14 N
D．合力F不可能小于6 N
答案：C
解析：根据平行四边形定则可知，合力可以比分力中的任何一个力都大，也可以比分力中的任何一个力都小，还可以等于其中任意一个分力，故A错误；当F1和F2大小不变时，θ角减小，根据平行四边形定则可知，合力F一定增大，故B错误；合力大小的变化范围为|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|，则2 N≤F≤14 N，故C正确，D错误．
考向2 作图法求合力
(1)两个共点力的合成
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小．
(2)三个共点力的合成
①最大值：三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3.
②最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则合力的最小值为0；如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值等于最大的力减去另外两个力的和的绝对值．
例2 (2025·河南新乡测试)一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是( )
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求合力大小
答案：B
解析：如图所示．先以力F1和F2为邻边作平行四边形，其合力与F3共线，大小F12＝2F3，如图所示，F12再与第三个力F3合成，求合力F合，可得F合＝3F3.
考向3 计算法求合力或分力
例3 射箭是奥运会上一个观赏性很强的运动项目，中国队有较强的实力．射箭时，刚释放的瞬间若弓弦的拉力为100 N，对箭产生的作用力为120 N，其弓弦的拉力如图中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图中F所示，则弓弦的夹角α应为(cos 53°＝0.6)( )
A．53° B．127° C．143° D．106°
答案：D
题后感悟
计算法求合力的方法
作图法 作出两分力的图示，再根据平行四边形定则求出合力的大小
计算法 根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力
答案：C
考点二 力的分解
考向1 力的效果分解法
例4 (2025·四川绵阳模拟)在药物使用中就应用到很多物理知识．两图分别是用注射器取药的情景和针尖刺入瓶塞的物理图样，针尖的顶角很小，医生沿着注射器施加一个较小的力F，针尖会对瓶塞产生很大的推力．现只分析如图所示的针尖倾斜侧面与水平侧面对瓶塞产生的两个推力，
则( )
A.针尖在两个侧面上对瓶塞的两个推力是等大的
B．针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力比水平侧面的推力大
C．若F一定，使用顶角越小的针尖，则倾斜侧面对瓶塞产生的推力就越小
D．针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力FN＝F cos θ
答案：B
题后感悟
力的效果分解法的步骤
答案：D
题后感悟
力的正交分解法
(1)正交分解：将已知量按相互垂直的两个方向进行分解的方法．
(2)建轴原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系．
(3)解题方法：首先把各力向相互垂直的x轴、y轴上分解，然后分别对x轴方向和y轴方向列式求解．
考向3 力的分解中的多解问题
1．同一个力F可以分解为无数对大小、方向不同的分力，如图甲所示．
2．已知合力F的大小和方向及一个分力F1的方向，当两个分力垂直时，另一个分力F2有最小值F2min＝F sin α，如图乙所示．
3．已知合力F的方向及一个分力F1的大小和方向，当另一个分力与合力方向垂直时，另一个分力F2有最小值F2min＝F1sin α，如图丙所示．
例6 已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N．则( )
A．F1的大小是唯一的 B．F2的方向是唯一的
C．F2有两个可能的方向 D．F2可取任意方向
答案：C
解析：已知一个分力有确定的方向，与合力F的方向成30°角，可知另一个分力的最小值为F2min＝F sin 30°＝25 N，依题意得，25 N练2 港珠澳大桥全长约55公里，是目前全球最长的跨海大桥．“飞虹”连天堑、织经纬，“珠联璧合” 映落神州．作为连接粤港澳三地的超级工程和全国爱国主义教育基地，游客可经大桥珠海公路口岸出发，参团游览大桥，感受大国重器的魅力．风帆造型的九洲航道桥部分如图所示，这部分斜拉桥的一根塔柱两侧共有8对钢索，每一对钢索等长．每一条钢索与塔柱成α角，若不计钢索的自重，且假设每条钢索承受的拉力大小相同为F，
答案：C
解析：由题知，每一条钢索与塔柱成α角，将每一对钢索的力F沿竖直方向和水平方向分解，则水平方向的力相互抵消，竖直方向的力对塔柱有拉力作用，故16条钢索对塔柱的拉力为F合＝16F cos α，C正确．
“活结、死结”及“动杆、定杆”模型
模型建构1 “活结”与“死结”模型
(1)“活结”模型分析
(2)“死结”模型分析
典例1 如图所示，将三段轻绳相结于O点，其中OA绳的一端拴在墙上，OB绳的下方悬挂甲物体，OC绳跨过光滑定滑轮悬挂乙物体．OC绳在滑轮左侧的部分与竖直方向的夹角为α＝70°.OA绳与竖直方向的夹角为β(未知).若甲、乙两物体的质量均为m＝2 kg，重力加速度g取10 m/s2.根据所学的知识，不需计算，推理出OA绳的拉力约为( )
A．16 N B．23 N C．31 N D．41 N
答案：B
解析：甲、乙两物体的质量均为m＝2 kg，则OC绳的拉力与OB绳的拉力均为20 N，这两个力的合力与OA绳的拉力大小相等、方向相反．由几何关系可知，OC绳的拉力与OB绳的拉力夹角为110°，而夹角为120°均为20 N的两个力的合力大小为20 N，所以OC绳的拉力与OB绳的拉力的合力略大于20 N．所以根据所学的知识，不需计算，推理出OA绳的拉力约为B选项的23 N.
