专题强化三 动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题
考点一 动态平衡问题
考向1 解析法解决动态平衡问题
对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化．
例1 (2025·八省联考内蒙古卷)2024年9月，国内起重能力最大的双臂架变幅式起重船“二航卓越”号交付使用．若起重船的钢缆和缆绳通过图示两种方式连接：图甲中直接连接，钢缆不平行；图乙中通过矩形钢架连接，钢缆始终平行．通过改变钢缆长度(缆绳长度不变)，匀速吊起构件的过程中，每根缆绳承受的拉力( )
A．图甲中变大 B．图甲中变小
C．图乙中变大 D．图乙中变小
考向2 图解法解决动态平衡问题
(1)特点：物体受三个共点力，有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题．
(2)方法：
例2 图甲是工人把货物运送到房屋顶端的场景，简化图如图乙所示，绳子跨过定滑轮拉动货物A，沿倾角为θ的玻璃棚缓慢向上移动，忽略货物所受摩擦阻力，则下列说法正确的是( )
A.货物A对玻璃棚的压力不变
B．货物A对玻璃棚的压力越来越大
C．绳子的拉力越来越大
D．绳子的拉力越来越小
考向3 相似三角形法解决动态平衡问题
(1)特点：在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系．
(2)方法：①对物体在某个位置作受力分析；②以两个变力为邻边，利用平行四边形定则，作平行四边形；③找出相似的力的矢量三角形和空间几何三角形；④利用相似三角形对应边的比例关系确定力的变化．
例3 (2025·浙江慈溪中学、余姚中学等名校第一次联考)图甲所示为琮琮演示的攀岩运动示意图．琮琮处于平衡状态，且岩钉A位置固定，分析问题时可以将该实际情境进行简化处理，得到如图乙所示模型．下列说法正确的是( )
A．仅缩短主绳长度，绳子对琮琮的拉力不变
B．仅缩短主绳长度，岩壁对琮琮的作用力的大小不变
C.仅增加主绳长度，绳子对琮琮的拉力减小
D．仅增加主绳长度，岩壁对琮琮的作用力增大
考向4 辅助圆法解决动态平衡问题
(1)特点：物体受三个共点力，这三个力其中一个力为恒力，另外两个力都变化，且变化的两个力的夹角不变．
(2)辅助圆法：画出三个力的矢量三角形的外接圆，不变力为一固定弦，因为固定弦所对的圆周角大小始终不变，改变一力的方向，另一力大小方向变化情况可得．
例4 如图所示，细线一端固定在一个矩形木板上的P点，另一端连接一个质量分布均匀的光滑球．现将木板以水平底边为轴缓慢转动直至木板竖直，则在此过程中，下列说法正确的是( )
A．球受到的合力一直增大
B．球对木板的压力先增大后减小
C.细线对球的拉力一直减小
D．木板竖直时，增大细线长度，细线拉力增大
练1 如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个重环，绕过光滑定滑轮的轻绳一端与重环相连，另一端施加拉力F使重环从A点缓慢上升到B点．设杆对重环的弹力大小为FN，整个装置处于同一竖直平面内，在此过程中( )
A．F逐渐增大，FN逐渐增大
B．F逐渐增大，FN先减小后增大
C．F先减小后增大，FN逐渐增大
D．F先减小后增大，FN先减小后增大
考点二 平衡中的临界与极值问题
考向1 图解法解决平衡中的临界极值问题
例5 如图所示，质量为m的小球a、b之间用轻绳相连，小球a通过轻杆固定在左侧竖直墙壁上，轻杆与竖直墙壁夹角为30°.现改变作用在小球b上的外力F的大小和方向，轻绳与竖直方向的夹角保持60°不变，则( )
A．轻绳上的拉力一定小于mg
B．外力F的最小值为mg
C．轻杆对小球a作用力大小不变
D．轻杆对小球a的作用力方向一定沿杆
题后感悟
