2025-2026学年北京市东城区第一七一中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

北京市第一七一中学 2025-2026学年高二上学期第一次（10月）
月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线 3x y 1 0的倾斜角是
2 5
A． B． C． D．
6 3 3 6
2．已知圆 C的圆心坐标为（2，3），半径为 4，则圆 C的标准方程为（ ）
A．(x-2)2+(y-3)2 =4 B．(x+2)2+(y+3)2 =16
C．(x+2)2+(y+3)2=4 D．(x-2)2+(y-3)2 =16
3．两条平行线 l1 :3x - 4y - 1=0与 l2 :6x - 8y - 7 =0间的距离为（ ）
1 3 6
A． B． C． D．1
2 5 5
4．已知直线 l1 : x ay 1 0， l2 : (3a 2)x ay 1 0，若 l1//l2，则a （ ）
1 1
A．1 或 2 B．0 C． D．0 或
3 3
2 2 2
5．已知圆C1 : (x 1)
2 (y 1)2 1与圆C2 : x y 4x 6y a 0外切，则a （ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 5
6．已知向量a,b 是平面 内两个不相等的非零向量，非零向量 c 在直线 l 上，则“ c a 0，
且 c b 0 ”是“ l ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知点 A 1,0 ，且点 是圆 x2 y2B 1上的动点，AB 3 ，则直线 AB 的方程为（ ）
A． y 3x 3或 y 3x 3
3 3 3 3
B． y x 或 y x
3 3 3 3
C． y x 1或 y= x 1
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D． y 2x 2 或 y 2x 2
8．直线 ax y 1 0 与圆 C : x2 y2 2y 3 0 相交于 A，B 两点，当 VABC 面积最
大时，a （ ）
A．0 B． 1 C． 2 D． 3
9．空间 A, B,C, D四点共面，但任意三点不共线，若 P 为该平面外一点且
5 1
PA PB xPC PD，则实数 x的值为（ ）
3 3
4 1 1 4
A． B． C． D．
3 3 3 3
10．如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD AB BB1 1C1D1中，P为棱 1 的中点，Q为底面 A1B1C1D1
上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点 Q，使得 BQ 平面 A1PD
B．在棱 A1B1 上存在点 Q，使得D1Q / / 平面 A1PD
π
C．在线段 B1D1上存在点Q，使得直线CQ与 AA1 所成的角为
6
D．存在点Q，使得三棱锥Q A1PD的体积为 2
二、填空题
11．已知直线 l (2,4)1过点 ，直线 l2 : y 2x .若 l1 l l2，则直线 1的一般式方程为 .
12．已知空间三点 A 1, 1, 1 ，B 1, 2,2 ，C 2, 4,1 ，则 AB 与 AC 的夹角 的大小是 ．
13．已知 A( 2,0), B(4,a) 两点到直线 l :3x 4y 1 0的距离相等，则a ．
2 2 1 2
14．已知圆 x 1 y 2 4关于直线ax by 1 0 a 0,b 0 对称，则 的最小值
a b
为 .
15．已知圆 C与圆 D： x2 y2 4x 2y 3 0关于直线4x 2y 5 0 对称，则圆 C的方程
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为 ．
16．阿波罗尼斯（公元前 262 年~公元前 190 年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被
誉为古希腊三大数学家.阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆研究了例
| PA |
如：已知平面上两点 A( 1,0)，B(1,0) ，则所有满足 2的点 P 的轨迹方程为 .
| PB |
已知平面内的两个相异定点T ，Q，动点M 满足 MT 2 MQ ，记M 的轨迹为C ，若与C 无
公共点的直线 l 上存在点 R ，使得 | MR |的最小值为 6，且最大值为 10，则圆C 的周长
为 .
17．设直线 l : y x a ，圆C : (x 2)2 y2 1，若在圆 C上存在两点 P，Q，在直线 l上存
在一点M，使得 PMQ 90 ，则 a的取值范围是 ．
三、解答题
18．如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， A1AD A1AB BAD 60 ，AB AD 2，
AA1 1，点 P 为线段BC 中点．
(1)求 D1P ；
(2)求直线 AB1与D1P所成角的余弦值．
19．已知圆C 的圆心为C(3,0)，且过点 A(1, 5)，直线 l 的方程为 y kx 2．
(1)求圆C 的标准方程；
(2)若直线 l 与圆C 相切，求 k 的值；
(3)若O 为坐标原点，点 P 满足 PO 2 PC ，且点 P 在直线 l 上，求 k 的取值范围．
6
20．在 ABC 中， A为锐角，且 sin2A cosA.
5
(1)求 cos A的值;
(2)再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择两个作为已知，求c .
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5
条件①: cosB ;
3
条件①: a 9 ;
条件①:b 10 .
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
21．如图，在三棱锥D ABC 中，侧面DAC 底面 ABC ， AD DC ， AB BC .
(1)求证： AC BD；
(2)已知 AB 5 ， AC 2， AD 2 ，F 是线段BD上一点，当 AF BD 时，求二面角
F AC B 的余弦值.
22．已知数列 A： a1， a2 ，…，an 满足：ai 0,1 （ i 1，2，…，n，n 2 ），从 A中选
取第 i1项、第 i2 项、…、第 im 项（ i1 i2 im ，m≥ 2 ）称数列a ， ai i ，…，ai 为 A的1 2 m
长度为m的子列.记T A 为 A所有子列的个数.例如 A：0，0，1，其T A 3 .
(1)设数列 A：1，1，0，0，写出 A的长度为 3 的全部子列，并求T A ；
(2)设数列 A： a ， a2，…，a1 n ， A ：an ， an 1，…， a1， A ：1 a ，1 a 1 a1 2 ，…， n ，
判断T A ，T A ，T A 的大小，并说明理由；
(3)对于给定的正整数n，k（1 k n 1），若数列 A：a a1， 2 ，…，an 满足：a1 a2 an k，
求T A 的最小值.
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A B C B B B C D
11． x 2y 10 0

