成都石室阳安学校2025-2026学年度上期高2023级10月月考
数学
一、单选题（每题5分）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．下面各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．给出下列命题，其中为真命题的是（ ）
A．对任意 ，都有 B．对任意 ，都有
C．存在，使得 D．存在，使
4．某店经营的某种包装的面包质量（单位：）服从正态分布，且，则从该店中任意买一个这种包装的面包，其质量在之间的概率为（ ）
A．0.7 B．0.35 C．0.85 D．0.5
5．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球为1个，标号为“1”的小球2个，标号为“2”的小球2个.从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，则另一个小球标号也是“1”的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
8．医学部门对某地区的一种地方性疾病进行医学研究，已知该地区有良好卫生习惯的居民占0.6，没有良好卫生习惯的居民占0.4，该地区所有居民患这种地方性疾病的概率为0.014．若有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为0.01，则没有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为（ ）
A．0.03 B．0.024 C．0.02 D．0.018
二、多选题（每题6分）
9．已知实数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．数据1，1，2，3，3，4，4，5，6的第25百分位数为2
B．若数据的标准差为，则的标准差为
C．二顶式的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等
D．现有5名教师分到一中、二中、三中、四中4所学校任教，每所学校至少分配1名教师，其中甲教师必去一中，则有分配方法有96种
11.已知定义在R上的函数满足对任意的x，y，均有，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C．是R上的减函数 D．若，则不等式的解集是
试卷第1页，共3页
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三、填空题（每题5分）
12．不等式的解集为 .
13．过点作圆：的切线，则切线方程为 ．
14．已知函数，，若恒成立，则的最大值为 .
四、解答题
15．（13分）已知数列的前n项和为，且成等比数列．
(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．
16．（15分）如图，在直三棱柱中，分别是与的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，，，求直线与平面所成角的余弦值
17．（15分）设函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围．
18．（17分）每次高中数学测试中有3道多选题这种题型，在A，B，C，D四个选项中有不止一个选项是正确的，得分规则是：选错得0分，完全正确得满分6分，部分选对得部分分.某同学为了了解自己多选题的解题水平，对自己过去10次考试的多选题作答情况进行了统计，得到下列表格：(以下表统计的频率估计概率)
类别 得分 次数
A类：正确选项为2项 0 2
3 2
6 6
B类：正确选项为3项 0 4
2 1
4 5
6 10
(1)计算一次考试中B类多选题数量的分布列、期望和方差；
(2)该同学听取了老师的建议，在知识的理解、审题、练习方面努力，将自己面对A，B两类题目得满分的概率均提高到，得部分分的概率没有改变，求下一次考试中该同学在多选题中得分大于等于16分的概率(用表示)，并判断该概率有没有机会超过.
19.（17分）已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为4的等边三角形．
(1)写出椭圆的标准方程；
(2)当直线的斜率为时，求以为直径的圆的标准方程；
(3)设点满足：．求证：与面积之比为定值．
试卷第1页，共3页
高三10月考 数学 第1页， 共3页
试卷第1页，共3页10 月参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D A A B B C ACD AB
题号 11
答案 ABD
1．B
【分析】解指数不等式求集合 B，再由集合的交运算求集合.
【详解】由 A {2,3,4},B {x | 3x 33} {x | x 3}，则 A B {3,4} .
故选：B
2B3．D
【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判断方法逐项判断即可.
【详解】对于 A， x R， x2 0，则 x2 2 2 0，命题“对任意 x R，都有 x2 2 0 ”
是假命题，A不是；
对于 B，0 N ，当 x 0时， x2 1，命题“对任意 x N，都有 x2 1”是假命题，B不是；
2
对于 C，使 x2 3成立的实数只有 3，而 3 Q，命题“存在 x0 Q，使得 x0 3 ”是假命
题，C不是；
5
对于 D， 1 Z，且 ( 1)5 0，命题“存在 x0 Z，使 x0 0”是真命题，D是.
故选：D
4．A
【分析】由正态分布的性质可得 P X 205 P X 195 0.15，即可求解195 205g之间
的概率.
