2024级高二年级第一学期数学阶段考试参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A D B D A B A C ACD BC ABD
二．填空题
12．460； 13．1； 14．72π
15.（1）由题意知： = = = 1，< , >=< , >=< , >= 60°，
∴ = = = 1 × 1 × cos60° = 1，
2
又∵ 1 = + 1 + 1 1 = + + ，
2 2∴ 1 = + = 2 + 2 + 2 + 2 2 2 = 1 + 1 + 1 1 = 2，
∴ 1 = 2，即 1 的长为 2，
（2）∵ = + = + ，
∴ 2
2
= + = 2 + 2 + 2 = 1 + 2 × 1 + 1 = 3，∴ = 3，
2
1 = + + = + 2 + 2 + = 1，
∴cos < 1 ,
1 >= 1 6 6 = = ，即 1与 夹角的余弦值为 ． 1 2× 3 6 6
16.【详解】（1 ）由题意 = 0.19，∴ = 380．
2000
（2）九年级人数为 + = 2000 (373 + 377 + 380 + 370) = 500，
500
现用分层随机抽样的方法在全校抽取 48名学生，应在九年级抽取的人数为 × 48 = 12
2000
（名）．
（3）设九年级女生比男生少为事件 ，九年级女生数，男生数记为( , )，
由（2）知 + = 500， ， ∈ ．
满足题意的所有样本点是(245,255), (246,254), (247,253), (248,252), (249,251),
(250,250), (251,249), (252,248), (253,247), (254,246), (255,245)，共 11个，
其中事件 包含的样本点是(245,255), (246,254), (247,253), (248,252), (249,251),共 5个，
∴ ( ) = 5．
11
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17.【详解】（1）∵ = ( 3cos2 , sin )， = (1, cos )，函数 ( ) = .
∴ = 3cos2 + sin cos
= 3 1 + cos2 + 1 sin2 = sin 2 + π + 3
2 2 3 2
0 ≤ ≤ π π又 ， 得 ≤ 2 + π ≤ 4π， 3 ≤ sin 2 + π ≤ 1，
2 3 3 3 2 3
0 ≤ sin 2 + π + 3 ≤ 3 + 1.
3 2 2
即函数 = 在 ∈ 0, π 3上的值域为 0, + 1 ．
2 2
π 3
（2）∵ = 3 ∴ sin + = ，
2 3 2
由 ∈ 0,π π < + π 4，知 < π，
3 3 3
π 2 π
解得： + = π，所以 = ，
3 3 3
由余弦定理知： 2 = 2 + 2 2 cos ，即 16 = 2 + 2 ，
∴ 16 = + 2 3 ，因为 + = 5，所以 = 3，
1 3
∴ △ = sin = 3.2 4
18.【详解】（Ⅰ）如图所示建立空间直角坐标系.
(0,0,0), (4,0,0), (0,8,0), (0,0,4), (0,4,4), (0,0,2), (2,4,0),
证明： = (0,4,0), = (4,0, 4).设 = ( , , )为平面
的法向量，则 = 0 4 = 0，即 .不妨设 =
= 0 4 4 = 0
1，可得 = (1,0,1) ，又 = (2,4, 2)，
可得 = 0.因为 平面 ， 所以 //平
面 ，
（Ⅱ）解：易知 1 = (1,0,0)为平面 的一个法向量.
设 2 = ( , , )
2 = 0为平面 的法向量，则 ，
2 = 0
因为 = (0, 4, 2)， = (4,0, 2) 4 2 = 0，所以 4 2 = 0 .
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不妨设 = 2，可得 2 = (1, 1,2) ，因此有 cos 1 , 2 =
1 2 = 6，
1 2 6
于是 sin 1, =
30. 302 所以，二面角 的正弦值为 ；6 6
（Ⅲ）依题意，设 = (0 ≤ ≤ 8)，
则 (0,0, )，进而可得 = ( 2, 4, )， = ( 4,4,4)
由已知，得 cos , = = 4 8 = 7，
2+20×4 3 21
16
整理得 5 2 21 + 16 = 0， 解得 = ，或 = 1.
5
16
所以，线段 的长为 或 1
5
19.【详解】（Ⅰ）因为 < 4 2 + 4 < 0 的解集为 1,3 ，
即方程 2 + 4 = 0 的两根为-1和 3，
1 + 3 = = 2
由韦达定理可知 1 × 3 = 4，解得 = 1 .
Ⅱ 1（ ）（i）由（Ⅰ）可得： = = + 2，
所以不等式 log3
5 log3 +
2 ≥ 0在 ∈ 3,9 上恒成立，
9 3
5
等价于 ≤ 1 4 + 1 在 ∈ 3,9 上恒成立，
9 log3
2 3log3
令 = 1 ，因为 ∈ 3,9 1，所以 ∈ , 1 ，
log3 2
5 4 1
则有 ≤ 2 + 1 在 ∈ , 1 恒成立，
9 3 2
2
令 = 2 4 + 1 = 2 + 5 1， ∈ , 1 ，则 2 5
3 3 9 2 min
= = ，
3 9
5 ≤ 5所以 ，即 ≤ 1，所以实数 的取值范围为 ∞,1 .