12． / 60
3
9
13．2或
2
14．9
15． x2 y2 2
2 2 10
16． x y x 1 0 4π
3
17．[ 4,0] .
18．
（1）因为在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，点 P 在线段BC 上，且满足BP PC ．
设 AB a ， AD b， AA1 c，这三个向量不共面， a,b,c 构成空间的一个基底．
1 1
所以D1P AP AD1 AB BP AD AA1 a b b c a b c．
2 2
2
1 2 1 2 1 2 2
D1P a b c ， D1P a b c a b c a b 2a c b c
2 2 4
1 1 1 1
4 4 1 2 2 2 2 1 2 1 4 1 1 2 2 1 3，
4 2 2 2
D1P 3．
1
（2）由（1）知 D P a b c ， D1P 31 ，
2
2 1
AB1 a c ， AB1 a c 4 1 2 2 1 7 ，
2
1 a c a b c
AB
cos AB , D 1
D1P 2
1 1P
AB1 D1P 7 3
2 1 1 2 3
a a b a c a c b c c
2 2 2
21 ，
7 3 21 14
直线 AB1与D1P
21
所成角的余弦值为 ．
14
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19．
（1）因为圆C 的圆心为C(3,0)，且过点 A(1, 5)，
2 2
则圆的半径 r AC 1 3 5 3，
2
所以圆C 的标准方程为 x 3 y2 9；
3k 2 5
（2）因为直线 l 与圆C 相切，所以圆心C(3,0)到直线的距离d 32 ，解得 k .
k 2 1 12
（3）设P x, y 2，因为 PO 2 PC ，即 x2 y2 2 x 3 y2 ，
2
即 x 4 y2 4，即点 P 在以D 4,0 为圆心，2 为半径的圆上，
2
又点 P 在直线 l 上，即直线 l 与圆D : x 4 y2 4有公共点，
4k 2
所以d1 2
4 4
2 ，解得0 k ，即 k 的取值范围为 0, .
k 2 1 3 3
20．
6 6
（1）因为sin2A cosA，所以2sinAcosA cosA.
5 5
3
因为①A为锐角，cosA >0，所以sinA .
5
又因为sin A cos A 1，
2
3 4
所以cosA 1 .
5 5
（2）选条件①①:
2
5 5 2
因为cosB ，又 03 3 3
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2
9
a b asinB
由 ，得b
3 10.
sinA sinB sinA 3
5
a2 c2 b2 5 81 c2 100
由 cosB ，得 ，
2ac 3 2 9 c
即c2 6 5c 19 0，又 c>0，所以c 8 3 5.
选条件①①:
2
5 5 2
因为cosB ，又 03

