4.3一次函数的图象课堂讲义2025-2026学年北师大版八年级数学上册

一次函数的图象课堂讲义
考点卡片
1．一次函数的定义
( 1）一次函数的定义：
一般地，形如y ＝kx+b( k≠0 ，k、b 是常数）的函数，叫做一次函数．
( 2）注意：
①又一次函数的定义可知：函数为一次函数 其解析式为y ＝kx+b( k≠0 ，k、b 是常数）的形式．
②一次函数解析式的结构特征：k≠0； 自变量的次数为 1 ；常数项 b 可以为任意实数．
③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．
④若k ＝0 ，则y ＝b( b 为常数），此时它不是一次函数．
2．一次函数的图象
( 1）一次函数的图象的画法：经过两点( 0 ，b）、( - ，0）或( 1 ，k+b）作直线y ＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线( 正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如 x ＝a，y ＝b 分别是与y 轴，x 轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
( 2）一次函数图象之间的位置关系：直线y ＝kx+b ，可以看做由直线y ＝kx 平移|b|个单位而得到当 b＞0 时，向上平移；b＜0 时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
3．正比例函数的图象
正比例函数的图像是经过坐标原点( 0 ，0）和定点( 1 ，k）两点的一条直线，它的斜率是k( k 表示正比例函数与 x 轴的夹角大小），横、纵截距都为 0 ，正比例函数的图像是一条过原点的直线．
4 ．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y 随 x 的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y 随 x 的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y ＝kx+b 与y 轴交于( 0 ，b），当 b＞0 时，( 0 ，b）在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半轴；当 b<0 时，( 0 ，b）在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．
课堂巩固练习
一．选择题( 共 5 小题）
1．( 2025 春 呼和浩特期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝x - k 和y ＝kx 的图象可能是( )
(
B
．
)A．
C ． D．
2．( 2025 春 青岛校级月考）一次函数y ＝kx+b( k≠0）的图象如图所示，当y＜2 时，x 的取值范围是 ( )
A ．x＞0 B ．x＜3 C ．x＜0 D ．x＞3
3 ．( 2025 春 玉环市校级月考）已知直线y ＝kx - 4( k 是常数，且 k≠0）经过点 A( - 1，y1）和点 B( - 3， y2），且y1＜y2 ，则 k 的值可以是 ( )
A ．3 B ．2 C ．1 D ． - 1
4．( 2025 春 广阳区月考）如图，水平轴为 x 轴，竖直轴为y 轴，若点( k，b）在第二象限，则函数y ＝kx+b的图象可能是 ( )
A ．以 M 为原点的直线 n B ．以 N 为原点的直线 n
C ．以 M 为原点的直线 m D ．以 N 为原点的直线 m
5 ．( 2025 黄埔区二模）关于一次函数y ＝x+1 ，下列说法正确的是 ( )
A ．图象经过第一、二、三象限
B ．图象与 x 轴交于点( 0 ，1）
C ．函数值y 随自变量 x 的增大而减小
D ．当 x＞ - 1 时，y＜0
二．填空题( 共 5 小题）
6 ．( 2025 周口校级三模）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象不经过第一象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式 ．
7 ．( 2025 春 西城区校级期末）已知一次函数y ＝4x+k - 2 ．若当 - 1≤x≤2 时，该函数有最小值 - 2 ，则 k 的值为 ．
8 ．( 2025 春 西城区校级期末）一次函数y ＝( k - 1）x+2k - 7 过第四象限，且y 随 x 的增大而增大，请写出一个符合条件的整数k 的值： ．
9 ．( 2025 春 中山区期中）点 A( 1，y1），B( 2，y2）在直线y ＝ - 6x+5 的上，则y1 y2( 用“< ” , “ = ”或“＞”填空）．
10．( 2025 春 路南区月考）已知一次函数y x + 2，当 1≤x≤4 时，y 的最大值是 ， y 的最小值是 ．