模型建构2 “动杆”与“定杆”模型
(1)“动杆”模型分析
(2)“定杆”模型分析
典例2 如图所示，轻杆AB的左端用铰链与竖直墙壁连接，轻杆CD的左端固定在竖直墙上，图甲中两轻绳分别挂着质量为m1、m2的物体，另一端系于B点，图乙中两轻绳分别挂着质量为m3、m4的物体，另一端系于D点．四个物体均处于静止状态，图中轻绳OB、O′D与竖直方向的夹角均为θ＝30°，
答案：B
1．图甲所示是古代某次测量弓力时的情境，图乙为其简化图，弓弦挂在固定点O上，弓下端挂一重物，已知弓弦可看成遵循胡克定律的弹性绳，重物质量增减时弓弦始终处于弹性限度内，不计弓弦的质量和O点处的摩擦，忽略弓身的形变，
则( )
A．若减少重物的质量，OA与OB的夹角不变
B．若增加重物的质量，OA与OB的夹角减小
C．若减少重物的质量，弓弦的长度不变
D．若增加重物的质量，弓弦的长度变短
答案：B
解析：设弓弦的张力为F，两侧弓弦与竖直方向夹角为θ，根据平衡条件公式有2F cos θ＝mg，增加重物质量，θ减小，OA与OB的夹角减小，根据胡克定律可知，弓弦的长度变长．反之，减小重物质量，OA与OB的夹角增大，弓弦的长度变短．
答案：A
解析：由力的合成的平行四边形定则，结合数学知识知，歼－35所受阻拦索的力为2F cos 60°＝F.
答案：D
4．(多选)如图所示，杆BC的B端用铰链固定在竖直墙上，另一端C为一滑轮．重物G上系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，整个装置处于静止状态．若将绳的A端沿墙缓慢向下移，同时使杆绕B缓慢转动，该过程中可认为装置仍然处于静止状态(杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计)．则( )
A．绳的拉力不变，BC杆所受绳的压力增大
B．绳的拉力不变，BC杆所受绳的压力减小
C．必须使杆绕B顺时针转动
D．必须使杆绕B逆时针转动
答案：AD
解析：动滑轮不改变力的大小，绳的拉力始终等于重物重力的大小；绳的拉力不变时，夹角越小，合力越大，则BC杆所受绳的压力增大，A正确，B错误；由平行四边形定则作图(如图所示)可知，
将绳的A端沿墙缓慢向下移，则AC绳逆时针转动，其对角线即合力也逆时针转动，所以必须使杆绕B逆时针转动，C错误，D正确．
5．如图所示，光滑轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定于竖直杆上的a、b两点，一质量为m的衣服静止悬挂于绳上某点；若在绳上另一点继续悬挂另一质量为m0的衣服，已知m则最终两衣服在绳上的状态为( )
答案：D
答案：D
答案：A
解析：已知F1的方向，要使小物块沿OO′方向运动，即F1和F2的合力沿OO′方向，根据力的三角形定则，如图所示，
可知F2的最小值为F2＝F1sin θ.
