2025-2026学年云南省曲靖市陆良县中枢镇第二中学高二上学期9月月考数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年云南省曲靖市陆良县中枢镇第二中学高二上学期9月月考数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 179.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-23 06:39:45 | ||
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文档简介
2025-2026学年云南省陆良县中枢镇第二中学高二上学期9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.若，则复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
4.下列命题中为真命题的是( )
A. 向量与的长度相等
B. 空间向量就是空间中的一条有向线段
C. 若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
D. 不相等的两个空间向量的模必不相等
5.已知正方体中，若点是侧面的中心，且则，的值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是( )
A. B. C. D.
7.已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是弧长为的扇形，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.如图，公路北侧有一幢楼，高为米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走米到点处，测得仰角为，再行走米到点处，测得仰角为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
10.镇沅县某中学高二班甲、乙两名同学独立解答一道空间向量与立体几何题，他们能解答出这道题的概率分别为和，记事件“甲独立解答出这道题”，事件“乙独立解答出这道题”，则( )
A. 与为相互独立事件 B. 与为对立事件
C. 两人都解答出这道题的概率为 D. 恰有一人解答出这道题的概率为
11.如图，在正四棱锥中，，，是的中点．设棱锥与棱锥的体积分别为，，，与平面所成的角分别为，，则( )
A. 平面
B. 平面
C. ：：
D. ：：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若从，，，这四个数中任意抽取两个数，则“抽取得两个数都是偶数”的概率是 ．
13.已知平面的一个法向量，点在内，则平面外一点到的距离为 ．
14.已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间向量，，，，．
求向量，，的坐标
求与夹角的余弦值．
16.本小题分
某大学艺术专业名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了名学生，记录他们的分数，将数据分成组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
已知样本中分数在的学生有人，试估计总体中分数小于的人数；
试估计测评成绩的分位数；
已知样本中有一半男生的分数不小于，且样本中分数不小于的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
17.本小题分
记的内角的对边分别为，且．
求的大小；
若，的面积为，求的周长．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ求的单调递增区间和最值；
Ⅱ若函数在有且仅有两个零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，将边长为的等边三角形沿与边平行的直线折起，使得平面平面，为的中点．
求平面与平面所成角的余弦值；
若平面，试求折痕的长；
当点到平面距离最大时，求折痕的长．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】因为，，，
所以，所以，，
所以，，
因为，，
所以，
所以，所以；
，，
所以，，，
设与夹角为，
所以，
所以与夹角的余弦值为．
16.【详解】由频率分布直方图知，分数在的频率为，在样本中分数在的人数为人，在样本中分数在的人数为人，所以分数在的人数为人，总体中分数小于的人数为人
测试成绩从低到高排序，占人数的人分数在之间，所以估计测评成绩的分位数为
由频率分布直方图知，分数不小于分的人数共有人，由已知男女各占人，从而样本中男生有人，女生有人，故总体中男生与女生的比例为．
17.【详解】解：因为，由正弦定理得，
所以
可得，
因为，所以，所以，
又因为，所以．
解：由，则，解得，
又由余弦定理，可得，
所以，可得，
又因为，所以的周长为．
18.【详解】Ⅰ
，
令，，解得，，
故的单调递增区间为，，
易得的最大值为，最小值为；
Ⅱ函数在有且仅有两个零点，
函数，与有且仅有个不同的交点，
由可知当时，在单调递增，在单调递减，
又，所以实数的取值范围为．
19.【详解】取中点，连接，依题意，四边形为等腰梯形，则，由题干，平面，平面，则，下以为原点，构建如图的空间直角坐标系设，则，，，
，，故，，设平面的法向量为，则，即
取，则，故，易见平面的法向量，
故，又平面与平面的所成角是指夹角较小的角，故平面与平面所成角的余弦值为．
平面，且平面，则，即，
，又，
，又，解得，故折痕
连接，过作，垂足为，由，
则平面，又平面，则，又，，
故平面，即为到平面距离又，
则，，
则，，当时取得等号，又，当时取得等号，也即时，分子取到了最大值，分母取到了最小值，此时即有最大，故折痕．
第4页，共7页
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.若，则复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
4.下列命题中为真命题的是( )
A. 向量与的长度相等
B. 空间向量就是空间中的一条有向线段
C. 若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
D. 不相等的两个空间向量的模必不相等
5.已知正方体中，若点是侧面的中心，且则，的值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是( )