三．解答题( 共 5 小题）
11 ．( 2025 春 安远县校级月考） 已知一次函数y ＝ - 2x+4 解答下列问题：
( 1）在所给直角坐标系中画出此函数的图象；
( 2）观察图象，当 0≤y≤4 时，写出 x 的取值范围．
12 ．( 2025 春 惠阳区校级月考） 已知一次函数yx+3．
( 1）填表：
x … - 2 0 2 4 …
y … …
( 2）画出该函数的图象．
13 ．( 2025 春 象州县期末）如图，A( m ，0），B( n ，0），且 m ，n 满足( m+2）2+|n - 2| ＝0 ，直线 AC 恰
好是一次函数y 的图象，CB⊥x 轴于 B．
( 1）求点 C 的坐标，并求△ABC 的周长；
( 2）在y 轴上是否存在点 P ，使得 S△ABC ＝S△ACP？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
14 ．( 2025 春 宜州区期末）综合与实践
同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数y ＝2|x+1| - 3 的图象．
( 1）列表：
x … - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 …
y … 3 m - 1 - 3 - 1 n 3 …
表格中 m ＝ ，n = ;
( 2）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
( 3）观察( 2）中所画函数的图象，求出当 x 取何值时该函数的有最小值．最小值是多少？
( 4）写出关于 x 的方程 2|x+1| - 3 ＝x+1 的解，并利用( 2）中的图象简单说明此方程的解是如何得到的．
15 ．( 2025 春 阳信县期中） 已知一次函数y ＝( 1 - 2m）x+m - 1 ，求满足下列条件的 m 的值： ( 1）函数值y 随 x 的增大而增大；
( 2）函数的图象过第二、三、四象限．
课堂巩固练习
参考答案与试题解析
一．选择题( 共 5 小题）
题号 1 2 3 4 5
答案 C A D B A
一．选择题( 共 5 小题）
1．( 2025 春 呼和浩特期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝x - k 和y ＝kx 的图象可能是( )
(
B
．
)A．
(
C
．
)D．
【答案】C
【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定k 的符号，根据k 的符号来判定一次函数图象所经过的象限．
【解答】解：当 k＞0 ，正比例函数图象经过第一、三象限，则一次函数y ＝x - k 图象经过第一、二、三象限，故 A 选项错误，D 选项错误；
当 k＜0 ，正比例函数图象经过第二、四象限，则一次函数y ＝x - k 图象经过第一、三、四象限，B 选项错误、C 选项正确；
故选：C．
2．( 2025 春 青岛校级月考）一次函数y ＝kx+b( k≠0）的图象如图所示，当y＜2 时，x 的取值范围是 ( )
A ．x＞0 B ．x＜3 C ．x＜0 D ．x＞3
【答案】A
【分析】依据题意，直接根据函数图象即可得出结论．
【解答】解： 由题意，y＜2 表示函数图象在函数值小于 2 的部分，
∴结合函数图象可知，当 x＞0 时，y＜2．
故选：A．
3 ．( 2025 春 玉环市校级月考）已知直线y ＝kx - 4( k 是常数，且 k≠0）经过点 A( - 1，y1）和点 B( - 3， y2），且y1＜y2 ，则 k 的值可以是 ( )
A ．3 B ．2 C ．1 D ． - 1
【答案】D
【分析】由题意可知，y 随 x 的增大而减小，结合一次函数的性质，可得出k＜0 ，再对照四个选项，即可得出结论．
【解答】解： ∵直线y ＝kx - 4( k 是常数，且 k≠0）经过点 A( - 1，y1）和点 B( - 3，y2），且y1＜y2即y 随 x 的增大而减小，
∴k＜0，
∴k 的值可以为 - 1．
故选：D．
4．( 2025 春 广阳区月考）如图，水平轴为 x 轴，竖直轴为y 轴，若点( k，b）在第二象限，则函数y ＝kx+b
的图象可能是 ( )
A ．以 M 为原点的直线 n B ．以 N 为原点的直线 n
C ．以 M 为原点的直线 m D ．以 N 为原点的直线 m
【答案】B
【分析】根据点( k ，b）在第二象限，可得k＜0 ，b＞0 ，再根据一次函数图象与系数的关系得函数 y =kx+b 的图象过第一、二、四象限，即可得出答案．
【解答】解： ∵点( k，b）在第二象限，
∴k＜0 ，b＞0，
∴函数y ＝kx+b 的图象过第一、二、四象限，
∴函数y ＝kx+b 的图象可能是以 N 为原点的直线 n．故选：B．
5 ．( 2025 黄埔区二模）关于一次函数y ＝x+1 ，下列说法正确的是 ( )
A ．图象经过第一、二、三象限