2
【详解】某种包装的面包质量 X 服从正态分布 N 200, ，且 P X 205 0.85，
则有 P X 205 1 0.85 0.15，由对称性可得 P X 195 0.15，
则有 P 195 X 205 1 P X 205 P X 195 1 0.15 0.15 0.7 .
所以其质量在195 205g之间的概率为0.7 .
故选：A
5．A
【分析】求出函数的零点排除两个选项，再求出函数的极大值，结合图形即可判断得解.
答案第 1页，共 11页
【详解】函数 f (x) (x 2 2x)e x 定义域为R ，由 f (x) 0，得 x 0或 x 2，即函数 f (x)有
两个零点 x 0和 x 2，BC错误；f (x) (x 2 2)e x，当 x 2时，f (x) 0，当 2 x 2
时， f (x) 0，函数 f (x)在 ( , 2)上单调递增，在 ( 2, 2)上单调递减，因此函数 f (x)
2 2 2
在 x 2处取得极大值 f ( 2) ，D错误，A符合题意.
e 2
故选：A.
6．B
【分析】设事件后结合组合数求出概率，再利用条件概率公式求解即可.
【详解】设取出的两个小球中至少有一个标号为“1”为事件 A，取出的两个小球标号都为“1”
为事件 B，
C1C1 C2 7 C2 1
则 P A 2 3 22 ， P AB 22 ，C5 10 C5 10
所以已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，另一个小球标号也是“1”的概率为
1
P AB
P B | A 10 1 ，
P A 7 7
10
故选：B
7．B
n
【分析】根据幂函数导数公式求导，进而求切线方程并得到 xn ，即可求目标式的值.n 1
【详解】对 y xn 1 n N* n求导得 y n 1 x ．
令 x 1，得在点 1,1 处的切线的斜率 k n 1，
在点 1,1 处的切线方程为 y 1 n 1 x 1 ．
令 y 0
n
，得 xn ，n 1
x x 1 2 3 n 1 n 11 2 xn ．2 3 4 n n 1 n 1
故选：B
8．C
【分析】设出相关事件，根据已知条件和全概率公式建立等式，即可求解.
答案第 2页，共 11页
【详解】设事件 A “居民患有这种地方性疾病”，事件 B1 “居民有良好卫生习惯”，事件
B2 “居民没有良好卫生习惯”.
由题意， P B1 0.6,P B2 0.4,P A 0.014,P A B1 0.01，
由全概率公式，可得 P A P B1 P A B1 P B2 P A B2 ，
即0.014 0.6 0.01 0.4 P A B2 ，解得 P A B2 0.02，
即没有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为0.02 .
故选：C.
9．ACD
【分析】利用不等式的性质判断 AB选项，利用基本不等式判断 CD选项.
【详解】对于 A，当 a b 0时，有a2 b2 0，A选项正确；
1 1
对于 B，当 a b 0时，有 ，B选项错误；
a b
对于 C，若 a b 2，则 2a 2b 2 2a 2b 2 2a b 2 22 4，
当且仅当 a b 1时等号成立，C选项正确；
对于 D， a 0,b 0， a b 2，
1 1 1
则 a b 1 1 1 b a 1 b a
a b 2
a b
2 2 2 2， 2 a b 2 a b
当且仅当 a b 1时等号成立，D选项正确.
故选：ACD.
10．AB
【分析】本题可根据百分位数、标准差、二项式系数、排列组合的相关知识，对每个选项逐
一进行分析.
【详解】对于 A：将数据 1，1，2，3，3，4，4，5，6从小到大排序为 1，1，2，3，3，4，
4，5，6，一共有 9个数据，设n 9 为数据个数， p 25%为百分位，计算
i n p 9 25% 2.25，
根据百分位数的定义，当 i不是整数时，就取大于 2.25的最小正整数，即第 25百分位数是
第 3个数 2，故 A正确.
对于 B：若数据 x1, x2 , x3 , , xn 的标准差为 s，则其方差为 s2，根据方差的性质，
答案第 3页，共 11页
2x1, 2x2 , 2x3, , 2x 2n的方差为 2 s2 4s2 ，则 2x1, 2x2 , 2x3, , 2xn的标准差为 2s，故 B正确.
