第3章一次方程与方程组（3.1-3.3）测试题（含解析）2025-2026学年沪科版（2024）数学七年级上册

第3章一次方程与方程组（3.1-3.3）测试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果，那么下列等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
2.如果的值与互为相反数，那么等于( )
A. B. C. D.
3.下列方程中是一元一次方程的是( )
A. B. C. D.
4.方程去分母后，可化为( )
A. B.
C. D.
5.已知关于的方程的解是，则的值是( )
A. B. C. D.
6.小丽同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，请问这个被污染的常数是( )
A. B. C. D.
7.按下面的程序计算：
当输入时，输出结果是；当输入时，输出结果是；如果输入的值是正整数，输出结果是，那么满足条件的的值最多有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，售价为元，在这次买卖过程中，则商人( )
A. 赚了元 B. 赚了元 C. 赔了元 D. 不赚不赔
9.已知关于的一元一次方程其中，，为常数，若这个方程的解恰好为，则称这个方程为“恰解方程”例如：方程的解恰好为，则方程为“恰解方程”若关于的一元一次方程是“恰解方程”，则的值为( )
A. B. C. D.
10.某车间名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉个或螺母个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，设分配名工人生产螺母，由题意可知下面所列的方程正确的是 ．
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若是关于的一元一次方程，则的值是 ．
12.已知是关于的方程的解，则的值为 ．
13.如图和图，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若个“”与个“”的质量相等，则的值是______ ．
14.当________时，式子与互为相反数．
15.一个长方形的周长是厘米，长与宽的比是，则它的面积是 平方厘米．
16.在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶智慧点”为常数，且，例如：点的“阶智慧点”为点，即点．
点的“阶智慧点”的坐标为 ；
若点的“阶智慧点”到轴的距离为，则的值 ．
三、计算题：本大题共3小题，共18分。
17.解方程：。
18.解方程：
19.解方程：．
四、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分小虎在解方程去分母时，方程右边的没有乘，因而得到方程的解为，求的值及方程正确的解．
21.本小题分已知关于的方程的解与的解相同，求的值．
22.本小题分国家规定个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：
稿费不高于元的不纳税；
稿费高于元，而低于元的应缴纳超过元的那部分稿费的的税；
稿费为元或高于元的应缴纳全部稿费的的税；
若王老师获得稿费后纳税元，求这笔稿费是多少钱？
23.本小题分甲、乙两个工程队承担了福州市今年的旧城改造工作中的一个办公楼项目，若乙队单独工作天后，再由两队合作天就可以完成这个项目，已知乙队单独完成这个项目所需天数是甲队单独完成这各项目所需天数的倍．
求甲，乙两个工程队单独完成这个项目各需多少天
甲工程队一天的费用是万元，乙工程队一天的费用是万元，若甲乙合作天后剩余工作由乙队单独完成，求这个项目总共要支出的工程费用单位：万元
24.本小题分已知数轴上两点，对应的数分别为，，点为数轴上一动点，其对应的数为．
若点为的中点，则点对应的数是 ．
数轴的原点右侧有点，使点到点，点的距离之和为请你求出的值．
现在点，点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从表示数的点向左运动．当点与点之间的距离为个单位长度时，直接写出点对应的数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如果，则或，故A选项不符合题意；
B.如果，则，故B选项不符合题意；
C.如果，则，故C选项符合题意；
D.如果，则，故D选项不符合题意．
故选：．
根据等式的性质逐项判断即可．
此题考查的是等式的性质，等式两边同时加上或减去同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】解：，最高次数为，不是，不符合题意；
，不是整式方程，不符合题意；
C.，是一元一次方程，符合题意；
D.，未知数的个数为个，不是一个，不是一元一次方程，不符合题意；
故选：．
根据定义即含有一个未知数且未知数的指数为的整式方程，判断即可．
本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
先把分母化为整数，去分母得到结果，即可作出判断．
【解答】
解：
去分母得：
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元一次方程的知识，掌握一元一次方程的解法是关键．根据一元一次方程的解的定义使得方程两边成立的未知数的值解决此题．
【解答】
解：由题意得，，
．
6.【答案】
【解析】把代入，得，解得．
7.【答案】
【解析】根据程序计算解答即可．
本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键．
【详解】解：第一次直接输出结果时，则有，
解得，
第二次才能输出结果时，输入，计算结果，小于，作为新值再次输入，此时输出结果为，故，
解得；
第三次才能输出结果时，输入，计算结果，小于，作为新值再次输入，此时新值为，继续输入，此时输出结果为，
故，
解得；
第四次才能输出结果时，输入，计算结果，小于，作为新值再次输入，此时新值为，继续输入，还小于，此时新值为，
继续输入，此时输出结果为，
故，
解得；不符合题意，舍去，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：设赚了的商品的成本为元，则：
，
，
解得：，
设赔了的商品的成本为元，则：
，
，
解得：，
总成本为：元，
，
在这次买卖过程中，则商人赚了元，
故选：．
设赚了的商品的成本为元，则，赔了的商品的成本为元，则，解方程求出、的值，计算出赚或赔的金额即可得答案．
本题考查了一元一次方程的应用，掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由条件可知，
，
由条件可知，
，
解得．
故选：．
求出关于的一元一次方程的解，根据此方程是“恰解方程”，得关于的方程，解方程即可求得的值．
本题考查了新定义，解一元一次方程；熟练掌握以上知识点是关键．
10.【答案】
【解析】【点拨】本题考查一元一次方程的应用
设分配名工人生产螺母，则名工人生产螺钉，由题意得：故选B．
11.【答案】
【解析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确解一元一次方程的定义，本题属于基础题型．根据一元一次方程的定义即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：
解得
故答案为：．
12.【答案】
【解析】根据一元一次方程解的定义，将代入得到，解得．
【详解】解：是关于的方程的解，
，即，解得，
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：设为，为，为，
由图可得：，
由图可得：，
，得，
，即，
即个个，
个“”与个“”的质量相等，
．
故答案为：．
根据分析图和图中天平两边物体的质量关系，设为，为，为，利用等式的性质找出与之间的质量关系，从而求出的值．
本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了一元一次方程的解法，依据相反数的定义，列出方程，从而解得的值．
【解答】
解：，
，
解得：．
故答案为．
15.【答案】
【解析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设长方形的长为厘米，宽为厘米，根据长方形的周长是厘米，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：设长方形的长为厘米，宽为厘米，
根据题意得：，
解得：，
，
它的面积是平方厘米．
故答案为：．
16.【答案】
或