B ．图象与 x 轴交于点( 0 ，1）
C ．函数值y 随自变量 x 的增大而减小
D ．当 x＞ - 1 时，y＜0
【答案】A
【分析】根据解析式y ＝x+1 逐一判断选项，即可解答．
【解答】解： 由题意可得 k ＝1＞0 ，b ＝1＞0，
∴图象经过第一、二、三象限，故 A 正确；
函数值y 随自变量 x 的增大而增大，故 C 错误；当y ＝0 ，可得 0 ＝x+1 ，解得 x ＝ - 1，
∴图象与 x 轴交于点( - 1 ，0），故 B 错误；
∵函数值y 随自变量 x 的增大而增大，
∴当x＞ - 1 时，y＞0 ，故 D 错误，
故选：A．
二．填空题( 共 5 小题）
6 ．( 2025 周口校级三模）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象不经过第一象限，请写出一个符合该条
件的一次函数的表达式y ＝ - 2x - 1( 答案不唯一）
【答案】y ＝ - 2x - 1( 答案不唯一）．
【分析】根据题意写出符合该条件的一次函数的表达式即可．
【解答】解： ∵一次函数的图象不经过第一象限，
∴k＜0 ，b＜0，
∴符合条件的一次函数的表达式可以是y ＝ - 2x - 1，故答案为：y ＝ - 2x - 1( 答案不唯一）．
7 ．( 2025 春 西城区校级期末）已知一次函数y ＝4x+k - 2 ．若当 - 1≤x≤2 时，该函数有最小值 - 2 ，则 k 的值为 4 ．
【答案】4．
【分析】依据题意，根据函数的增减性，可得当 x ＝ - 1 时，y 取最小值为 - 2 ，从而代入函数解析式得出 k 的值即可得解．
【解答】解： 由题意， ∵4＞0，
∴函数y 随 x 的增大而增大．
∴当 x ＝ - 1 时，y 取最小值 - 2 ，即 - 4+k - 2 ＝ - 2．∴k＝4．
故答案为：4．
8 ．( 2025 春 西城区校级期末）一次函数y ＝( k - 1）x+2k - 7 过第四象限，且y 随 x 的增大而增大，请写出一个符合条件的整数k 的值： 2( 答案不唯一） ．
【答案】2( 答案不唯一）．
【分析】依据题意，由一次函数y ＝( k - 1）x+2k - 7 过第四象限，且y 随 x 的增大而增大，则 进而可得 结合 k 为整数，进而可以判断得解．
【解答】解： 由题意， ∵一次函数y ＝( k - 1）x+2k - 7 过第四象限，且y 随 x 的增大而增大，
又∵k 取整数， ∴k 可取 2．
故答案为：2( 答案不唯一）．
9．( 2025 春 中山区期中）点 A( 1，y1），B( 2，y2）在直线y ＝ - 6x+5 的上，则y1 ＞ y2( 用“< ” , “ =”或“＞”填空）．
【答案】＞．
【分析】由 k ＝ - 6＜0 ，利用一次函数的性质，可得出y 随 x 的增大而减小，再结合 1＜2 ，即可得出y1 >y2．
【解答】解： ∵k＝ - 6＜0，
∴y 随 x 的增大而减小，
又∵点A( 1，y1），B( 2，y2）在直线y ＝ - 6x+5 的上，且 1＜2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
10 ．( 2025 春 路南区月考）已知一次函数y =一 x + 2，当 1≤x≤4 时，y 的最大值是 ，y 的最小值是0 ．
【答案】 0．
【分析】根据题意，得到k =一 ，再由一次函数的增减性解题即可．
【解答】解： 由条件可知一次函数y 随 x 的增大而减小，
故当 1≤x≤4 时，
y 的最大值是 x ＝1 时，即y =一
y 的最小值是 x ＝4 时，即y =一 一 2 + 2 = 0，故答案为： 0．
三．解答题( 共 5 小题）
11 ．( 2025 春 安远县校级月考） 已知一次函数y ＝ - 2x+4 解答下列问题：
( 1）在所给直角坐标系中画出此函数的图象；
( 2）观察图象，当 0≤y≤4 时，写出 x 的取值范围．
【答案】( 1）作图见解析；( 2）0≤x≤2．
【分析】( 1）依据题意，分别求得直线与 x 轴，y 轴的交点坐标，然后利用两点确定一条直线画出函数图象；
( 2）依据题意，利用数形结合思想解题．
【解答】解：( 1）在y ＝ - 2x+4 ，中，当 x ＝0 时，y ＝4，当y ＝0 时， - 2x+4 ＝0，
解得：x ＝2，
∴函数图象经过( 0 ，4）和( 2 ，0）两点，如图：
( 2）观察图象，当 0≤y≤4 时，x 的取值范围是 0≤x≤2．
12 ．( 2025 春 惠阳区校级月考） 已知一次函数yx+3．
( 1）填表：
x … - 2 0 2 4 …
y … 9 2 3 0 …
( 2）画出该函数的图象．
【答案】( 1） 3 ， 0；
( 2）见解答．
【分析】( 1）将 x 的值逐个代入y 计算即可得对应的y 值；
( 2）描点，连线即可画出函数图象
【解答】解：( 1）x ＝ - 2 时，y x ＝0 时，y x+3 ＝3；x ＝2 时，y x ＝4 时，
故答案为： 3 ， 0；
( 2）画出一次函数y 图象如下：
.