6
对于 C 1 r：二项式 x 的第Tr 1项的二项式系数是C6，展开式中第二项的二项式系数为
x
C1 6 C3 20 C1 36 ，第四项的二项式系数为 6 ， 6 C6 ，故 C错误.
对于 D：甲教师必去一中，分两种情况讨论：
1
情况一：一中分配 2名教师（其中一名是甲），从剩下 4名教师中选 1名去一中，有C4种选
3
法，剩下 3名教师分配到二中、三中、四中这 3所学校，每校 1名，有A3种分法，根据分
C1 3步乘法计数原理，这种情况共有 4 A3 24种分配方法；
情况二：一中分配 1名教师（就是甲），从剩下 4名教师中选 2名分配到同一所学校，有C 24
种选法，再把这 2名教师作为一个整体和剩下 2名教师分配到二中、三中、四中这 3所学校，
3 2 3
有A3种分法，根据分步乘法计数原理，这种情况共有C4 A3 36种分配方法；
根据分类加法计数原理，总的分配方法有 24 + 36 = 60种，故 D错误.
故选：AB
11.【详解】对于 A：令 x y 0，则 f 0 f 0 f 0 1，解得 f 0 1，A正确；
对于 B：令 x y 2，则 f 4 f 2 f 2 1 5，解得 f 2 3，
再令 x y 1，则 f 2 f 1 f 1 1 3，解得 f 1 2，B正确；
对于 C： x1, x2 R ，且 x1 x2，则 x2 x1 0，令 x x1, y x2 x1，
则 f x2 f x1 f x2 x1 1，即 f x2 f x1 f x2 x1 1，
因为 x2 x1 0，所以 f x2 x1 1，所以 f x2 f x1 0，即 f x2 f x1 ，
所以 f x 在R 上是增函数，C错误；
对于 D：令 x y 2，则 f 4 f 2 f 2 1 9，解得 f 2 5，
所以 f 3x 4 f 3x f 2 1 f 3x 2 ，
2
因为 f x 在R 上是增函数，且 f x 2 f 3x 2 ，
所以 x2 2 3x 2，即 x2 3x 4 0，解得 1 x 4，
答案第 4页，共 11页
2
即不等式 f x 2 f 3x 4的解集是 1,4 ，D正确；
故选：ABD.
1
12． ( ,1)
2
13． x 3y 8 0
1
14．
2e
x
【分析】由题意可得 x 2b e a 0恒成立，则可得 y x 2b与 y ex a同零点，即可
ln x
得 2b ln a，再构造函数 h x ，结合导数研究其单调性计算即可得.
2x
f x g x x x【详解】由 恒成立，则 x 2b e ax 2ab x 2b e a 0恒成立，
当 a 0时， ex a 0恒成立，则需 x 2b 0恒成立，不符和题意；
当 a 0时，此时 x 2b与 ex a同号或其中至少一个为零，
令 x 2b 0得 x 2b，令 ex a 0得 x ln a，
当 x ln a时， ex a 0，则需 x 2b 0，即 2b ln a；
当 x ln a时， ex a 0，则需 x 2b 0，即 2b ln a；
b ln a
综上可得 2b ln a，故 ，
a 2a
h x ln x令 x 0 h x 2 2 ln x，则
2x 4x2
，
则当 x 0,e 时， h x 0，当 x e, 时， h x 0，
故 h x 在 0,e 上单调递增，在 e, 上单调递减，
h x h e ln e 1 b 1则 max ，即 的最大值为 .2e 2e a 2e
1
故答案为： .
2e
15．(1)an 4n 2
n
(2)Tn 4(2n 1)
【分析】（1）根据三项成等比列式计算得出 Sn 2n
2，再结合an Sn Sn 1计算求出通项公式；
（2）结合（1）应用裂项相消法计算求解.
