4.4 探索三角形相似的条件 (1) 课件（25张PPT）初中数学北师大版（2024）九年级上册

(共25张PPT)
探索三角形相似的条件
教师:
第一课时
北师大版九年级上册
情境导入 激发兴趣
01
如何测量大树的高度？
面对无法直接攀爬的物体，我们能否用数学知识将“不可达”的高度转化为“可算”的数据？
学校操场边有一棵大树，我们想要测量它的高度，但是不能直接爬上去测量。大家有什么好方法吗？
实验探究 发现定理
02
实验探究：一个角相等，够吗？
在方格纸上绘制一个含有45°角的三角形，观察并比较。
三角形 1
≠
三角形 2
结论：只有一个角相等，不足以保证三角形相似。
实验探究：如果两个角相等呢？
第一组
∠A=∠A'=30°
∠B=∠B'=60°
第二组
∠A=∠A'=40°
∠B=∠B'=70°
第三组
∠A=∠A'=50°
∠B=∠B'=80°
共同发现
第三角必然相等。
三边对应成比例。
定理：两角分别相等的两个三角形相似。
定理应用 典例解析
03
典例解析：平行线的妙用
例1：如图，DE ∥ BC，AB=7，AD=5，DE=10，求 BC 的长。
1. 找角等： ∵ DE ∥ BC, ∴ ∠ADE = ∠B, ∠AED = ∠C.
2. 定相似： ∴ △ADE ∽ △ABC.
3. 列比例：AD/AB=DE/BC 5/7=10/BC.
4. 求未知：BC=14.
变式训练：灵活应用
若已知 AB=10，DB=6，DE=8，求 BC？
关键步骤
首先，求出 AD = AB - DB = 10 - 6 = 4.
建立比例
AD/AB=DE/BC 4/10=8/BC.
解得：BC=20
实际应用 解决问题
04
桥梁支撑结构中的相似三角形
已知条件
主梁 AB = AC = 20米
顶角 ∠A = 36°
BD 是 ∠ABC 的平分线
实际应用问题：
一座桥梁的支撑结构如图所示，工程师需要计算斜拉索BD的长度。已知主梁AB = AC = 20米，形成一个等腰三角形的支撑结构，顶角∠A = 36°。为了增强稳定性，需要在点B处安装一条斜拉索BD到底梁AC上，其中BD是∠ABC的平分线。现在需要找出这个桥梁支撑结构中的相似结构。
步骤1: 计算△ABC的各角度
∵ AB = AC
∴ ∠ABC = ∠ACB
∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°
36° + 2∠ABC = 180°
∠ABC = ∠ACB = 72°
步骤2 & 3: 确定平分线并计算△BDC的角度
BD平分∠ABC
∠ABD = ∠DBC = 36°
∠BDC = 180° - 36° - 72° = 72°
△BDC的内角：
∠DBC = 36°
∠BCD = 72°
∠BDC = 72°
步骤4 & 5: 识别并验证相似三角形
△ABC: 36°, 72°, 72°
△BDC: 36°, 72°, 72°
∴ △ABC ∽ △BDC
验证△ABD: 36°, 36°, 108°
对应角不相等
无其他相似三角形
核心结论
△ABC ∽ △BDC
依据： 两角对应相等
桥梁支撑结构中的相似三角形
这一相似结构可用于进一步计算几何量，如线段长度或角度，在工程设计中具有实际应用价值。
数学建模思想
实际问题
几何图形
相似模型
建立方程
解决问题
课堂巩固练习
05
巩固练习：概念辨析
下列结论不正确的是（ ）
A. 有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
B. 有一个锐角相等的两个等腰三角形相似。
C. 有一个角等于 120° 的两个等腰三角形相似。
D. 有一个角为60° 的两个等腰三角形相似。
B
提升练习：面积之比
如图，在梯形ABCD中，AB // CD，对角线交于点O。若 DO=2, BO=3，求 S△DOC:S△AOB （面积比等于相似比的平方）。
解题思路
1. 由 AB // CD 易证 △DOC ∽ △BOA。
2. 相似比为 DO/BO=2/3。
3. 面积比等于相似比的平方：S△DOC:S△AOB =4/9。
拓展练习：图形中的相似
如图，在△ABC中，AB = AC，点D、E分别在边AB、AC上，且DE ∥ BC。
连接BE、CD，相交于点F。求证：△FBC ∽ △FED。
证明思路：从已知到结论
已知条件
△ABC 中 AB=AC，DE∥BC，BE 与 CD 交于 F。
关键推导
由 DE∥BC 得 ∠ADE = ∠ABC ， ∠AED = ∠ACB ；又因 AB=AC，故 ∠ABC = ∠ACB ，推出 ∠ADE = ∠AED 。
核心判定
在 △FBC 与 △FED 中，对顶角 ∠BFC = ∠EFD，内错角 ∠FBC = ∠FED。
最终结论
根据两角分别相等的相似三角形判定定理，得证 △FBC △FED。
课堂总结
06
课堂总结：知识与方法
核心知识
掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理。
探究方法
体验“实验→观察→猜想→验证→结论”的科学探究过程。
建模思想
学会将实际问题抽象为几何模型，利用相似解决测量问题。
课后作业：分层提升
必做题
习题4.5知识技能第1、2、5题 (巩固定理与计算)。
选做题
1. 设计测量树木高度的方案并撰写报告。
2. 研究：探索三角形相似的其他判定条件。
实践题 (小组合作)
测量校园内某建筑物的高度或宽度，并撰写测量报告。
感谢观看
教师：
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