图解法解决平衡中临界极值问题的思路
根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．
考向2 数学分析法解决平衡中的临界极值问题
例6 小明同学喜欢体育运动，他拖拉物体时拉力最大为 1 000 N，某次训练中，体育老师将不同质量的重物置于倾角为15°的斜面上，让他拉动重物沿斜面向上运动， 重物与斜面间的动摩擦因数为 ，则他能拉动的重物质量最大为( )
A．100 kg B．100 kg
C．200 kg D．200 kg
题后感悟
数学分析法解决平衡中临界极值问题的思路
通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、三角函数极值等)．
考向3 极限分析法解决平衡中的临界与极值问题
例7 (2025·湖南株洲一模)碗内部为半球形，半径为R，碗口水平．生米粒与碗内侧的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，静止于碗内的生米粒与碗口间的最小距离d为( )
A．R B．R
C．R D．R
题后感悟
极限分析法解决平衡中的临界与极值问题的思路
首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小．
练2 中国古代建筑的门闩凝结了劳动人民的智慧．如图是一种竖直门闩的原理图：当在水平槽内向右推动下方木块A时，使木块B沿竖直槽向上运动，方可启动门闩．水平槽、竖直槽内表面均光滑，A、B间的接触面与水平方向成45°角，A、B间的动摩擦因数为0.2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力．已知B的质量为m，重力加速度大小为g.为了使门闩刚好能被启动，则施加在A上的水平力F最小应为( )
A．mg B．mg
C．mg D．mg
核心素养·析真题——深研高考 领悟真谛 体现一个“透”
生产生活类情境
典例 (2023·海南卷)如图所示，工人利用滑轮组将重物缓慢提起，下列说法正确的是( )
A．工人受到的重力和支持力是一对平衡力
B．工人对绳的拉力和绳对工人的拉力是一对作用力与反作用力
C．重物缓慢提起的过程中，绳子拉力变小
D．重物缓慢提起的过程中，绳子拉力不变
[试题立意] 本题以利用滑轮组拉重物为素材，创设了与生产生活紧密联系的物理问题情境．主要考查力的合成和分解、共点力的平衡等知识点，重点考查理解能力和推理论证能力．
[关键能力] (1)理解能力
①对概念和规律的理解应用
平衡力：是作用在同一物体上的两个力．
作用力和反作用力：当一个物体对另一个物体施加了力，后一个物体一定同时对前一个物体施加了一个大小相等、方向相反的力．
②对题干表述的理解
题干关键表述 获取信息
重物缓慢提起 悬挂重物的滑轮在三个力的作用下保持动态平衡
滑轮组 一根绳绕过两个滑轮，绳子上的拉力处处相等
(2)推理论证能力
[失分剖析] 不会确定缓慢拉动绳的过程中夹角θ1逐渐增大．
[考教衔接] 教材中也出现过同样的情境，如人教版教材必修第一册第80页第4题，如图所示．此情境也曾在2017年天津卷第8题出现过．
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专题强化三 动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题
关键能力·研教材
例1 解析：设缆绳与竖直方向的夹角为θ，假设共有n根缆绳，设构件的质量为m，对构件受力分析由平衡条件nFTcos θ＝mg，解得每根缆绳承受的拉力为FT＝，题图甲匀速吊起构件的过程中，缆绳与竖直方向的夹角θ变大，则每根缆绳承受的拉力变大；题图乙匀速吊起构件的过程中，缆绳与竖直方向的夹角θ不变，则每根缆绳承受的拉力不变．故选A.
