2025新高考高三数学一模试题专题分类汇编不等式复数（含解析）

专题11 不等式、复数
题型01 复数加减乘除运算
1．（2025·天津武清·一模）i是虚数单位，则 .
2．（2025·广东深圳·一模）若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
3．（2025·宁夏银川·一模）（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·广东湛江·一模）复数，满足，，则（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2025·黑龙江·一模）若，则复数的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
6．（2025·山东泰安·一模）已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2025·福建泉州·一模）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·云南昭通·一模）已知复数，则（ ）
A． B．2 C．10 D．
9．（2025·黑龙江·一模）已知复数满足：，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·山东济宁·一模）已知复数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
题型02 复数相等
1．（2025·山西吕梁·一模）已知（为虚数单位），则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·江西南昌·一模）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江西赣州·一模）已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·北京延庆·一模）已知，为虚数单位，若为实数，则（ ）
A． B．1 C． D．4
5．（2025·陕西咸阳·一模）已知复数，，则（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
题型03 复数的几何意义
1．（2025·河南安阳·一模）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·北京平谷·一模）在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．（2025·甘肃兰州·一模）若复数，则（ ）
A．1 B． C．3 D．5
4．（2025·江西萍乡·一模）已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为3
C．若，则
D．若，则
5．（2025·四川巴中·一模）已知复数z在复平面内满足，则复数z对应的点的集合所形成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2025·江西上饶·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9．（2025·江西·一模）设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
10．（2025·江西·一模）若，则（ ）
A．5 B． C． D．
11．（2025·山东烟台·一模）已知复数，其中，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（2025·广西·一模）已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
13．（2025·山东菏泽·一模）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·辽宁·一模）若复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹的离心率为 .
15．（2025·广东江门·一模）已知i是虚数单位，复数，则（ ）
A． B． C． D．
题型04 不等式的综合应用
1．（2025·北京延庆·一模）设x，，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
3．（2025·广东湛江·一模）已知定义在上的函数为奇函数，且当时，，若，不等式恒成立，则的值不可能是（ ）．
A． B． C． D．3
4．（2025·广东湛江·一模）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为 ．
5．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（ ）
A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能
6．（2025·江西萍乡·一模）已知直线的斜率为，则的最大值为 .
7．（2025·山东烟台·一模）已知正数满足，则的最小值为 ：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
8．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）下列命题中正确的为（ ）
A．若随机变量服从二项分布，且，则
B．若，且，则的最大值为
C．若随机变量服从正态分布，且，则
D．若命题“”是假命题，则的取值范围为
10．（2025·云南昆明·一模）已知函数的图象与有两个交点，则的最小值为 .
题型05 利用基本不等式求最值
1．（2025·云南昆明·一模）悬链线是一根目睹均匀的绳子或铁链两端固定在水平杆上，受重力的作用自然下垂后形成的曲线，建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．在上单调递增
C．， D．
2．（2025·安徽·一模）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江西·一模）已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为 ．
4．（2025·山西吕梁·一模）正数满足，则的最小值是 .
5．（2025·江西·一模）已知函数，若存在，，使得在区间上的值域为，则（ ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C． D．
6．（2025·贵州六盘水·一模）函数，若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·广东汕头·一模）已知，，，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．不存在
8．（2025·江苏南通·一模）在公差不为的等差数列中，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·重庆·一模）已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
10．（2025·陕西西安·一模）设函数，其中，若有两个零点且取最小整数P时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案解析
题型01 复数加减乘除运算
1．（2025·天津武清·一模）i是虚数单位，则 .
【答案】/
【分析】根据复数的除法乘法运算结合模长公式计算 即可.
【详解】 .
故答案为：.
2．（2025·广东深圳·一模）若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】根据求出，再根据公式求其模长.
【详解】;
;
.
故选：C.
3．（2025·宁夏银川·一模）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用复数运算，即可求解.
【详解】因为，
故选：B.
4．（2025·广东湛江·一模）复数，满足，，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由题意根据韦达定理建立一元二次方程，求得复数，根据模长公式以及复数四则运算，可得答案.
【详解】依题意得，复数，是方程的两个根，
可得，
解得，则，，
所以，故选项A正确；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D正确．
故选：ABD．
5．（2025·黑龙江·一模）若，则复数的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】由复数的除法得到代数形式，即可求解；
【详解】由，可得：，
所以复数的虚部为1.
故选：B
6．（2025·山东泰安·一模）已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】利用复数的乘法运算化简复数，再利用纯虚数的概念，即可得答案；
【详解】因为，
所以，解得.