13 ．( 2025 春 象州县期末）如图，A( m ，0），B( n ，0），且 m ，n 满足( m+2）2+|n - 2| ＝0 ，直线 AC 恰好是一次函数y 的图象，CB⊥x 轴于 B．
( 1）求点 C 的坐标，并求△ABC 的周长；
( 2）在y 轴上是否存在点 P ，使得 S△ABC ＝S△ACP？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】( 1）C( 2 ，2），
( 2）P( 0 ，3）或 P( 0 ， - 1）．
【分析】( 1）根据非负数的性质得 m+2 ＝0 ，n - 2 ＝0 ，解得 m ＝ - 2 ，n ＝2 ，则 A( - 2 ，0），C( 2 ，2）然后根据三角形面积公式计算 S△ABC；
( 2）如图，AC 交y 轴于 E ，先确定 E( 0 ，1），利用三角形面积公式可得 EP 的长，由此可得结论
【解答】解：( 1） ∵( m+2）2+|n - 2| ＝0， ∴m+2 ＝0 ，n - 2 ＝0，
∴m ＝ - 2 ，n ＝2，
∴A( - 2 ，0），C( 2 ，2）， ∵CB⊥x 轴，
∴AB ＝4 ，BC ＝2，
∴△ABC 的周长为：
( 2）如图，设 AC 的解析式为：y ＝kx+b，
(
2k
+
b
=
2
)把 A( - 2 ，0），C( 2 ，2）代入得： -2k + b = 0，
解得：
∴AC 的解析式为：y ，设 AC 交y 轴于 E，
则 E( 0 ，1），
设点 P( 0，p）∴PE ＝|p - 1|，
由( 1）知：S△ABCAB BC
∵S△ABC ＝S△ACP， ∴4 ＝2|p - 1|，
∴p ＝3 或p ＝ - 1，
∴P( 0 ，3）或 P( 0 ， - 1）．
14 ．( 2025 春 宜州区期末）综合与实践
同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数y ＝2|x+1| - 3 的图象．
( 1）列表：
x … - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 …
y … 3 m - 1 - 3 - 1 n 3 …
表格中 m ＝ 1 ，n ＝ 1 ；
( 2）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
( 3）观察( 2）中所画函数的图象，求出当 x 取何值时该函数的有最小值．最小值是多少？
( 4）写出关于 x 的方程 2|x+1| - 3 ＝x+1 的解，并利用( 2）中的图象简单说明此方程的解是如何得到的．
【答案】( 1）1 ；1 ；( 2）见详解；( 3）当 x ＝ - 1 时，函数有最小值为 - 3 ；( 4）x1 ＝ - 2 ，x2 ＝2 ，理由见详解．
【分析】( 1）将 x ＝ - 3 和 x ＝1 代入解析式求出 m 、n 值即可；
( 2）根据两点确定一直线画出一次函数图象即可；
( 3）根据函数图象，直接写出该函数的有最小值即可；
( 4）画出函数y ＝x+1 的图象，找到与函数y ＝2|x+1| - 3 的图象交点横坐标就是方程的解 【解答】解：( 1）将 x ＝ - 3 和 x ＝1 代入解析式可得：
m ＝2×| - 3+1| - 3 ＝1 ，n ＝2×|1+1| - 3 ＝1，故答案为：1 ；1；
( 2）如图，根据两点确定一直线画出函数图象如下：
( 3）根据图像得：当 x ＝ - 1 时，
函数y ＝2|x+1| - 3 有最小值，最小值为y ＝ - 3；
( 4）方程 2|x+1| - 3 ＝x+1 的解为：x1 ＝ - 2 ，x2 ＝2，
理由如下：
画出函数y ＝2|x+1| - 3 和y ＝x+1 的图象，如图所示：
函数y ＝2|x+1| - 3 和y ＝x+1 的图象交点坐标分别为 D( - 2 ， - 1），E( 2 ，3）， ∴关于 x 的方程 2|x+1| - 3 ＝x+1 的解为：x1 ＝ - 2 ，x2 ＝2．
15 ．( 2025 春 阳信县期中） 已知一次函数y ＝( 1 - 2m）x+m - 1 ，求满足下列条件的 m 的值： ( 1）函数值y 随 x 的增大而增大；
( 2）函数的图象过第二、三、四象限． 【答案】( 1）m
( 2）．
【分析】( 1）当y 随 x 的增大而减小时，1 - 2m＞0 ，解得即可得出结论；
( 2）函数的图象过第二、三、四象限时， ，解得即可得出结论【解答】解：( 1）根据函数增减性可知 1 - 2m＞0，
解得：m
∴当m 时，函数值y 随 x 的增大而增大；
( 2） 由条件可知 解得：m ＜1，
∴当 时，函数的图象过二、三、四象限．