【解析】解：，，
点的“阶智慧点”为点．
故答案为：；
，，
点的“阶智慧点”为，
点的“阶智慧点”到轴的距离为，
，
或．
故答案为：或．
利用“阶智慧点”的定义解答即可；
利用“阶智慧点”的定义求得点的“阶智慧点”，再利用到轴的距离为列方程解答即可．
本题主要考查了点的坐标，一元一次方程的应用，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．
17.【答案】
【解析】略
18.【答案】解：原方程去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为得：．

【解析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为即可得解．
19.【答案】解：整理，得：，
去分母，得：，
去括号，得：
移项合并，得：，
系数化为，得：
【解析】方程去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解；
方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解．
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为，即可求出解．
20.【答案】，方程正确的解是．
【解析】解：依题意，方程去分母后得：，
是上述方程的解，代入得：，
，
，
，
所以原方程为，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
把代入看错的方程求出的值，确定出所求方程，求出解即可．
此题考查了一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】解：解方程，得解方程，得由题意，得解得答：的值是
【解析】略
22.【答案】元．
【解析】元，元，，，
这笔稿费高于元且低于元．
设这笔稿费是元钱，
根据题意得：，
解得：．
答：这笔稿费是元钱．
按照求出元应缴纳税额，将其与元比较后，可得出这笔稿费高于元且低于元，设这笔稿费是元钱，根据王老师获得稿费后纳税元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
23.【答案】解：设甲工程队单独完成这个项目需要天，
依题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
因此乙队单独完成这个项目需要 天．
答：甲队单独完成这个项目需要天，乙队单独完成这个项目需要天；
设甲乙两队合作天后乙队还要单独再工作天，
由得， ，
解得．
所以总共需要支出的工程费用为万元
答：这个项目总共要支出的工程费用为万元．

【解析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程，分式方程要注意检验．
先设甲工程队单独完成这个项目需要天，根据题意列出方程，求出方程的解，再进行检验即可；
设甲乙两队合作天后乙队还要单独再工作天，由得， ，解方程即可．
．
24.【答案】解：；
当在线段上时，，
所以这种情况不存在；
当在右侧时，，
解得，
答：的值是；
设运动的时间是秒，则运动后表示的数是，表示的数是，表示的数是，
根据题意得：，
解得或，
当时，表示的数是，
当时，表示的数是，
答：点对应的数是或．
【解析】【分析】
本题考查数轴上点表示的数及两点间距离，解题的关键是掌握点运动后表示的数与运动前表示的数的关系．
根据点为的中点列方程即可解得答案；
分两种情况，当在线段上时，由，知这种情况不存在；当在右侧时，，解得；
设运动的时间是秒，表示出运动后表示的数是，表示的数是，表示的数是，根据点与点之间的距离为个单位长度得：，解出的值，即可得到答案．
【解答】
解：因为，对应的数分别为，，点为的中点，
所以，
解得，
所以点对应的数是，
故答案为：；
见答案；
见答案．