故选：B.
7．（2025·福建泉州·一模）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的模得到方程求出的值，即可求出，再根据复数代数形式的运算法则判断即可.
【详解】因为，所以，
又，所以，解得或（舍去），
所以，则，所以，.
故选：D
8．（2025·云南昭通·一模）已知复数，则（ ）
A． B．2 C．10 D．
【答案】A
【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解.
【详解】，
所以.
故选：A.
9．（2025·黑龙江·一模）已知复数满足：，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的乘除法求出复数z，可得复数，由模长公式即可求得答案.
【详解】由，得，
所以.
故选：D.
10．（2025·山东济宁·一模）已知复数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可得到答案.
【详解】，
则.
故选：B.
题型02 复数相等
1．（2025·山西吕梁·一模）已知（为虚数单位），则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用复数乘法法则计算出，根据复数相等得到答案.
【详解】，
故.
故选：C
2．（2025·江西南昌·一模）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数及共轭复数的定义结合复数的加法，应用复数相等得出参数.
【详解】设复数，
满足，
所以，则.
故选：B.
3．（2025·江西赣州·一模）已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，代入，利用模长公式整理得z在复平面内对应点的轨迹方程．
【详解】z在复平面内对应的点为，则，
由，得，
化简得.
故选：A.
4．（2025·北京延庆·一模）已知，为虚数单位，若为实数，则（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算及复数的相关概念得解.
【详解】因为为实数，
所以，解得，
故选：C
5．（2025·陕西咸阳·一模）已知复数，，则（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【分析】应用特殊值判断A、D；由判断B；若，且，得，分类讨论判断C.
【详解】对于A、D：当时，，但，故A错误；
又，故D错误；
对于B：由，可得，故B正确；
对于C：设，且，
由，可得，则，
若，则或；若，则，
当，则，
当，则，
当，，则，
综上，，故D正确.
故选：BC.
题型03 复数的几何意义
1．（2025·河南安阳·一模）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义判断在复平面内，复数所对应的点是半径为2的圆，进而求出其周长.
【详解】设，
由，则，
则在复平面内，复数所对应的点组成的图形为以为圆心，为半径的圆，
故复数所对应的点组成的图形的周长为.
故选：D.
2．（2025·北京平谷·一模）在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解.
【详解】由可得，
故复数z对应的点为，位于第二象限.
故选：B
3．（2025·甘肃兰州·一模）若复数，则（ ）
A．1 B． C．3 D．5
【答案】B
【分析】由复数的乘法整理其为标准式，再利用模长公式，可得答案.
【详解】由，则.
故选：B.
4．（2025·江西萍乡·一模）已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为3
C．若，则
D．若，则
【答案】AB
【分析】根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可判断A；设，则，再根据的范围可判断B；根据可得，再举反例可判断C；两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小可判断D.
【详解】对于A，若，则复平面内以有向线段和为邻边的平行四边形是矩形，
根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可知，选项A正确；
对于B，若，则点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆，
设，
则，
因为，可得，故B正确；
对于C，
，取，显然，但，故C错误；
对于D，两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小，故D错误.
故选：AB.
5．（2025·四川巴中·一模）已知复数z在复平面内满足，则复数z对应的点的集合所形成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合复数的几何意义，即可求解．
【详解】由，可知在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形为以为圆心，1为半径的圆环及内部，
故在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为
故选：B
6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】先根据复数的除法运算计算出，然后根据共轭复数的定义求出，由的实虚部可知对应的点的坐标，即可得解.
【详解】因为，所以，
所以对应的点的坐标是，位于第一象限.
故选：A.
7．（2025·江西上饶·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据虚数单位的运算性质化简分母，再对进行化简，最后根据共轭复数的定义求出.
【详解】，其共轭复数.
故选：A.
8．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论.
【详解】因为，则，
所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.
故选：B.
9．（2025·江西·一模）设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【分析】由复数的运算性质化简得，则，即答案可求.
【详解】由题意得，
所以，则z在复平面内对应的点位于第一象限，
故选：A.
10．（2025·江西·一模）若，则（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复数的除法运算化简复数，再结合复数模的性质求解即可.
【详解】因为，
，
所以结合复数模的性质得，故A正确.
故选：A.
11．（2025·山东烟台·一模）已知复数，其中，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】应用复数模的求法及得或，再由充分、必要性定义即可得答案.
【详解】由，则，可得或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
12．（2025·广西·一模）已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的除法先计算出，得虚部为.
【详解】由，则复数的虚部为1.
故选：B.
