2025-2026学年苏科版九年级数学上册期中模拟检测卷（第1-2章）（含答案）

2025-2026学年九年级数学上册期中检测卷（第1-2章）
一、选择题（8小题，每小题2分，共16分）
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若方程的两根为和，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知α，β是方程的两个根，则代数式的值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，是的直径，是圆上的点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方形的四个顶点在直径为的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，，过圆心，且，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，矩形是由三个矩形拼接成的，如果，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，设，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动1次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图是发动机的实物剖面图，图是其示意图．图中，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点、是直线与的交点；当点运动到时，点到达；当点运动到时，点到达．若，，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C．当与相切时， D．当时，
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
9．已知代数式的值与代数式的值相等，则 ．
10．用一个圆心角为，半径为8的扇形制作一个圆锥，则这个圆锥的底面圆半径为 ．
11．在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆与y轴的位置关系为 ．
12．我们规定：对于任意实数有，其中等式的右边是通常的乘法和减法运算，如：．已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
13．探索一元二次方程的一个正数解的过程如下表：
x 0 1 2 3 4
5 13 23
从表中可以看出方程的一个正数解在相邻整数a和b之间，则整数a，b分别是 ．
14．如图，为圆的直径，，为圆内接正方形，，分别为的中点，则阴影部分面积为 ．

15．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有 （填序号）．
①方程是“倍根方程”；
②若是“倍根方程”，则；
③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”；
④若方程是“倍根方程”，则必有．
16．如图，是 ABC的外接圆，是的直径，弦，垂足为点的平分线交于点、交于点、交于点，连接.给出下面五个结论：①；②；③；④当时，若，则阴影部分图形的面积为；⑤当时，与的面积比为.上述结论中，正确结论的序号有 .
三、解答题（11小题，共68分）
17．已知关于的一元二次方程．
(1)当时，求方程的解．
(2)若是方程的一个解，求的值和方程的另一个解．
18．如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1，，求阴影部分面积．
19．如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长．
20．如图，四边形内接于，对角线为的直径，，在的延长线上取一点E，连接，使．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
21．阅读下面的材料：根与系数的关系
的根为，
∴
综上得，设的两根为、，则有
请利用上述结论解决下列问题：
问题：若方程的根是和，且满足和．求的值．
22．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G．
(1)证明：是的切线；
(2)若，，求的半径．
23．如图，在 ABC中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求：
(1)几秒后，的面积等于？
(2)的面积能否等于？说明理由．
24．课本再现
（1）如图（1），四边形内接于，请你写出 与 之间的关系，并给出证明；
拓展应用
（2）如图（2）， ABC内接于． ，将 弧沿着边对折，与边交于点 D，连接．求证：．

25．古希腊数学家欧几里得，被称为“几何学之父”．在其所著的《几何原本》第三卷中有一个命题：“过已知点作直线切于已知圆”．如图，设点P是已知点，是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：①连接，分别以点O，P为圆心，大于长为半径作弧，在上方交于点M，在下方交于点N，连接，交于点A；②以点A为圆心，长为半径作，与交于两点Q和R；③连接，，则，是的切线．
(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图中补全图形，保留作图痕迹；
(2)上述作图中用到了圆中一个很重要的定理，具体内容是______．
26．在平面直角坐标系中，对于图形P，图形和直线l给出如下定义：图形P关于直线l的对称图形为．若图形P与图形均存在点在图形Q内部（包括边界），则称图形Q为图形P关于直线l的“弱相关图形”．