3

3
3
10
a b bsinA
， a 5由 得 9.
sinA sinB sinB 2
3
下同选条件①①.
选条件①①:
b2 c2 a2 4 100 c2 81
由 cosA ，得 ，
2bc 5 2 10 c
即 c 16c 19 0，解得c 8 3 5.
经检验，符合题意.
21．
（1）取 AC 中点M ，连接DM 、 BM ，
由 AD DC ， AB BC ，故 AC DM 、 AC BM ，
又DM 、BM 平面DBM ，DM BM M ，
则 AC 平面DBM ，又BD 平面DBM ，故 AC BD；
（2）由侧面DAC 底面 ABC ，且 AC BM ， BM 平面DBM ，
AC 平面DAC 平面 ABC ，故BM 平面DAC ，
又DM 平面DAC ，故BM DM ，
即有 BM 、DM 、 AC 两两垂直，
故可以M 为原点，建立如图所示空间直角坐标系M ABD，
由 AB 5 ， AC 2， AD 2 ， AD DC ， AB BC ，
1 2
则DM AC 1，BM 5 12 2，
2
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即M 0,0,0 、D 0,0,1 、B 0,2,0 、 A 1,0,0 、C 1,0,0 ，
DB 0,2, 1 、 AD 1,0,1 、 AC 2,0,0 ，
令DF DB 0,2 , ，则 AF AD DF 1,2 ,1 ，
1
由 AF BD，故2 2 1 1 0，解得 ，
5
2 4
故 AF 1, , ，
5 5
令平面FAC 的法向量为m x, y, z ，
2x 0

则有 2 4 ，令 y 2，则有m 0,2, 1 ，
x y z 0
5 5
由 z 轴 平面 ABC ，故平面 ABC 的法向量可为n 0,0,1 ，
m n 1 5
则cosm,n ，
m n 4 1 1 5
5
故二面角F AC B 的余弦值为 .
5
22．
（1）由T (A)的定义以及 A：1，1，0，0，
可得： A的长度为 3 的子列为：1，0，0；1，1，0，有 2 个，
又 A的长度为2的子列有3个， A的长度为4 的子列有1个，
所以T(A) 6；
（2）T (A) T (A ) T (A ) .
理由如下：
若m1，m2 ，L ，mk 1，mk 是 A：a1 ，a2 ，L ，an 的一个子列，
则mk ，mk 1，L ，m，m 为 A 2 1 ：an ，an 1，L ，a1的一个子列.
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若m1，m2 ，L ，mk 1，mk 与 n1，n2 ，L ，nk 1，nk 是 A：a1 ，a2 ，L ，an 的两个不同子列，
则mk ，mk 1，L ，m2，m1 与 nk ，nk 1，L ，n2，n1也是 A ：an ，an 1，L ，a1的两个不同子列.
所以T(A) T(A )；
同理T(A ) T(A)，
所以T (A) T (A ) .
同理T (A) T (A ) .
所以有T (A) T (A ) T (A ) .
（3）由已知可得，数列 A：a1 ，a2 ，L ，an 中恰有 k 个 1， n k 个 0.
A ： 0 0 L 0 1 1 L 1
令 1 44 2 4 43 1 4 2 4 3 ，
n k个 k个
下证：T (A) T (A ) .
A ： 0 0 L 0 1 1 L 1
由于 1 44 2 4 43 1 4 2 4 3 ，
n k个 k个
所以 A 的子列中含有 i 个 0，j 个 1 (i 0，1，，n k，j 0，1，，k,i j 2)的子列有且仅有 1 个，
0 0 L 0 1 1 L 1
设为： 1 44 2 4 43 1 4 2 4 3 .
i个 j个
因为数列 A：a1 ，a2 ，L ，an 的含有 i 个 0， j 个 1 的子列至少有一个，
所以T (A) T (A ) .
A ： 0 0 L 0 1 1 L 1
数列 1 44 2 4 43 1 4 2 4 3 中，
n k个 k个
不含有 0 的子列有 k 1个，
含有 1 个 0 的子列有 k个，
含有 2 个 0 的子列有 k 1个，L L ，
含有 n k 个 0 的子列有 k 1个，
所以T (A ) (n k)(k 1) k 2 nk n k 2 2 .
所以T (A)的最小值为nk n k 2 2 .
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