13．（2025·山东菏泽·一模）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的几何意义及复数的减法运算即可求解.
【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为，
所以
所以向量对应的复数为.
故选：D.
14．（2025·辽宁·一模）若复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹的离心率为 .
【答案】
【分析】由椭圆的定义和离心率的定义可得.
【详解】由可得复数在复平面内对应点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆，
所以，
所以离心率为.
故答案为：
15．（2025·广东江门·一模）已知i是虚数单位，复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的乘法与除法化简复数成代数形式，利用共轭复数定义即得.
【详解】由，则.
故选：D.
题型04 不等式的综合应用
1．（2025·北京延庆·一模）设x，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】特殊值法分别判断A，B，C，再结合基本不等式计算判D.
【详解】因为，
对于A：取，所以，A选项错误；
对于B：取，所以，B选项错误；
对于C：取，所以，C选项错误；
对于D，，当且仅当取等号，所以，
因为，所以，当且仅当取等号，所以，
所以，D选项正确.
故选：D.
2．（2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BCD
【分析】举出反例即可判断A，由不等式的性质代入计算即可判断BD，由作差法即可判断C.
【详解】对于A，取，满足，但是，故A错误；
对于B，因为，不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以，
不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以，
所以，故B正确；
对于C，因为，，
又因为，所以，而，即，，
所以，故C正确；
对于D，设，即，
则，解得，所以，
又，则，且，
所以，所以，故D正确；
故选：BCD
3．（2025·广东湛江·一模）已知定义在上的函数为奇函数，且当时，，若，不等式恒成立，则的值不可能是（ ）．
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】利用奇函数的性质求出的解析式，再按的不同取值分类讨论在上的单调性即可求解.
【详解】因为定义在上的函数为奇函数，且当时，，
所以当时，，，当时，，
令，即，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
若，则函数在上单调递增，
又，所以，
即恒成立，故满足题意，排除选项A；
若，则，函数在上不单调，图象如图所示，
又，即，
可理解为函数的图象在函数的图象下方，
所以由图象可得，即，
令，
则，，
.
故选：D
4．（2025·广东湛江·一模）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】法一：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆的定义、双曲线的定义与勾股定理，建立方程组，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案；法二：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆与双曲线焦点三角形面积的二级结论，建立方程，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案.
【详解】
法一：因为，所以．
设，（不妨设），，
依题意有，，，
所以，
当且仅当时等号成立，所以，
所以的最小值为．
法二：因为，所以．
对于焦点三角形，根据椭圆的性质可得其面积，
根据双曲线的性质可得，所以，
所以，整理可得．
所以，
当且仅当时等号成立，所以，
所以的最小值为．
故答案为：.
5．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（ ）
A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能
【答案】B
【分析】用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案.
【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克，
则，解得，
，
当且仅当时，取到等号，而，所以.
故选：B
6．（2025·江西萍乡·一模）已知直线的斜率为，则的最大值为 .
【答案】/0.25
【分析】先求出直线的斜率，化简可得，再利用基本不等式即可求得的最大值.
【详解】，
当且仅当时取等号，所以k的最大值为.
故答案为：.
7．（2025·山东烟台·一模）已知正数满足，则的最小值为 ：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】 5
【分析】由已知有，应用基本不等式求最小值，注意取值条件，进而有恒成立，问题化为在上恒成立，应用导数求右侧的最大值，即可得参数范围.
【详解】由题设，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为5，此时不等式化为恒成立，
所以，即
令且，则，
时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故， 则
因此可得在上，恒成立，
令且，
所以，
令，，
在单调递增，且，
则时，，函数在单调递减，
时，，函数在单调递增，
因此可得，即，
则当，，则在单调递增，
当，，则在单调递减，
所以，故只需.
故答案为：5，
8．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案.
【详解】因为正实数,满足，所以，
则：，
当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以．
故选：B．
9．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）下列命题中正确的为（ ）
A．若随机变量服从二项分布，且，则
B．若，且，则的最大值为
C．若随机变量服从正态分布，且，则
D．若命题“”是假命题，则的取值范围为
【答案】BC
【分析】利用二项分布的期望、方差公式和期望的性质判断A，利用基本不等式判断B，根据正太密度曲线的性质判断C，根据一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求参数范围判断D.