8．如图甲所示，吊车是建筑工地常用的一种大型机械．为了便于研究问题，将它简化成如图乙所示的模型，硬杆OB的一端装有定滑轮，另一端固定在车体上；质量不计的绳索绕过定滑轮吊起质量为m的物体匀速上升，不计定滑轮的质量以及滑轮与轴承之间的摩擦，重力加速度大小为g.下列说法正确的是( )
A．OA段绳索受到的拉力小于mg
B．OA段绳索受到的拉力大于mg
C．OB杆对定滑轮的支持力小于2mg
D．绳索对定滑轮的作用力大于2mg
答案：C
9．(2025·安徽皖北协作区联考)航母阻拦索用于拦停高速着舰的舰载机，被喻为“舰载机生命线”，如图所示为其结构简图，滑轮1、2、3、4及液压缸a、b、c固定在甲板平面上，阻拦索绕过滑轮组后闭合．某时刻舰载机的挂钩勾住阻拦索，形成图示的夹角时，舰载机受到阻拦索的合力大小为F.不考虑阻拦索、滑轮的质量及一切摩擦，
答案：B
10．(10分)一重为G的圆柱体工件放在V形槽中，槽顶角α＝60°，槽的两侧面与水平方向的夹角相同，槽与工件接触处的动摩擦因数处处相同，大小为μ＝0.25.
(1)要沿圆柱体的轴线方向(如图甲所示)水平地把工件从槽中拉出来，人至少要施加多大的拉力？
答案：0.5G
解析：分析圆柱体的受力可知，沿轴线方向受到拉力F、两个侧面对圆柱体的滑动摩擦力，由题给条件知F＝2Ff，
由圆柱体重力产生的效果将重力进行分解，如图所示，
α＝60°，由几何关系可得G＝F1＝F2，
由Ff＝μF1得F＝0.5G.
(2)现把整个装置倾斜，使圆柱体的轴线与水平方向成37°角，如图乙所示，且保证圆柱体对V形槽两侧面的压力大小相等，发现圆柱体能自动沿槽下滑，求此时工件所受槽的摩擦力大小．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
答案：0.4G
解析：把整个装置倾斜，则重力沿压紧两侧的斜面的分力F′1＝F′2＝G cos 37°＝0.8G，
此时工件所受槽的摩擦力大小F′f＝2μF′1＝0.4G.第2讲 力的合成和分解
一、力的合成
1．合力与分力
2．力的合成
二、力的分解
三、矢量和标量
,
考教衔接
1.【链接·人教版必修第一册P75第4题，两题创设的物理情境和思维方法相同】
(2023·重庆卷，1)矫正牙齿时，可用牵引线对牙施加力的作用．若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F，夹角为α(如图)，则该牙所受两牵引力的合力大小为( )
A．2F sin B．2F cos
C．F sin α D．F cos α
2．【链接·人教版必修第一册P80第5题，两题创设的物理情境和思维方法相同】
刀、斧、凿等切削工具的刃部叫作劈，用斧头劈木柴的示意图如图所示．劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开．设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头的自身重力，则劈的侧面推压木柴的力约为( )
A．F B．F C．F D．F
关键能力·研教材——考向探究 经典示例 突出一个“准”
考点一 力的合成
考向1 合力的范围
例1 两个力F1＝8 N和F2＝6 N之间的夹角θ(0≤θ≤180°)，其合力为F，以下说法正确的是( )
A．合力F比分力F1和F2中的任何一个力都大
B．当F1和F2大小不变时，θ角减小，合力F一定减小
C．合力F不可能大于14 N
D．合力F不可能小于6 N
考向2 作图法求合力
(1)两个共点力的合成
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小．
(2)三个共点力的合成
①最大值：三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3.