(1)如图，点，点．
①已知图形是半径为2的，是半径为1的，是半径为的，在，，中，线段关于直线的“弱相关图形”是：　　；
②已知的半径为2，若是线段关于直线的“弱相关图形”，求b的取值范围；
(2)在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，有一个半径为2的圆P．若存在点，使得对于任意过点C的直线l，有圆P，满足半径r的是圆P关于l的“弱相关图形”，直接写出r的取值范围．
27．阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
(1)关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”．
①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ．
②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ．
(2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”．
(3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）．
参考答案
一、选择题
1．D
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A、，化简后为，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
B、，当时，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
C、含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
D、是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键：根据根与系数的关系，得到，整体代入法求值即可．
【详解】解：∵方程的两根为和，
∴，
∴；
故选C．
3．C
【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握各知识点是解题的关键．
根据根与系数的关系得到，通过一元二次方程的解的定义得到，，即可得到，，进一步即可求出答案．
【详解】解：∵α，β是方程的两个根，
∴，，，
∴，，
∴
．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查圆的对称性，圆面积公式求解，熟练掌握公式是本题的解题关键．
由于圆是中心对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一，即可求解．
【详解】由于圆是中心对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一，
故阴影部分的面积．
故选：C．
6．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意用含x的式子表示阴影部分的面积；根据两个小矩形全等，得到对应线段的长，进而算出阴影部分的长和宽，即可得到答案；
【详解】解：如图，延长交于点，
由题可知：，，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为，
又∵阴影部分的面积是24，
∴，
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由，且点为的中点，则，，设，则，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，且点为的中点，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
解得：，
∴大摆锤的长度为，
故选：．
8．C
【分析】本题考查了线段的和与差、勾股定理、切线的性质，根据圆的性质可知，线段之间的关系可以得到：；根据线段之间的关系可求，，从而可以求出；根据切线的定义可知，利用勾股定理可以求出；利用勾股定理可以求出，所以可得，根据可得：，所以．
【详解】解：A选项：点运动到时，点到达，，
，
又，
，
，
故A选项错误；
B选项：点运动到时，点到达，，
，
，
，
，
故B选项错误；
C选项：如下图所示，
，，
，
设，则，
与相切，
，
在中，，
，
解得：，(不符合题意，舍去)，
故C选项正确；
D选项：如下图所示，当时，，
在中，，
，
，，
,
故D选项错误．
故选：C．
二、填空题
9．或
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，理解题意，得，再整理得，运用公式法进行解方程，即可作答．
【详解】解：依题意，，
∴，
∴，
即，
∴，
则，
∴或，
故答案为：或．
10．
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
根据题意，扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解．
【详解】解：依题意，
解得：
故答案为：．
11．相交
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解决本题的关键求解圆心到y轴的距离．
根据圆心的坐标，可判断出圆心到y轴的距离即为圆心的横坐标的绝对值，判断圆心到y轴的距离与半径的大小即可．
【详解】解：∵圆的圆心为点，
∴可知圆心到y轴的距离为，
∵圆的半径为4，且，
∴该圆与y轴的位置关系为相交．
故答案为：相交 ．
12．且．
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式等知识，根据新规定的运算获得关于x的方程，然后根据一元二次方程的定义及一元二次方程的根的判别式列出不等式组，求解即可获得答案．
【详解】解：根据题意，得，
整理，得，
∵关于x的方程有两个实数根，
∴，
∴且．
故答案为：且．
13．1、2
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的估算，可求出当时，，当时，，据此可得答案．
【详解】解：∵当时，，当时，，
∵方程的一个正数解在相邻整数a和b之间，
∴，
故答案为：1、2．
14．
【分析】题目主要考查正方形的性质，中位线的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
连接，根据题意得出，确定，再由中位线定理得出，，根据平行线的判定和性质得出，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：