答案：A
例2 解析：对货物A受力分析，其动态图如图所示．货物缓慢向上移动，则拉力方向与竖直方向的夹角减小，由图可知，绳子的拉力越来越大．同时，玻璃棚对货物的支持力变小，由牛顿第三定律知，货物A对玻璃棚的压力越来越小．故C项正确．
答案：C
例3 解析：本题是杆和绳的连接，建构“活杆”模型、“死结”模型．杆OB为可转动杆，杆对O点施加的弹力为沿着杆的支持力．对O点受力分析如图所示，因力的三角形与几何三角形相似，有＝＝，则绳子对琮琮的拉力为FT＝，仅缩短主绳长度l，则拉力变小，仅增加主绳长度l，绳子对琮琮的拉力变大，故A、C错误；岩壁对琮琮的作用力为F′N＝FN＝，仅缩短主绳长度，或仅增加主绳长度，可知岩壁对琮琮的作用力的大小不变，故B正确，D错误．
答案：B
例4 解析：木板以水平底边为轴缓慢转动，球始终处于平衡状态，球受到的合力为零，故A错误；球受力示意图如图甲所示，根据各力的特点，利用几何知识，作图如图乙所示，细线拉力与木板对小球的支持力夹角为定值，由图乙可知细线对球的拉力逐渐增大，木板对球的支持力先增大后减小，则球对木板的压力先增大后减小，故B正确，C错误；木板竖直时，球受力示意图如图丙所示，根据平衡条件有F sin θ＝mg，增大细线长度，则θ增大，细线拉力将减小，故D错误．
答案：B
练1 解析：对物体受力分析，并构建封闭的矢量三角形，如图所示．
由图可知，在拉力到达竖直方向前，与竖直方向的夹角越来越小，拉力F增大，FN减小，经过竖直方向后，夹角又逐渐变大，拉力F继续增大，FN也增大，故B正确．
答案：B
例5 解析：对b进行受力分析如图所示，当F的方向发生变化时，由图可知，轻绳上的拉力可能小于mg，也可能大于mg，A错误；由b的受力图可知，当拉力F的方向与ab绳子垂直时，拉力F最小为Fmin＝F4＝mg sin 60°＝mg，B正确；以a为研究对象，可知a受到重力、绳子ab对a的作用力以及杆对a的作用力处于平衡状态，由三个力平衡的特点可知，杆对a的作用力与a的重力、ab对a的拉力的合力大小相等、方向相反，a受到的重力大小方向都不变，绳对a的拉力方向不变，大小变化，所以a受到的重力与绳对a的拉力的合力大小、方向都是变化的，所以杆对a的作用力大小、方向都是变化的，C、D错误．
答案：B
例6 解析：设F与斜面夹角为θ，则恰好拉动物体时有F cos θ＝mg sin 15°＋μ(mg cos 15°－F sin θ)，整理可得F＝＝＝，故当sin (θ＋φ)＝1时，m最大，m＝＝200 kg.
答案：C
例7 解析：如图所示：生米粒在碗中受到重力、支持力和弹力，弹力和接触面垂直并指向圆心，设与竖直方向夹角为θ，设此时刚好不下滑，则重力沿着接触面向下的分力等于最大静摩擦力，列式得mg sin θ＝μmg cos θ，解得μ＝tan θ，根据几何关系得tan θ＝，联立解得d＝R.故D正确．
答案：D
练2 解析：对A、B受力分析如图所示．门闩刚好启动时，对A水平方向上F＝FNsin 45°＋Ffcos 45°，对于B在竖直方向上FNcos 45°＝mg＋Ffsin 45°，A、B间最大静摩擦力为Ff＝μFN，则施加在A上的水平力F最小应为F＝mg.