②最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则合力的最小值为0；如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值等于最大的力减去另外两个力的和的绝对值．
例2 (2025·河南新乡测试)一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是( )
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求合力大小
考向3 计算法求合力或分力
例3 射箭是奥运会上一个观赏性很强的运动项目，中国队有较强的实力．射箭时，刚释放的瞬间若弓弦的拉力为100 N，对箭产生的作用力为120 N，其弓弦的拉力如图中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图中F所示，则弓弦的夹角α应为(cos 53°＝0.6)( )
A．53° B．127° C．143° D．106°
题后感悟
计算法求合力的方法
作图法 作出两分力的图示，再根据平行四边形定则求出合力的大小
计算法 根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力
练1 (2025·陕西咸阳一模)如图所示，在轻绳中间用挂钩(没画出)悬挂一个质量为m的重物，双手紧握轻绳的两端，然后沿水平固定的刻度尺缓慢分开，重力加速度大小为g，下列说法正确的是( )
A．两侧轻绳拉力的合力减小
B．两侧轻绳的拉力均减小
C．当θ＝90°时两侧轻绳的拉力均为
D．当两侧绳长与两手间距相等时两侧轻绳的拉力均为mg
考点二 力的分解
考向1 力的效果分解法
例4 (2025·四川绵阳模拟)在药物使用中就应用到很多物理知识．两图分别是用注射器取药的情景和针尖刺入瓶塞的物理图样，针尖的顶角很小，医生沿着注射器施加一个较小的力F，针尖会对瓶塞产生很大的推力．现只分析如图所示的针尖倾斜侧面与水平侧面对瓶塞产生的两个推力，则( )
A.针尖在两个侧面上对瓶塞的两个推力是等大的
B．针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力比水平侧面的推力大
C．若F一定，使用顶角越小的针尖，则倾斜侧面对瓶塞产生的推力就越小
D．针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力FN＝F cos θ
题后感悟
力的效果分解法的步骤
考向2 力的正交分解
例5 如图所示，一质量为0.8 kg的木块放在水平面上，向左运动，受到一个与水平面成30°的拉力F＝8 N作用，木块与地面的动摩擦系数是0.5，则下列说法正确的是( )
A．物体受到地面的弹力大小是8 N
B．摩擦力大小为4 N，方向向右
C．合力大小是8 N
D．摩擦力大小是2 N，方向向右
题后感悟
力的正交分解法
(1)正交分解：将已知量按相互垂直的两个方向进行分解的方法．
(2)建轴原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系．
(3)解题方法：首先把各力向相互垂直的x轴、y轴上分解，然后分别对x轴方向和y轴方向列式求解．
考向3 力的分解中的多解问题
1．同一个力F可以分解为无数对大小、方向不同的分力，如图甲所示．
2．已知合力F的大小和方向及一个分力F1的方向，当两个分力垂直时，另一个分力F2有最小值F2min＝F sin α，如图乙所示．
3．已知合力F的方向及一个分力F1的大小和方向，当另一个分力与合力方向垂直时，另一个分力F2有最小值F2min＝F1sin α，如图丙所示．
例6 已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N．则( )
A．F1的大小是唯一的
B．F2的方向是唯一的
C．F2有两个可能的方向
D．F2可取任意方向
练2 港珠澳大桥全长约55公里，是目前全球最长的跨海大桥．“飞虹”连天堑、织经纬，“珠联璧合” 映落神州．作为连接粤港澳三地的超级工程和全国爱国主义教育基地，游客可经大桥珠海公路口岸出发，参团游览大桥，感受大国重器的魅力．风帆造型的九洲航道桥部分如图所示，这部分斜拉桥的一根塔柱两侧共有8对钢索，每一对钢索等长．每一条钢索与塔柱成α角，若不计钢索的自重，且假设每条钢索承受的拉力大小相同为F，则该塔柱所承受的8对钢索的合力为( )
A． B．
C．16F cos α D．8F cos α
核心素养·拓教材——情境命题 规范解题 收获一个“赢”
“活结、死结”及“动杆、定杆”模型
模型建构1 “活结”与“死结”模型
(1)“活结”模型分析
(2)“死结”模型分析
典例1 如图所示，将三段轻绳相结于O点，其中OA绳的一端拴在墙上，OB绳的下方悬挂甲物体，OC绳跨过光滑定滑轮悬挂乙物体．OC绳在滑轮左侧的部分与竖直方向的夹角为α＝70°.OA绳与竖直方向的夹角为β(未知).若甲、乙两物体的质量均为m＝2 kg，重力加速度g取10 m/s2.根据所学的知识，不需计算，推理出OA绳的拉力约为( )
A．16 N B．23 N C．31 N D．41 N
模型建构2 “动杆”与“定杆”模型
(1)“动杆”模型分析
(2)“定杆”模型分析
典例2 如图所示，轻杆AB的左端用铰链与竖直墙壁连接，轻杆CD的左端固定在竖直墙上，图甲中两轻绳分别挂着质量为m1、m2的物体，另一端系于B点，图乙中两轻绳分别挂着质量为m3、m4的物体，另一端系于D点．四个物体均处于静止状态，图中轻绳OB、O′D与竖直方向的夹角均为θ＝30°，下列说法一定正确的是( )
A．m1∶m2＝1∶1 B．m1∶m2＝2∶
C．m3∶m4＝1∶1 D．m3∶m4＝2∶
温馨提示：请完成课时分层精练(八)
第2讲 力的合成和分解
必备知识·链教材
一、
1．共同 等效替代 2.平行四边形 三角形
二、
效果 正交
三、
方向 算术
考教衔接
1．解析：根据平行四边形定则可知，该牙所受两牵引力的合力大小为F合＝2F cos .