∵为圆的直径，，为圆内接正方形，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴阴影部分面积为：，
故答案为：．
15．②③④
【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；
②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；
③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；
④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【详解】①解方程，得，
，
方程不是“倍根方程”．故①不正确；
②是“倍根方程”，且，
因此或．
当时，，
当时，，
，故②正确；
③，
，
，
，
因此是“倍根方程”，故③正确；
④方程的根为，
若，则，
即，
，
，
，
，
，
若，则，
，
，
，
，
．故④正确，
故答案为：②③④．
16．①②④
【分析】由，可得，可得①符合题意；证明，可得，可得②符合题意；若，为等边三角形，可得与题干条件不相符，可得③不符合题意；由，可得，如图，连接，可得，，进一步可得阴影部分图形的面积为，可得④符合题意；由，可得，，，设，再进一步可得⑤不符合题意．
【详解】解：∵，
∴，故①符合题意；
∵为直径，
∴，
∴，
∵弦，
∴，，
∵的平分线交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故②符合题意；
若，
∴为等边三角形，
∴，，与题干条件不相符，故③不符合题意；
∵，
∴，
∴，
如图，连接，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴阴影部分图形的面积为，故④符合题意；
∵，
∴，，，
∴，
∴设，
∴，
∴，
∴与的面积比为；故⑤不符合题意；
故答案为：①②④
三、解答题
17．（1）解：当时，原方程为，
，
，
解得，；
（2）解：设方程的另一个解为，
由根与系数的关系可知：，
解得，
，解得，
∴，方程的另一个根为．
18．解：，
∴阴影部分面积是．
19．解：六边形是正六边形，
．，
，
是等边三角形，
，
正六边形的周长．
20．（1）证明：如图，连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
在 ABC与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
在中利用勾股定理，得．
21．∵，
∴．
∵方程的根是，
∴，
∴．
22．（1）证明：连接，
，
．
．
，
．
．
．
，
，
又是半径．
是的切线．
（2）解：设，
∵OE⊥GF，
∴∠GEO=90°．
在中，
，，，
．
解得．
的半径是3．
23．（1）解：．
当运动时间为（）时，．
（1）依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：1秒后，的面积等于；
（2）解：不能，理由如下：
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴该方程没有实数根，
∴的面积不能等于．
24．解：（1）．
证明：如图（1），连接，，
则 ．
∵，
∴．
（2）证明：如图（2），作点 关于 的对称点D/ ，连接，，
则D/在上， ，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
25．（1）解：如图，直线，即为所求；
（2）解：连接，．
根据直径所对的圆周角是直角，可以证明，，可得，是的切线．
故答案为：直径所对的圆周角是直角．
26．（1）解：①如图所示：

∵点，点，关于的对称图形为，半径为，
∴根据轴对称性得：，即点在y的正半轴上，
∴在的内部，
∴为线段关于直线的“弱相关图形”．
故答案为：；
②如图所示，是线段关于直线l：的“弱相关图形”，
∵与平行，
∴与坐标轴的夹角为，由点O关于对称，
则，则在直线上，
当时，点O离对称轴直线l：较远，如图，当在上时，

设l与x轴交于点D，
依题意，，是等腰直角三角形，
∴，
∴D的坐标为，代入
解得：，
当时，点A离对称轴直线较远，如图：当在上时，

同理可得，
连接，在中，设，则，
∵，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
∴，
代入，
解得：，
综上所述：．
（2）解：∵，
∴，
即C在直线上，
如图所示：过点O作于点S，
由，令，
令，
∴，
依题意，点C在直线上运动，过点C的直线为对称轴，将与对称，
∴，
∴当P，C，Q共线时，最大，
当直线时，最大值最小，
此时，，
∴当C点在S时，最大值最小，
∵当与两坐标轴都相切时，最小，此时点，
∴当P为，C与S重合时r最小，
∴，
∵，
∴，
∴．
即．
27．（1）解：①当时，方程为，
则，
∴该全整根方程的“关爱码”是，
故答案为：；
②
由题意得，
解得，
则当或3时，若该全整根方程的“关爱码”是，
故答案为：或3；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
其中完全平方数有、和，
当时，，
当时， （不合题意），
当时，，
当时，原方程为，
则，
当时，原方程为，
则，
综上所述：该方程的“关爱码”为或；
（3）解：方程的“关爱码”
方程的“关爱码，
由题意得：，
∴，
∴或，
∵m，n均为正整数，
∴不合题意，
∴．