9 9
（ii 2）因为 = 1 3 + 2 1 + 2 + 1，
令 = 1 ，由题意可知 ∈ 0, + ∞ ，
令 = 2 3 + 2 + 2 + 1， ∈ 0, + ∞ ，
则函数 = 1 2 3 + 2 1 + 2 + 1 有三个不同的零点，
等价于 = 2 3 + 2 + 2 + 1 在 ∈ 0, + ∞ 有两个零点，
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当 = 0 1时，方程 = 0 = ，此时 = 2 1 ，解得 = 0 或 = 1，关于
2 2 2
的方程有三个零点，符合题意；
当 ≠ 0时，记两个零点为 1， 2，且 1 < 2，0 < 1 < 1， 2 ≥ 1，
0 = 2 + 1 > 0
所以 1 = ≤ 0 ，
= 9 2 + 4 > 0
1
综上实数 的取值范围是 0, + ∞ ∪ .
2
试卷第 8页，共 4页2024级高二年级第一学期阶段考试 数学科试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．
4．考试结束后，请将答题卡上交．
一．单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．集合 = { | < 1}， = { | 2 2 < 0}，则 ∩ =（ ）
A．{ |0 < < 1} B．{ | 1 < < 0} C．{ | 1 < < 2} D．{ |0 < < 2}
2．若 = 2 2 2 + 1 + 3在 1,2 上是单调函数，则 的取值范围是（ ）
A 3． , + ∞ B． 9 , 3 C． ∞, 9 D 9 3． ∞, ∪ , + ∞
2 2 2 2 2 2
3．已知复数 满足 2 + = 3 i，则 的虚部为（ ）
A．1 B． 1 C．i D． i
4．已知 > 0, > 0 且 2 + 5 = 10，则 的最大值为（ ）
A．2 B．5 C 3 5． D．
2 2
5．若 tan = 6，则cos2 + sin2 =（ ）
A 13 B 13 C 1 D 1． ． ． ．
37 37 4 4
6．已知 1 , 2 , 3 为空间内三个不共面的向量，平面 和平面 的法向量分别为 = 1 + 2 +
3 3 和 = 1 + 2 2 + 3 ，若 ∥ ，则 + =（ ）
A．5 B． 5 C．3
7．如图，将菱形纸片 沿对角线 折成直二面角， ,
分别为 , 的中点， 是 的中点，∠ = 2π，则折后
3
二面角 的余弦值为（ ）
A 21． B 21 3 13 3 11． C． D．
7 7 13 11
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8．19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特提出本·福特定律——在大量 10进制
10
随机数据中，以数 ∈ 开头的数出现的概率 满足 1 = lg ，如斐波那契
+1
数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、
选举数据等大数据的真实性.若 =1 ≤
log23×log35 ∈ ，则 的最大值为（ ）
1+log25
A．6 B．5 C．4 D．3
二．多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得 6 分，有选错得 0 分，部分选对得部分分．
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若 , , , 是空间任意四点，则有 + + + = 0
B．若直线 的方向向量与平面 的法向量的夹角为 130°，直线 与平面 所成的角等于 50°
C．已知 , , 是空间的一个基底，则 + , + , + + 也是空间的一个基底
D．已知 为坐标原点，向量 = + 2 ， = 3 + 6 3 ， = 2 + 4 2 ，
则点 , , 不能构成三角形
10 = 2e = 1．若函数 的图象与函数 + 5的图象交点的横坐标所在的区间为
, + 1 ，则 的可能取值为（ ）
A． 2 B． 1 C．1 D．2
11.已知正方体 1 1 1 1棱长为 1，P是 1 上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A．当点 P在直线 1 上运动时，一定有 1 ⊥ 1
B．当点 P在直线 1 上运动时，三棱锥 1 的体积不变
C． + 的最小值为 2 2
D 2 6．以点 B为球心， 为半径的球面与平面 1 的交线长为 π2 3
三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．某地区采用分层抽样的方法，抽取一定数量的高中学生参加禁毒知识竞赛．若得到的
样本中高二的学生数量比高一多 40人、比高三少 20人，且该地区高一、高三学生数之比
为 2: 3，则样本容量为 ．
13．过 1, 、 + 1,4 两点的直线的倾斜角为 45°，那么实数 = .
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14．如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为 2和 4的两个
铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水
面均相切，此时容器中水的体积为 .
四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
15．本小题满分 13分
如图，在平行六面体 1 1 1 1中，以顶点 A为端
点的三条棱长度都为 1，且两两夹角为 60°．记 = ，
= ， 1 = ．
(1)求 1 的长；
(2)求 1 与 夹角的余弦值．
16．本小题满分 15分
某初级中学共有学生 2000名，各年级男、女生人数如下表：
七年级 八年级 九年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取 1名，抽到八年级女生的概率为 0.19．
(1)求 x的值；
(2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取 48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？
(3)已知 ≥ 245， ≥ 245求九年级中女生比男生少的概率．
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17．本小题满分 15分
已知 = ( 3cos2 , sin )， = (1, cos )，函数 ( ) = .
1 ∈ 0, （ ）当 时，求 ( )的值域；
2
（2）已知△ 的内角 , , 的对边分别为 , , ，若 ( ) = 3， = 4， + = 5，求
2
△ 的面积.
18．本小题满分 17分
如图，在三棱锥 中， ⊥底面 , ∠ = 90°.
点 D，E，N分别为棱 , , 的中点，M是线段
的中点， = = 8， = 4.
（1）求证： //平面 ；
（2）求二面角 的正弦值；
（3）已知点 H在棱 上，且直线 与直线 所成角
7
的余弦值为 ，求线段 的长.
21
19．本小题满分 17分
函数 = 2 + ，关于 的不等式 < 4的解集为 1,3 .
（1）求 、 的值；
（2）设 = .
（i 5 2）若不等式 log3 log3 + ≥ 0在 ∈ 3,9 上恒成立，求实数 的取值范围；9 3
（ii）若函数 = 1 1 3 1 + 2 有三个不同的零点，求实数 的
取值范围（ 为自然对数的底数）.
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