安徽省蚌埠市A层高中2025-2026学年高二10月月考数学试题（含答案）

安徽省蚌埠市A层高中2025-2026学年高二10月月考
数学试题
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B．0 C． D．
2．空间向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．设向量不共面，已知，若三点共线，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（ ）
A． B． C． D．
5．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
6．对于平面内直线方程的一般式为，我们可以这样理解：若直线l过定点，向量为直线l的法向量，设直线l上任意一点，则，得直线l的方程为，即可转化为直线方程的一般式.类似地，在空间中，若平面α过定点，向量为平面α的法向量，则平面α的方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．已知空间直角坐标系中三个顶点坐标分别为，，，是边上的高，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线过定点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．若直线不经过第四象限，则的取值范围为
C．若直线在轴上的截距为－3，则
D．若直线分别交x，y轴正半轴于A，B，则当取得最小值时，直线的方程为
11．已知正方体的棱长为，动点在正方体底面上（包含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点，使得面
B．存在点，使得面
C．若，则点的轨迹长度为
D．若为面的中心，则的最小值为
三、填空题
12．已知直线l的一个方向向量为，若l过点，则直线l的方程为 ．
13．已知向量，，，若，，共面，则 ．
14．已知正方体的棱长为，点在正方体内（包含表面）运动，若，则动点的轨迹所形成区域的面积为 .
四、解答题
15．已知直线和直线的交点为.
(1)求点坐标；
(2)求过点且与和距离相等的直线方程.
16．如图，在平行六面体中，分别为棱的中点，记，满足，．
(1)求的长度；
(2)求与夹角的余弦值．
17．已知直线和直线.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
18．如图，平面，点分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离.
19．如图，将四个三角形拼接成形如漏斗的空间图形ABCDE，其中.连接，过点作平面，满足.
(1)证明：.
(2)若，且.
（i）求AC到平面的距离与BD到平面的距离的平方和；
（ii）求平面与平面夹角的余弦值.
2025-2026学年蚌埠市A层高中第一次联考
高二数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C A D D A A ACD ACD
题号 11
答案 BCD
12．
13．
14．
15．(1)；
(2)或.
16．(1)
(2)
17．(1)0或2
(2)
18．(1)证明
连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形.
由点和分别为和的中点，可得且，
因为为的中点，所以且，
可得且，即四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面.
（2）因为平面，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.
依题意可得，.
，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，.
，所以，平面与平面夹角的余弦值为.
（3）设，即，则.从而.
由（2）知平面的法向量为，
由题意，，即，
整理得，解得或，
因为所以，所以.
则N到平面的距离为.
19．(1)证明
取AC的中点，连接BM，DM.
因为为AC的中点，所以，
又因为平面，所以平面.
又因为平面，所以.
（2）（i）连接EM，因为，所以，由（1）知平面，
则四点共面.
结合题意知，可得，
在四边形EBMD中，，根据对称性，可知EM垂直平分.
因为，所以在平面内存在点F，G，使得，
则，平面，即得平面
如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设，直线AC到平面的距离为到平面的距离为，
则.
因为，所以
解得，
故AC到平面的距离与BD到平面的距离的平方和为.
（ii）设平面的法向量为，而，
则，即，取.
设平面AEB与平面的夹角为，取平面的一个法向量为，
则，
故平面AEB与平面夹角的余弦值为