A. B. C. D.
7.已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是弧长为的扇形，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.如图，公路北侧有一幢楼，高为米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走米到点处，测得仰角为，再行走米到点处，测得仰角为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
10.镇沅县某中学高二班甲、乙两名同学独立解答一道空间向量与立体几何题，他们能解答出这道题的概率分别为和，记事件“甲独立解答出这道题”，事件“乙独立解答出这道题”，则( )
A. 与为相互独立事件 B. 与为对立事件
C. 两人都解答出这道题的概率为 D. 恰有一人解答出这道题的概率为
11.如图，在正四棱锥中，，，是的中点．设棱锥与棱锥的体积分别为，，，与平面所成的角分别为，，则( )
A. 平面
B. 平面
C. ：：
D. ：：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若从，，，这四个数中任意抽取两个数，则“抽取得两个数都是偶数”的概率是 ．
13.已知平面的一个法向量，点在内，则平面外一点到的距离为 ．
14.已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间向量，，，，．
求向量，，的坐标
求与夹角的余弦值．
16.本小题分
某大学艺术专业名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了名学生，记录他们的分数，将数据分成组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图：
已知样本中分数在的学生有人，试估计总体中分数小于的人数；
试估计测评成绩的分位数；
已知样本中有一半男生的分数不小于，且样本中分数不小于的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
17.本小题分
记的内角的对边分别为，且．
求的大小；
若，的面积为，求的周长．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ求的单调递增区间和最值；
Ⅱ若函数在有且仅有两个零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，将边长为的等边三角形沿与边平行的直线折起，使得平面平面，为的中点．
求平面与平面所成角的余弦值；
若平面，试求折痕的长；
当点到平面距离最大时，求折痕的长．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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9.
10.
11.
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13.
14.
15.【详解】因为，，，
所以，所以，，
所以，，
因为，，
所以，
所以，所以；
，，
所以，，，
设与夹角为，
所以，
所以与夹角的余弦值为．
16.【详解】由频率分布直方图知，分数在的频率为，在样本中分数在的人数为人，在样本中分数在的人数为人，所以分数在的人数为人，总体中分数小于的人数为人
测试成绩从低到高排序，占人数的人分数在之间，所以估计测评成绩的分位数为
由频率分布直方图知，分数不小于分的人数共有人，由已知男女各占人，从而样本中男生有人，女生有人，故总体中男生与女生的比例为．
17.【详解】解：因为，由正弦定理得，
所以
可得，
因为，所以，所以，
又因为，所以．
解：由，则，解得，
又由余弦定理，可得，
所以，可得，
又因为，所以的周长为．
18.【详解】Ⅰ
，
令，，解得，，
故的单调递增区间为，，
易得的最大值为，最小值为；
Ⅱ函数在有且仅有两个零点，
函数，与有且仅有个不同的交点，
由可知当时，在单调递增，在单调递减，
又，所以实数的取值范围为．
19.【详解】取中点，连接，依题意，四边形为等腰梯形，则，由题干，平面，平面，则，下以为原点，构建如图的空间直角坐标系设，则，，，
，，故，，设平面的法向量为，则，即
取，则，故，易见平面的法向量，
故，又平面与平面的所成角是指夹角较小的角，故平面与平面所成角的余弦值为．
平面，且平面，则，即，
，又，
，又，解得，故折痕
连接，过作，垂足为，由，
则平面，又平面，则，又，，
故平面，即为到平面距离又，
则，，
则，，当时取得等号，又，当时取得等号，也即时，分子取到了最大值，分母取到了最小值，此时即有最大，故折痕．
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