4.4 探索三角形相似的条件(1)教学设计 初中数学北师大版（2024）九年级上册

《探索三角形相似的条件》第1课时教学设计
北师大版九年级上册
教学目标
几何直观与空间观念
能够通过观察、操作直观感知两个三角形角相等时的相似关系
能够在复杂图形中识别出满足角角相等条件的相似三角形
推理能力
通过实验探究归纳出"两角分别相等的两个三角形相似"的结论
能够运用该定理进行逻辑推理，证明两个三角形相似
能够利用相似性质进行线段长度的计算
应用意识
能够将相似三角形知识应用于实际测量问题
建立数学模型解决生活中的宽度、高度等测量问题
数学思维与创新能力
经历从特殊到一般的探究过程，发展归纳思维
能够类比全等三角形的判定方法探索相似三角形的判定条件
教学重点和难点
教学重点：
"两角分别相等的两个三角形相似"定理的理解与应用
利用相似三角形性质进行比例计算
教学难点：
在复杂图形中准确识别相似三角形
建立相似三角形模型解决实际问题
教学方法
探究式教学法：通过画图、测量、比较引导学生发现定理
问题驱动法：以实际问题导入，激发学习兴趣
合作学习法：小组讨论、互相验证，培养合作精神
变式训练法：通过多层次练习巩固知识
教学过程
（一）情境导入，激发兴趣
问题情境：
"同学们，学校操场边有一棵大树，我们想要测量它的高度，但是不能直接爬上去测量。大家有什么好方法吗？"
学生活动：
小组讨论可能的测量方法
分享交流想法
教师引导：
介绍古代的泰勒斯测金字塔高度的故事
引出相似三角形的概念："其实，利用我们今天要学习的相似三角形知识，这个问题就能迎刃而解"
（二）实验探究，发现定理
探究活动1：只有一个角相等的三角形相似吗？
学生活动：在方格纸上画有一个45°角的两个三角形
观察发现：只有一个角相等，三角形不一定相似
探究活动2：有两个角分别相等的三角形相似吗？
分组实验：
第一组：画∠A=∠A'=30°，∠B=∠B'=60°的△ABC和△A'B'C'
第二组：画∠A=∠A'=40°，∠B=∠B'=70°的△ABC和△A'B'C'
第三组：画∠A=∠A'=50°，∠B=∠B'=80°的△ABC和△A'B'C'
测量计算：
计算∠C和∠C'，验证是否相等
测量三边长度，计算对应边的比值
归纳发现：
各小组汇报实验结果
共同归纳："两角分别相等的两个三角形相似"
几何语言表达：
∵ ∠A = ∠D，∠B = ∠E
∴ △ABC ∽ △DEF
（三）定理应用，典例解析
例1： 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长。
解析引导：
由DE∥BC可以得到什么角的关系？
根据什么定理判定△ADE∽△ABC？
如何建立比例式求解？
板书规范：
解：∵ DE ∥ BC
∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C
∴ △ADE ∽ △ABC
∴
即 5/7 = 10/BC
∴ BC = 14
变式训练：
若已知AB=10，DB=6，DE=8，求BC？
（四）实际应用，解决问题
一座桥梁的支撑结构如图所示，工程师需要计算斜拉索BD的长度。已知主梁AB = AC = 20米，形成一个等腰三角形的支撑结构，顶角∠A = 36°。为了增强稳定性，需要在点B处安装一条斜拉索BD到底梁AC上，其中BD是∠ABC的平分线。现在找出这个桥梁支撑结构中的相似结构。
解题步骤：找出桥梁支撑结构中的相似三角形
已知条件：
在△ABC中，AB = AC = 20米，∠A = 36°（即△ABC为等腰三角形）。
BD是∠ABC的平分线，交AC于点D。
需要找出该结构中的相似三角形。
步骤1: 计算△ABC的各角度
由于AB = AC，△ABC是等腰三角形，因此∠ABC = ∠ACB。
根据三角形内角和定理（和为180°）：
∠A+∠ABC+∠ACB=180
代入∠A = 36°：
36 +2∠ABC=180
2∠ABC=144
∠ABC=72 ,∠ACB=72
