第3章一次方程与方程组（3.4-3.6）测试卷（含解析）2025-2026学年沪科版（2024）数学七年级上册

第3章一次方程与方程组（3.4-3.6）测试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
2.已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为( )
A. B. C. D.
3.为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把长的彩绳截成或的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法( )
A. B. C. D.
4.如图，小梅手拿元钱正在和售货员对话、已知本笔记本比根碳素笔贵元，观察对话，根碳素笔、本笔记本的单价分别是( )
A. 元，元 B. 元，元 C. 元，元 D. 元，元
5.已知元刚好买到支百合和朵玫瑰花，元刚好买到支百合和朵玫瑰花，则买支百合和朵玫瑰花需要( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
6.方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为( )
A. 、 B. 、 C. 、 D. 、
7.儿童节期间，幼儿园花了元钱购买甲、乙两种奖品共件，其中甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，求甲、乙两种奖品各买多少件？若设购买甲种奖品件，乙种奖品件，则所列方程组正确的是( )
A. B.
C. D.
8.方程组的解适合方程，则值为( )
A. B. C. D.
9.已知方程组则的值是 ．
A. B. C. D.
10.九章算术中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛头，羊头，共值金两，牛头，羊头，共值金两问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.设甲数为，乙数为，则“甲数的倍比乙数的一半少”列方程是 ．
12.已知关于、的方程组的解满足，则________．
13.已知，则 ， ．
14.如图，矩形中放置个形状、大小都相同的小矩形，相关数据图中所示，则图中阴影部分的面积为______平方单位．
15.有大小两种货车，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，则辆大货车与辆小货车一次可以运货 吨
16.已知、、满足，则 ．
三、计算题：本大题共3小题，共18分。
17.解下列方程组．
18.解方程组：
19.解方程组：
四、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
我们定义一个新运算，规定：，例如：若，，分别求出和的值．
21.本小题分
初中生涯即将结束，同学们为友谊长存，决定互送礼物，于是去某礼品店购进了一批适合学生的毕业纪念品．已知购进个种礼品和个种礼品共需元，购进个种礼品比购进个种礼品多花元．问，两种礼品每个的进价是多少元？
22.本小题分
兄弟俩同时解关于，的方程组哥哥正确解得弟弟因把抄错了，解得
求，，的值；
请你说明弟弟把抄成了什么数．
23.本小题分
中国杂粮看山西，山西杂粮看忻州，“忻州中国杂粮之都”近年来打造以“一薯、三麦、四米、五豆”为特色的小杂粮产业，走上了“兴科技、树品牌、强产业、广交流、共发展”的新道路某县为帮助农民进一步提高杂粮播种水平，提升综合生产能力，决定财政拨款元购进，两种型号的播种机共台已知，两种型号播种机的单价分别为元，元，求：购进，两种型号的播种机各多少台
24.本小题分
有这样一个问题：甲、乙、丙三种商品：购买甲件、乙件、丙件共需要元；购买甲件、乙件、丙件共需要元；购买甲件、乙件、丙件共需要元求购买甲、乙、丙三种商品各一件需要多少元？
欢欢认为：可以根据题意列出三元一次方程组，分别求出甲、乙、丙商品的单价，再相加即可求得答案．
乐乐认为：这道题目去掉条件，只用两个条件，仍能求得答案．
请你根据欢欢的思路解决问题．
你认为乐乐的说法正确吗？如果正确，请根据乐乐的思路完成解答过程；如果不正确，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】本题考查了二元一次方程的解，将代入，即可求解．
【详解】解：依题意，
解得：，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：设截成的彩绳根，截成的彩绳根，
依题意，得：，
．
又，均为非零整数，
或或或，
共有种不同的截法．
故选：．
设截成的彩绳根，截成的彩绳根，根据彩绳的总长度为，即可得出关于，的二元一次方程，再结合，均为非零整数，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：设碳素笔的单价为元，笔记本的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
根碳素笔、本笔记本的单价分别是元，元．
故选：．
设碳素笔的单价为元，笔记本的单价为元，根据“本笔记本比根碳素笔贵元，购买本笔记本和根碳素笔共花费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：设买支百合需要元，买朵玫瑰花需要元，
依题意得：，
，得：，
买支百合和朵玫瑰花需要元．
故选：．
设买支百合需要元，买朵玫瑰花需要元，根据“元刚好买到支百合和朵玫瑰花，元刚好买到支百合和朵玫瑰花”，即可得出关于，的二元一次方程组，利用，即可求出买支百合和朵玫瑰花所需费用．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了解二元一次方程组，利用方程组的解满足每个方程即可．
根据方程组的解满足方程组中的每个方程，代入求值可求出被遮盖的前后两个数．
【解答】
解：将代入第二个方程可得，
将，代入第一个方程可得
所以被遮盖的前后两个数分别为：，，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：设购买乙种奖品件，甲种奖品件，
，
所列方程组正确的是，
故选：．
设购买甲种奖品件，乙种奖品件，根据总数量为件，总费用为元，结合单价即可列出方程组．
本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是根据题意列出方程组．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是二元一次方程组的解，掌握加减消元法解二次一次方程组的一般步骤是解题的关键．
根据方程组的特点，得到，将代入求解即可．
【解答】
解：，
得，，
由题意得，，
解得，，
故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是三元一次方程组的解法有关知识，属于基础题利用加减消元法计算即可．
【解答】
解：
得，，
则．
10.【答案】
【解析】解：由“牛头，羊头，共值金两”可得，
由“牛头，羊头，共值金两”可得，
因此可列方程组，
故选：．
因为每头牛值金两，每头羊值金两，根据“牛头，羊头，共值金两；牛头，羊头，共值金两”，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
通过解二元一次方程组，求得，后，再代入即可求出的值．
【解答】
解：由题意得，
得，，
将代入得，，
将代入方程得，
，
即，
解得
故答案为
13.【答案】