答案第 5页，共 11页
【详解】（1）由 2,2n,Sn成等比数列，得 S 2n2n ，所以 a1 2．
当 n 2时， an Sn Sn 1 4n 2，而 a1 2满足上式，
所以 an 的通项公式是 an 4n 2．
（2）由（1）知 an 4n 2,an 1 4n 2，
b 1 1 1 1 1则 n
anan 1 (4n 2)(4n 2) 8
2n 1 2n 1
T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n则 n
8 3 3 5
.. 5 7
2 n 1 2 n 1
4(2 n 1)
16【详解】（1）取 AB中点O，连接OE,OC，
D,E分别是CC1与 AB1的中点，
OE //BB 11，OE BB1，2
又CD//BB1，CD
1
BB ，
2 1
OE//CD，OE CD，
四边形OEDC是平行四边形，
DE//OC，
Q OC 平面 ABC，DE 平面 ABC，
DE//平面 ABC .
（2） BB1 平面 ABC，
OE 平面 ABC，
又V ABC为等腰直角三角形，则OE,OA,OC两两垂直，
故以OA,OE,OC所在直线分别为 x, y, z轴建立如图空间直角坐标系，
设 AA1 2AB 4a 0，则 A a,0,0 ， B1 a, 4a,0 ，C 0,0,a ，D 0,2a,a ，
答案第 6页，共 11页
AB1 2a, 4a,0 ， AC a ,0,a ， AD a, 2a,a ，
设平面 AB1D的法向量为n x, y, z ，
AB1 n 2ax 4ay 0 ，令 y 1，得 n 2,1,0 ，
AD n ax 2ay az 0
AC n 2a 10
设直线 AC与平面 AB1D所成角为 ，则 sin cos AC, n ，AC n 2a 5 5
cos 1 sin2 15 ，即直线 AC与平面 AB1D
15
所成角的余弦值为 .
5 5
17．(1)答案见解析
(2) 1,
【分析】（1）求出函数导数，分类讨论，判断导数正负，即可得出结论；
（2）结合（1）中分类讨论的结果，可确定函数极值点，进而列出相应不等式，求得答案.
【详解】（1） f x 2定义域为 R， f x 6x 6ax 6x x a ，
令 f x 0，解得 x 0或 x a，
①当 a 0时，
当 x ,0 时， f x 0， f x 单调递增，
当 x 0,a 时， f x 0, f x 单调递减，
当 x a, 时， f x 0, f x 单调递增；
②当 a 0 2时，则 f x 6x 0, f x 在 R 上单调递增；
③当 a 0时，
当 x ,a 时， f x 0, f x 单调递增，
当 x a,0 时， f x 0, f x 单调递减，
当 x 0, 时， f x 0, f x 单调递增；
综上，当 a 0时， f x 在 ,0 和 a, 单调递增，在 0,a 单调递减；
当 a 0时， f x 在 R 上单调递增；
答案第 7页，共 11页
当 a 0时， f x 在 ,a 和 0, 单调递增，在 a,0 单调递减．
（2）由（1）知 a 0时， f x 在 ,0 和 a, 单调递增，在 0,a 单调递减，
所以 x a为 f x f x 3 3的极小值点，此时 的极小值为 f a 2a 3a 1 0，
所以 a3 1，解得 a 1；
a 0时， f x 在 R 上单调递增，显然无极值点，不合题意；
a 0时， f x 在 ,a 和 0, 单调递增，在 a,0 单调递减，
所以 x 0为 f x 的极小值点，此时 f x 的极小值为 f 0 1 0，不合题意；
综上， a 1，即 a的取值范围是 1, .
2
18．(1)分布列见解析，E 2，D
3
1
(2) p3 p2，有
2
2
【分析】（1）结合表格中数据可知随机变量 服从二项分布 B 3, ，再利用二项分布的
3
分布列、期望与方差定义及公式计算即可得；
（2）结合全概率公式分别计算出下一次考试中该同学在多选题中得分为16分与18的概率，
再构造相应函数，结合导数研究其单调性即可得.