答案：B
2．解析：斧头劈木柴时，受力分析如图所示，设两侧面推压木柴的力分别为F1、F2，且F1＝F2，利用几何三角形与力的三角形相似有＝，可得推压木柴的力F1＝F2＝F，B正确．
答案：B
关键能力·研教材
例1 解析：根据平行四边形定则可知，合力可以比分力中的任何一个力都大，也可以比分力中的任何一个力都小，还可以等于其中任意一个分力，故A错误；当F1和F2大小不变时，θ角减小，根据平行四边形定则可知，合力F一定增大，故B错误；合力大小的变化范围为|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|，则2 N≤F≤14 N，故C正确，D错误．
答案：C
例2 解析：如图所示．先以力F1和F2为邻边作平行四边形，其合力与F3共线，大小F12＝2F3，如图所示，F12再与第三个力F3合成，求合力F合，可得F合＝3F3.
答案：B
例3 解析：弓弦拉力的合成如图所示，由于F1＝F2，由几何关系得2F1cos ＝F，则
cos ＝＝＝0.6，所以＝53°，即α＝106°，D正确．
答案：D
练1 解析：受力分析如图，两侧轻绳拉力的合力不变始终等于mg，则有2F cos ＝mg，解得F＝，可知两侧轻绳的拉力均增大，故A、B错误；当θ＝90°时，代入数据，可得F＝＝，故C正确；当两侧绳长与两手间距相等，即θ＝60°时，两侧轻绳的拉力均为F＝＝，故D错误．
答案：C
例4 解析：将力F分解在垂直于针尖的两个侧面的方向上，如图所示．由几何关系知，针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力FN比水平侧面的推力F′N大，故A错误，B正确；由数学知识得FN＝，若F一定，使用顶角越小的针尖，则倾斜侧面对瓶塞产生的推力就越大，故C、D错误．
答案：B
例5 解析：对木块进行受力分析，根据力的合成与分解，在竖直方向有FN＋F sin 30°＝mg，整理并代入数据解得FN＝mg－F sin 30°＝8 N－4 N＝4 N，A错误；因为Ff＝μFN，解得Ff＝μFN＝0.5×4 N＝2 N，方向水平向右，B错误，D正确；水平方向F合＝Ff＋F cos 30°，代入数据解得F合＝2 N＋8× N＝(2＋4)N，C错误.
答案：D
例6 解析：已知一个分力有确定的方向，与合力F的方向成30°角，可知另一个分力的最小值为F2min＝F sin 30°＝25 N，依题意得，25 N答案：C
练2 解析：由题知，每一条钢索与塔柱成α角，将每一对钢索的力F沿竖直方向和水平方向分解，则水平方向的力相互抵消，竖直方向的力对塔柱有拉力作用，故16条钢索对塔柱的拉力为F合＝16F cos α，C正确．
答案：C
核心素养·拓教材
典例1 解析：甲、乙两物体的质量均为m＝2 kg，则OC绳的拉力与OB绳的拉力均为20 N，这两个力的合力与OA绳的拉力大小相等、方向相反．由几何关系可知，OC绳的拉力与OB绳的拉力夹角为110°，而夹角为120°均为20 N的两个力的合力大小为20 N，所以OC绳的拉力与OB绳的拉力的合力略大于20 N．所以根据所学的知识，不需计算，推理出OA绳的拉力约为B选项的23 N.
答案：B
典例2 解析：图甲中，OB绳的张力为T＝m1g，由平衡条件可得m2g＝m1g·cos θ，则m1∶m2＝2∶，故A错误，B正确；CD杆固定在墙上，杆的弹力方向不确定，则m3、m4的比例不确定，故C、D错误．
答案：B
