2025-2026学年九年级数学上册期中测试模拟卷（第一-三章）--苏科版（含答案）

2025-2026学年九年级数学上册期中测试卷（第一-三章）
一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。）
1．为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．学校随机抽取了九年级的10名男生，进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：7，11，10，11，6，14，11，10，11，9．则关于这组数据的下列结论中，错误的是（ ）
A．众数是11 B．中位数是10 C．平均数是10 D．方差是
2．下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，是的直径，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图， ABC的边与相交于C、D两点，且经过圆心O，边与相切，切点为B．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数最大为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
6．（1）观察下列解题过程：计算：的值．
解：设，（1）
则（2）
（2）（1），得，．
那么关于实数的方程的解是（ ）
A． B．或 C．或 D．或或
二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
7．将一元二次方程化为一般形式为 ．
8．某班七个兴趣小组人数分别为4，x，5，5，4，6，7，已知这组数据的平均数是5，则方差为 ．
9．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．以点F为圆心，FE长为半径画弧，恰好经过小正方形的顶点G．若AB＝5，且每个直角三角形的两直角边之和为7，则的长为 ．
10．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 的长方形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为”小聪按此方法解关于x的方程 ，构造图2，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为 ．
11．如图，是半圆O的直径，，，，则O到的距离 ．
12．下表为某班学生成绩的次数分配表．已知全班共有人，且众数为分，中位数为分，则之值为 ．
成绩(分)
次数(人)
13．如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点， ，动点E从点A出发，以的速度向点D运动，直到点D为止；动点F同时从点C出发，以的速度向点B运动，与点E同时结束运动．当点E和点F之间的距离是时，运动时间为 s．
14．如图，、分别与相切于A、B，C为上一点，，则的度数为 ．
15．为了了解某班七年级男生体能情况，随机抽取7名男生，进行引体向上测试，测试成绩（单位：个，且均为整数）按从小到大排序为：5，5，6，m，8，9，10，若这组数据的平均数小于这组数据的中位数，则这组数据的中位数为 ．
16．已知，且，那么的值为 ．
三、解答题（本题共10小题，共72分．）
17．（6分）解方程：
(1) (2)
18．（6分）关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两个根为，，且，求k的值．
19．（6分）如图所示，在 ABC中，以为直径的分别交于点，交于点，连接，若．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
20．（6分）某中学数学活动小组为了调查居民的用水情况，从某社区的1200户家庭中随机抽取了30户家庭的月用水量，结果如下表所示：
月用水量（吨） 3 4 5 7 8 9 10
户数 5 3 5 11 4 1 1
(1)这30户家庭月用水量的平均数是______吨、众数是______吨、中位数是______吨；
(2)根据上述数据，试估计该社区的月总用水量；
(3)由于我国水资源缺乏，许多城市打算采用分段计费的办法引导人们节约用水，即规定每个家庭的月基本用水量为x（吨），家庭月用水量不超过x（吨）的部分按原定价收费，超过x（吨）的部分加倍收费．你认为上述问题中的平均数、众数和中位数中哪一个量作为月基本用水量比较合理？请说明理由．
21．（6分）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值．
解：，
∵，，
∴，即的最小值是1．
试应用上述方法解决下列问题：
(1)已知，则y的最小值是________．
(2)已知，则y有最________值（填“大”或“小”），最值是________．
(3)应用：若，，请比较P和Q的大小，并说明理由．
22．（6分）如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，，求图中阴影部分的面积．
23．（6分）某水果超市第一次花费2200元购进甲、乙两种水果共350千克．已知甲种水果进价每千克5元，售价每千克10元；乙种水果进价每千克8元，售价每千克12元．
(1)第一次购进的甲、乙两种水果各多少千克？
(2)由于第一次购进的水果很快销售完毕，超市决定再次购进甲、乙两种水果，它们的进价不变．若要本次购进的水果销售完毕后获得利润1840元，甲种水果进货量在第一次进货量的基础上增加了，售价比第一次提高了；乙种水果的进货量为100千克，售价不变．求m的值．
24．（8分）如图，正六边形内接于．
(1)若P是上的动点，连接，，求的度数；
(2)已知的面积为，求的面积．
25．（10分）如图所示，中，，，．
(1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
①经过几秒，的长度为？
②线段能否将分成两部分，使得的面积是四边形的面积的倍？若能，求出运动时间；若不能请说明理由；
(2)若点沿射线方向从点出发以1cm/s的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？(直接写出答案)
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接．已知．
(1)的直径为________，点M的坐标为________；
(2)求直线所对应的函数表达式；
(3)已知点P是x轴上的一个动点，当时，线段的长度为多少？
参考答案
一、选择题
1．B
【详解】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：6，7，9，10，10，11，11，11，11，14，处在最中间的两个数分别为10，11，故中位数为，故B结论错误，符合题意；
∵成绩为11的人数最多，
∴众数为11，故A结论正确，不符合题意；
平均数为，故C正确，不符合题意；
方差为，故D结论正确，不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】
【详解】解：A．不是等式，故不是一元二次方程，不符合题意；
B．当时，不是一元二次方程，不符合题意；
C．该方程化简后为，是一元二次方程，符合题意；
D．该方程不是整式方程，不符合题意；
故选：C．
3．A
【详解】解：∵是的直径，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
4．D
【详解】解：连接，如图，
边与相切，
，
，
，与是所对的圆心角和圆周角，
，
，
故选：D．
5．C
【详解】解：∵有11个正整数，平均数是10，∴这11个数的和为110，
由于中位数是9，众数只有一个8，
如有两个8，则其他数至多1个，符合条件的数据可以是：1，2，3，8，8，9，10，11，12，13，x；
如有3个8，9是中位数，则其他数至多2个，符合条件的数据可以是：1，1，8，8，8，9，9，10，10，11，x；
如有4个8，则其他数至多3个，符合条件的数据可以是：1，8，8，8，8，9，9，9，10，10，x；
如有5个8，则其他数至多4个，符合条件的数据可以是：8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，x；
再根据其和为110，比较上面各组数据中哪个x更大即可，通过计算x分别为33，35，30，24，
故最大的正整数为35．
故选：C．
6．C
【分析】
【详解】解：设，则，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：或，
当时，方程的左边右边，
即是原方程的解；
当时，方程的左边右边，
即不是原方程的解；
当时，方程的左边右边，
即是原方程的解；
综上所述，原方程的解为或．
故选：C
二、填空题
7．
【分析】
【详解】解：
故答案为：．
8．
【详解】解：由题意可得，
，
解得，
，
故答案为：.