答案：B
核心素养·析真题
典例 解析：对人受力分析如图甲所示，则有FN＋FT＝ mg，其中工人对绳的拉力和绳对工人的拉力是一对作用力与反作用力，A错误，B正确．对滑轮受力分析如图乙所示，
由题意知，一根绳绕过滑轮组，绳上各点力的大小相等，即F1＝F2，其合力竖直向上，所以θ1＝θ2.将重物缓慢提起过程，由题意知，a、b两点固定，重物上升时，绳与竖直方向的夹角增大，且θ′1＝θ′2，其合力竖直向上且不变，如图丙所示，由受力分析图可知，绳子拉力逐渐增大，C、D错误．
答案：B(共63张PPT)
专题强化三 动态平衡问题
平衡中的临界、极值问题
考点一 动态平衡问题
考向1 解析法解决动态平衡问题
对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化．
例1 (2025·八省联考内蒙古卷)2024年9月，国内起重能力最大的双臂架变幅式起重船“二航卓越”交付使用．若起重船的钢缆和缆绳通过图示两种方式连接：图甲中直接连接，钢缆不平行；图乙中通过矩形钢架连接，钢缆始终平行．通过改变钢缆长度(缆绳长度不变)，匀速吊起构件的过程中，每根缆绳承受的拉力( )
A．图甲中变大 B．图甲中变小
C．图乙中变大 D．图乙中变小
答案：A
考向2 图解法解决动态平衡问题
(1)特点：物体受三个共点力，有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题．
(2)方法：
例2 图甲是工人把货物运送到房屋顶端的场景，简化图如图乙所示，绳子跨过定滑轮拉动货物A，沿倾角为θ的玻璃棚缓慢向上移动，忽略货物所受摩擦阻力，则下列说法正确的是( )
A.货物A对玻璃棚的压力不变
B．货物A对玻璃棚的压力越来越大
C．绳子的拉力越来越大
D．绳子的拉力越来越小
答案：C
解析：对货物A受力分析，其动态图如图所示．货物缓慢向上移动，则拉力方向与竖直方向的夹角减小，由图可知，绳子的拉力越来越大．同时，玻璃棚对货物的支持力变小，由牛顿第三定律知，货物A对玻璃棚的压力越来越小．故C项正确．
考向3 相似三角形法解决动态平衡问题
(1)特点：在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系．
(2)方法：①对物体在某个位置作受力分析；②以两个变力为邻边，利用平行四边形定则，作平行四边形；③找出相似的力的矢量三角形和空间几何三角形；④利用相似三角形对应边的比例关系确定力的变化．
例3 (2025·浙江慈溪中学、余姚中学等名校第一次联考)图甲所示为琮琮演示的攀岩运动示意图．琮琮处于平衡状态，且岩钉A位置固定，分析问题时可以将该实际情境进行简化处理，得到如图乙所示模型．
下列说法正确的是( )
A．仅缩短主绳长度，绳子对琮琮的拉力不变
B．仅缩短主绳长度，岩壁对琮琮的作用力的大小不变
C.仅增加主绳长度，绳子对琮琮的拉力减小
D．仅增加主绳长度，岩壁对琮琮的作用力增大
答案：B
考向4 辅助圆法解决动态平衡问题
(1)特点：物体受三个共点力，这三个力其中一个力为恒力，另外两个力都变化，且变化的两个力的夹角不变．
(2)辅助圆法：画出三个力的矢量三角形的外接圆，不变力为一固定弦，因为固定弦所对的圆周角大小始终不变，改变一力的方向，另一力大小方向变化情况可得．
例4 如图所示，细线一端固定在一个矩形木板上的P点，另一端连接一个质量分布均匀的光滑球．现将木板以水平底边为轴缓慢转动直至木板竖直，则在此过程中，下列说法正确的是( )
A．球受到的合力一直增大
B．球对木板的压力先增大后减小
C.细线对球的拉力一直减小
D．木板竖直时，增大细线长度，细线拉力增大
答案：B
解析：木板以水平底边为轴缓慢转动，球始终处于平衡状态，球受到的合力为零，故A错误；球受力示意图如图甲所示，根据各力的特点，利用几何知识，作图如图乙所示，细线拉力与木板对小球的支持力夹角为定值，由图乙可知细线对球的拉力逐渐增大，木板对球的支持力先增大后减小，则球对木板的压力先增大后减小，故B正确，C错误；木板竖直时，球受力示意图如图丙所示，根据平衡条件有F sin θ＝mg，增大细线长度，则θ增大，细线拉力将减小，故D错误．