【详解】（1）由一次考试有3道多选题，故 的可能取值为0、1、 2、3，
从表格中可知这10次考试中有 20道 B类多选题，10道 A类多选题，
20 2
故每道题是 B类的概率为 ，
30 3
2
故随机变量 服从二项分布 B 3, ，
3
0 3
P 0 C0 2 1 1则 3 3
，
3 27
1 2
P 1 C1 2 1 23 ，
3 3 9
2 2 1 1P 2 C2 43 ，
3 3 9
3 0
P 3 C3 2 1 8 3 3
，
3 27
答案第 8页，共 11页
故 的分布列为：
0 1 2 3
1 2 4 8
P
27 9 9 27
E 3 2 2，
3
D 3 2 1 2 ；
3 3 3
2 1
（2）从表格中可知该同学对 A类题目得3分的概率为 ，
10 5
1 5 1
对 B类题目得 2分的概率为 ，得 4分的概率为 = ，
20 20 4
又该同学对 A，B两类题目得满分的概率为 p，
1 4
则对 A类题目得零分的概率为1 p p，
5 5
1 1 7
对 B类题目得零分的概率为1 p p ，
20 4 10
设事件 Ai表示“下一次考试中 B类多选题有 i i 0,1,2,3 题”，
事件 Bj 表示“下一次考试中该同学 B类多选题全对的有 j j 0,1,2,3 题”，
事件Ck表示“下一次考试中该同学 B类多选题得 4分的有 k k 0,1,2,3 题”，
事件Dl 表示“下一次考试中该同学 A类多选题全对的有 l l 0,1,2,3 题”，
其中 j k l 3，且 j k i，
则 P Y 16 P Y 18 P Y 16 ，有 P Y 18 p3，
P Y 16 P A3 P B2C1 A3 P A2 P B1C1D1 A2 P A1 P C1D2 A1
8 1 4
C1 p2 p2 C1 1 2 2 1 13
2
27 4 9 2
p p ，
4 9 4 2
则 P Y 16 p3 1 p2，
2
令 f p 1 7 p3 p2，由 p 0 p 6 3 10 1 3 7、 、 p ，故 p ，
2 10 10 5 20 2 5 10
则 f p 3p2 p p 3p 1 0，
f p 3 , 7 则 在 上单调递增，
5 10
答案第 9页，共 11页
f p f 7
3 2
7 1 7 147 1故 .
max 10 10 2 10 250 2
1
故该概率有机会超过 2 .
2b 4
b 3 a 4
【详解】（1）因 B1F1B2是边长为 4的等边三角形，则得 ，解得
c 3
b
，
2
2 a b
2 c2
x2 y 2
故椭圆的标准方程为 1 .
16 4
（2）因 B1(0,2)，直线 PB1的斜率为 1，则直线 PB1的方程为 y x 2
y x 2 x 0 x
16
2 16 6
联立 x2 y2
1 5
，解得 P( , )
1 y
和 ，即 ，
2 6
16 4
1 y2
5 5
5
PB 8 2 1 1 16 6故以 为直径的圆的圆心为 , ，半径为 | PB | ( )2 ( 2)2
8
1 2，
5 5 2 2 5 5 5
(x 8 )2所以所求圆的方程为： (y
2)2 128 .
5 5 25
（3）设直线 PB1,PB2 的斜率分别为 k ,k ，则直线 PB1的方程为 y kx 2．
由 RB1 PB1，直线RB1的方程为 x k y 2 0．
2 2
将 y kx 2 x y 1 4k 2代入 ，得 1 x2 16kx 0，
16 4
B ,B 16k 2 8k
2
因为 P是椭圆上异于点 1 2 的点，所以 xp 2 ．则 yP kxP 2 ，4k 1 4k 2 1
2 8k 2
yp 2 4k 2
2 1
所以 k 116k ．xp 4k
4k 2 1
由 RB2 PB2 ，所以直线 RB2的方程为 y 4kx 2．
x k y 2 0 4k
由 ，解得 xR 2 ．
y 4kx 2 4k 1
1
S B1B2 x
16k
PB B 2 P x
所以 1 2 P 4k
2 1 4，
S 1 4k RB B x1 2 B1B2 x R2 R 4k 2 1
即△PB1B2与△RB1B2面积之比为定值．
答案第 10页，共 11页
答案第 11页，共 11页