【详解】选项A，由期望的性质可知，解得，
因为随机变量服从二项分布，所以，解得，
所以，A说法错误；
选项B：因为，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为，B说法正确；
选项C：因为随机变量服从正态分布，且，
所以，所以，C说法正确；
选项D：若命题“”是假命题，
则，
当时，解得，
当时，恒成立，满足题意；当时，不恒成立，不满足题意；
当则，解得，
综上的取值范围为，D说法错误；
故选：BC
10．（2025·云南昆明·一模）已知函数的图象与有两个交点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由函数解析式可知为偶函数，再结合对勾函数性质以及基本不等式可求出函数单调性，利用偶函数对称性画出函数图象，采用数形结合求得的取值范围可求得结果.
【详解】根据函数解析式可知函数的定义域为，
且满足，故得为偶函数，
当时，可得，
当且仅当，即时，等号成立，
由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在单调递增，
且在时，取得最小值：；
由对称性可得，又；
再由偶函数性质可知其图象如下图所示：
因函数的图象与有两个交点，由图象可知或；
因此的最小值为3.
故答案为：3.
题型05 利用基本不等式求最值
1．（2025·云南昆明·一模）悬链线是一根目睹均匀的绳子或铁链两端固定在水平杆上，受重力的作用自然下垂后形成的曲线，建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．在上单调递增
C．， D．
【答案】ACD
【分析】对A，根据偶函数的定义判断；对B，通过导数可判断；对C，由基本不等式判断；对D，直接计算可判断.
【详解】对A，由题知定义域为，
所以，是偶函数，故选项A正确.
对B，函数的导数，
所以当时，当时，
所以单调递减区间为，单调递增区间为.
又，所以函数在单调递增，
由复合函数的单调性，可知 在上单调递减，故选项B错误.
对C，由基本不等式可知，当且仅当时取等号，故选项C正确.
对D，，
，
则，故选项D正确.
故选：ACD.
2．（2025·安徽·一模）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简得出，再应用基本不等式计算的最小值即可求解.
【详解】已知，所以，
则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.
故选：D.
3．（2025·江西·一模）已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由幂函数的定义与单调性可得出关于实数的等式或不等式，解出，可得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为幂函数在上单调递增，
则，解得，
正数、满足，则
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
4．（2025·山西吕梁·一模）正数满足，则的最小值是 .
【答案】16
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由正数满足，得，
则，
当且仅当，即取等号，
所以的最小值是16.
故答案为：16
5．（2025·江西·一模）已知函数，若存在，，使得在区间上的值域为，则（ ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C． D．
【答案】AC
【分析】由题意可得，是方程的两个根，可得方程有2个不相等的正根，，利用一元二次方程根的分布得所满足的条件，求解可判断AB，利用基本不等式计算可判断CD.
【详解】由题意知在上单调递增，又在上的值域为，
所以，所以，是方程的两个根，
设，则，是方程的两个根，
因为，所以，所以方程有2个不相等的正根，，
所以，解得，故A正确，B错误.
由基本不等式，可得，
所以，故C正确；
，
因为，所以，故D错误.
故选：AC.
6．（2025·贵州六盘水·一模）函数，若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先应用奇函数定义及单调性判断，再转化恒成立问题为最值问题，最后应用基本不等式求最小值，计算一元二次不等式即可.
【详解】因为函数，为减函数；
又因为所以为奇函数，
若，不等式恒成立，
则不等式，因为为奇函数，所以，
因为为减函数，所以恒成立，
所以恒成立，所以，
，
当且仅当时取最小值3，所以，
所以，所以实数m的取值范围是.
故选：B.
7．（2025·广东汕头·一模）已知，，，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．不存在
【答案】C
【分析】应用基本不等式计算求解即可.
【详解】由基本不等式得：，当且仅当时取等号，C正确．
故选：C.
8．（2025·江苏南通·一模）在公差不为的等差数列中，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】，，，显然，
，
当且仅当，即，时取等号.
故选：D．
9．（2025·重庆·一模）已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】由点到线的距离公式可得右焦点到渐近线的距离为，根据的面积等于，可得，再利用不等式即可求解.
【详解】

设，是渐近线上的两点，右焦点到渐近线的距离为，
所以的面积为，
又，所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为2.
故选：.
10．（2025·陕西西安·一模）设函数，其中，若有两个零点且取最小整数P时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，令，求出函数，利用导数探讨零点求出的最小整数值，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】令，函数定义域为，
求导得，
当时，，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意，
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
当从大于0的方向趋近于0时，值趋近于正无穷大；当趋近于正无穷大时，值趋近于正无穷大，
由有两个零点，得，即，
函数在上都递增，则函数在上递增，
，因此存在，使得，
则不等式成立时，的最小整数值为3，即，
由，得，，
当且仅当，即时取等号，B正确.
故选：B