练1 如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个重环，绕过光滑定滑轮的轻绳一端与重环相连，另一端施加拉力F使重环从A点缓慢上升到B点．设杆对重环的弹力大小为FN，整个装置处于同一竖直平面内，在此过程中( )
A．F逐渐增大，FN逐渐增大
B．F逐渐增大，FN先减小后增大
C．F先减小后增大，FN逐渐增大
D．F先减小后增大，FN先减小后增大
答案：B
解析：对物体受力分析，并构建封闭的矢量三角形，如图所示．
由图可知，在拉力到达竖直方向前，与竖直方向的夹角越来越小，拉力F增大，FN减小，经过竖直方向后，夹角又逐渐变大，拉力F继续增大，FN也增大，故B正确．
答案：B
题后感悟
图解法解决平衡中临界极值问题的思路
根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．
答案：C
题后感悟
数学分析法解决平衡中临界极值问题的思路
通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、三角函数极值等)．
答案：D
题后感悟
极限分析法解决平衡中的临界与极值问题的思路
首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小．
答案：B
生产生活类情境
典例 (2023·海南卷)如图所示，工人利用滑轮组将重物缓慢提起，下列说法正确的是( )
A．工人受到的重力和支持力是一对平衡力
B．工人对绳的拉力和绳对工人的拉力是一对作用力与反作用力
C．重物缓慢提起的过程中，绳子拉力变小
D．重物缓慢提起的过程中，绳子拉力不变
答案：B
解析：对人受力分析如图甲所示，则有FN＋FT＝ mg，其中工人对绳的拉力和绳对工人的拉力是一对作用力与反作用力，A错误，B正确．对滑轮受力分析如图乙所示，
由题意知，一根绳绕过滑轮组，绳上各点拉力的大小相等，即F1＝F2，其合力竖直向上，所以θ1＝θ2.将重物缓慢提起过程，由题意知，a、b两点固定，重物上升时，绳与竖直方向的夹角增大，且θ′1＝θ′2，其合力竖直向上且不变，如图丙所示，由受力分析图可知，绳子拉力逐渐增大，C、D错误．
[试题立意] 本题以利用滑轮组拉重物为素材，创设了与生产生活紧密联系的物理问题情境．主要考查力的合成和分解、共点力的平衡等知识点，重点考查理解能力和推理论证能力．
[关键能力] (1)理解能力
①对概念和规律的理解应用
平衡力：是作用在同一物体上的两个力．
作用力和反作用力：当一个物体对另一个物体施加了力，后一个物体一定同时对前一个物体施加了一个大小相等、方向相反的力．
②对题干表述的理解
题干关键表述 获取信息
重物缓慢提起 悬挂重物的滑轮在三个力的作用下保持动态平衡
滑轮组 一根绳绕过两个滑轮，绳子上的拉力处处相等
(2)推理论证能力
[失分剖析] 不会确定缓慢拉动绳的过程中夹角θ1逐渐增大．
[考教衔接] 教材中也出现过同样的情境，如人教版教材必修第一册第80页第4题，如图所示．此情境也曾在2017年天津卷第8题出现过．
1．(2025·辽宁沈阳模拟)高空滑索因其惊险刺激而深受年轻人追捧．人通过轻绳与轻质滑环相连，开始下滑前，轻质滑环固定在钢索AB上O点处，滑环和人均处于静止状态，钢索和轻绳的夹角关系如图所示．设OA段钢索的拉力大小为FT1，OB段钢索的拉力大小为FT2，OC段轻绳的拉力大小为FT3，下列判断正确的是( )
A．FT1>FT2>FT3 B．FT1>FT3>FT2
C．FT2>FT1>FT3 D．FT3>FT2>FT1
答案：A
解析：以结点O为研究对象，受力情况如图甲所示，
这样的三个力可以组成一个首尾相接的封闭的矢量三角形，如图乙所示，
由图乙可知FT1>FT2>FT3.