9．
【详解】解：∵每个直角三角形的两直角边之和为7，
∴设，则．
在中，由勾股定理可得到，
，
解得或．
由题图可知，小正方形的边长即为每个直角三角形的两直角边之差，
∴正方形的边长为，
∴的长为
故答案为：
10．
【详解】解：由得，
设，则，
∵阴影部分的面积为60，
∴，
先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的长方形，得到大正方形的面积为，
∴方程的正数解为．
故答案为：．
11．
【详解】解：，，
，
∵，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】
【详解】解：全班共有人，
，
又众数为分，
，，
，
当时，，中位数是第、两个数的平均数，都为分，则中位数为分，符合题意；
当时，，中位数是第、两个数的平均数，则中位数为分，不符合题意；
同理当，，，，，时，中位数都不等于分，不符合题意．
，．
．
故答案为．
13．或
【详解】解：由题意，，
过点作于点，
∵矩形，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴或，
由勾股定理，得，
解得或；
故答案为：或．
14．
【详解】解：在优弧上取一点D，连接、，、，
，，
，
，
、分别与相切，
，
．
故答案为：．
15．
【详解】解：这组数据有个，按从小到大排列后，中位数是第个数，即
平均数为
因为平均数小于中位数，所以，
，
，
，
又因为数据是按从小到大排列的，
所以，
所以，此时中位数为
故答案为：
16．
【详解】解：，
由方程可知，
把方程两边同时除以，
可得：，
可知和是一元二次方程的两个实数根，
，
．
故答案为：．
解答题
17．（1）解：，
，
，，
∴，；
（2）解：，
，
，
，，
∴，．
18．（1）解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴
∵，
∴，
解得：．
（2）解：∵，是方程的两个根 ，
∴，
∵，
∴，
解得：，（舍去）．
19．（1）证明：∵，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图所示：
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴设，则有，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴．
20．（1）这户家庭月用水量的平均数（吨）
出现了次，出现的次数最多，则众数是，
∵共有个数，
∴中位数是第、个数的平均数，
∴中位数是（吨）
故答案为：6，7，7；
（2）∵社区共户家庭，
∴该社区的月用水量（吨）；
（3）以中位数或众数作为月基本用水量较为合理．因为这样既可以满足大多数家庭的月用水量，也可以引导用水量高于7吨的家庭节约用水．
21．（1）解：配方得，
∵，，
∴，即的最小值是3．
故答案为：3．
（2）解：，
，
，
则y有最大值，最大值为9．
故答案为：大，9．
（3），理由如下
，，
，
即，所以．
22．（1）证明：连接、，如图，
是的切线，
，
，
点是的中点，点为的中点，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
．
，
，
为的半径，
为的切线；
（2）由（1）可知与是直角三角形
∵，
则，，
四边形为正方形，
则图中阴影部分的面积正方形的面积扇形的面积．
23.（1）解：设第一次购进甲水果x千克，则购进乙水果千克，
依题意得，
解得
当时，．
答：第一次购进甲水果200千克，购进乙水果150千克；
（2）解：依题意得
整理得
解得（不合题意，舍去）
答：m的值为10．
24.（1）如图所示，在取一点，连接 ，
∵六边形是正六边形，
∴ ，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴是等边三角形，
∴；
∴，，
∴，
∴，
即的半径为．
面积为：
25．（1）解：设经过秒，则，，
．
①由勾股定理得：，
解得：，(不合题意，舍去)
经过秒，的长度为；
②不能，理由如下：
当的面积是四边形的面积的倍，
，
．
，
，
不存在，使得的面积是四边形的面积的倍；
（2）设运动时间为秒，
当时，
解得：，舍去，故，
当时，，
解得：，
当时，．
解得：舍，，
综上：或或时，的面积为．
26．（1）解：连接，如图：
∵，
∴为的直径，
∵点A、点B的坐标分别为、，
∴，
∴的直径为，
∵M为中点，
∴，
故答案为：，；
（2）解：连接，
∵∠ODF=45°，
，
，
设，
，
，
解得：，
，
设直线所对应的函数表达式为，将，代入，得
，
解得，
直线所对应的函数表达式；
（3）解：设，
，，
，即，
解得：，，
， ，
，，
，
，
，
∵，
，
，，
，
①当点P在点左侧时，如图，连接，
，
点E和点P横坐标相同，
，
，
；
②当点P在点右侧时，
∵，
∴，
∴轴，与点P在x轴上矛盾，不存在该种情况；
综上所述：的长度为．