因此，△ABC的内角分别为：∠A = 36°，∠ABC = 72°，∠ACB = 72°。
步骤2: 确定BD平分∠ABC后的角度
BD是∠ABC的平分线，因此：
∠ABD=∠DBC=1/2∠ABC=12×72 =36
步骤3: 分析△BDC的各角度
在△BDC中：
∠DBC = 36°（从步骤2）。
∠BCD = ∠ACB = 72°（因为点D在AC上，∠BCD与∠ACB是同一个角）。
根据三角形内角和定理：
∠BDC=180 ∠DBC ∠BCD=180 36 72 =72
因此，△BDC的内角分别为：∠DBC = 36°，∠BCD = 72°，∠BDC = 72°。
步骤4: 识别相似三角形
比较△ABC和△BDC：
△ABC的内角：∠A = 36°，∠ABC = 72°，∠ACB = 72°。
△BDC的内角：∠DBC = 36°，∠BCD = 72°，∠BDC = 72°。
对应角相等：∠A = ∠DBC = 36°，∠ACB = ∠BCD = 72°，∠ABC = ∠BDC = 72°。
根据相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似），可以得出结论：
△ABC △BDC
相似理由：∠A = ∠DBC = 36° 且 ∠ACB = ∠BCD = 72°。
步骤5: 验证其他可能相似结构
考虑△ABD：
∠A = 36°，∠ABD = 36°，因此∠ADB = 180° - 36° - 36° = 108°。
△ABD的内角：36°、36°、108°。
与△ABC（36°、72°、72°）或△BDC（36°、72°、72°）比较，对应角不相等，因此没有其他相似三角形。
最终答案：
在桥梁支撑结构中，相似三角形为：
△ABC ∽ △BDC
相似理由：两角分别相等（∠A = ∠DBC = 36° 且 ∠ACB = ∠BCD = 72°）。这一相似结构可用于进一步计算几何量，如线段长度或角度，在工程设计中具有实际应用价值。
数学建模思想渗透：
实际问题 → 几何图形 → 相似模型 → 建立方程 → 解决问题
（五）课堂巩固练习
基础题：
下列结论不正确的是（ ）
A. 有一个锐角相等的两个直角三角形是相似；
B. 有一个锐角相等的两个等腰三角形相似；
C. 有一个角等于 120 的两个等腰三角形相似；
D. 有一个角为60 的两个等腰三角形相似。
提升题：
【例2】如图，在四边形ABCD中，AB//CD，对角线AC与BD相交于点O。
(1) 找出图中的相似三角形，并说明理由。
(2) 若DO=2，BO=3，求 S△DOC:S△AOB
拓展题：
题目： 如图，在△ABC中，AB = AC，点D、E分别在边AB、AC上，且DE ∥ BC。连接BE、CD，相交于点F。求证：△FBC ∽ △FED。
（六）课堂总结
知识梳理：
本节课的核心定理：两角分别相等的两个三角形相似
应用：证明三角形相似、计算线段长度、解决实际问题
方法总结：
探究数学定理的方法：实验→观察→猜想→验证→结论
解决几何问题的思路：已知条件→几何定理→建立关系→求解
素养提升：
通过本节课的学习，我们在直观想象、逻辑推理、数学建模等方面都得到了锻炼
课后作业
必做题：
习题4.5知识技能第1、2、5题
选做题：
设计一个利用相似三角形测量树木高度的方案，写出测量步骤和计算方法
研究：除了两角相等，还有哪些条件可以判定两个三角形相似？
实践题：
小组合作：利用相似三角形原理，测量校园内某个建筑物的高度或宽度，撰写测量报告
板书设计
探索三角形相似的条件（1）
一、定理：两角分别相等的两个三角形相似
几何语言：
∵ ∠A = ∠A', ∠B = ∠B'
∴ △ABC ∽ △A'B'C'
二、应用：
1. 证明三角形相似
2. 计算线段长度
三、典型例题：
例1：DE∥BC → △ADE∽△ABC
比例关系：AD/AB = DE/BC
例2：实际测量问题
△AOC∽△BDC → AO/BD = AC/BC