答案：D
3.如图所示，竖直墙壁O处用光滑铰链铰接一轻质杆的一端，杆的另一端固定小球(可以看成质点)，轻绳的一端悬于P点，另一端与小球相连．已知轻质杆长度为R，轻绳的长度为L，且R＜L＜2R.A、B是墙上两点，且OA＝OB＝R.现将轻绳的上端悬点由P点沿墙壁缓慢下移至A点，此过程中轻绳对小球的拉力F1及轻质杆对小球的支持力F2的大小变化情况为( )
A．F1和F2均增大
B．F1保持不变，F2先增大后减小
C．F1和F2均减小
D．F1先减小后增大，F2保持不变
答案：A
4．(多选)(2025·云南昆明五华区校级月考)如图所示，小球A与滑块B用绕过光滑定滑轮的不可伸长的轻绳连接，连接滑块B的轻绳与竖直放置的固定杆垂直且都在竖直平面内，初始时滑块恰好不下滑，现对小球A施加一个水平拉力F，使小球A在水平拉力F的作用下缓慢上移一小段，设滑块与杆之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )
A．轻绳拉力变大
B．滑块B向下移动
C．滑块B受到的摩擦力不变
D．固定杆给滑块B的弹力方向垂直于杆向左
答案：AC
解析：设轻绳对小球的拉力为FT，轻绳与竖直方向的夹角为α，在任一位置时，受力情况如图所示．
答案：B
答案：D
解析：对光滑球体受力分析如图甲所示．
根据平衡条件可得FN2 cos θ＝mg，
对支架受力分析如图乙所示．
7．为吸引更多消费者，商场会在中庭悬挂很多节日装饰物，如图所示，轻绳AB一端系有重为G的装饰物，另一端A可在竖直面内旋转，轻绳BC一端系在B点，另一端通过固定在天花板上的定滑轮上的C点，由工人拉住静止不动．若不计绳与滑轮间的摩擦，调整A端使AB绳从竖直方向沿顺时针缓慢变到水平方向的过程中(B点位置不动)，关于力的变化情况，下列说法正确的是( )
A．AB绳拉力一直不变，BC绳拉力一直增大
B．AB绳拉力先减小后增大，BC绳拉力一直增大
C．地面对工人的支持力一直变大
D．地面对工人的摩擦力先变大后变小
答案：B
解析：对B点受力分析，作出力的动态平衡，如图所示．
由图可知AB绳拉力先减小后增大，BC绳拉力一直增大，故A错误，B正确；对工人受力分析，设轻绳与竖直方向的夹角为θ，则FBCcos θ＋FN＝mg，FBCsin θ＝Ff，BC绳拉力一直增大，则地面对工人支持力的一直变小，摩擦力增大，故C、D错误．
答案：C
答案：A
解析：将两灯笼看作一个整体，对整体受力分析，如图所示．
10.如图，在竖直平面内固定一光滑的半圆环，圆心为O、半径为R，OA为半圆环的竖直半径，AB为与OA在同一直线上的光滑固定杆，半圆环上套有一小球a，杆AB上套有另一小球b.两小球之间连接一轻弹簧，初始时小球a在距圆环A点右侧不远处的P点，小球b固定于杆AB上的Q点，两小球间距离为R.现用外力使小球b沿杆AB缓慢向上移动一段距离，但未到达A点．在移动过程中弹簧始终在弹性限度内且在一条直线上，两小球均可视为质点，
则下列说法正确的是( )
A．初始时弹簧弹力大于半圆环对小球a的弹力
B．初始时弹簧弹力大于小球a的重力
C．小球b沿杆缓慢向上移动过程中，半圆环对小球a的支持力先增大后减小
D．小球b沿杆缓慢向上移动过程中，弹簧弹力增大
答案：D