【解析】【解析】由，得，解得
14.【答案】
【解析】解：设小长方形的长、宽分别为，，
依题意得，
解之得，
小长方形的长、宽分别为，，
．
故答案为：．
设小长方形的长、宽分别为，，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．
15.【答案】
【解析】解：设辆大货车一次可以运货吨，辆小货车一次可以运货吨，
根据题意得：，
得：，
，
即辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，
故答案为：．
设辆大货车一次可以运货吨，辆小货车一次可以运货吨，根据辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，列出二元一次方程组，求出，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16.【答案】
【解析】本题考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法是解答本题的关键．
把两个方程相加，可得，据此可得；，可得，据此可得，进而得出答案．
【详解】解：
，得，
即，
；
，得，
即，
，
．
故答案为：．
17.【答案】解：，
由得：，
把代入得：，
解得：，
则，
故二元一次方程组的解为：．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：设，，则原方程组可化为：
整理得：
得：，
将代入得：，
解得，
则
得：，
，
将代入得：，
原方程组的解为：．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：
可得：
得：
将代入，
将，代入可得：
故方程组的解为
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
20.【答案】解：，
，，
，，
，
解得：．
【解析】根据新定义建立方程组，再解方程组即可．
本题考查的是新定义运算的含义，二元一次方程组的解法，正确进行计算是解题关键．
21.【答案】解：设种礼品每个的进价是元，种礼品每个的进价是元，
根据题意，可得：
解得：
答：种礼品每个的进价是元，种礼品每个的进价是元．

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，解本题的关键在理解题意，找出等量关系，列出方程组．设种礼品每个的进价是元，种礼品每个的进价是元，根据题意：购进个种礼品和个种礼品共需元，购进个种礼品比个种礼品多花元，列出方程组，解出即可得出答案．
22.【答案】【小题】
解：由题意，知的一组解是代入方程解得
把代入方程，
得 解得
所以，，．
【小题】
将代入，得
即弟弟把抄成了．

【解析】 略
略
23.【答案】解：设购进种型号的播种机台，种型号的播种机台根据题意，得
解得，
答：购进种型号的播种机台，种型号的播种机台．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
24.【答案】购买甲、乙、丙三种商品各一件需要元；
乐乐的说法正确，购买甲、乙、丙三种商品各一件需要元．
【解析】设甲种商品的单价是元，乙种商品的单价是元，丙种商品的单价是元，
根据题意得：，
得：，
得：，
得：，
将代入得：，
解得：，
将，代入得：，
解得：，
三元一次方程组的解为，
元．
答：购买甲、乙、丙三种商品各一件需要元；
乐乐的说法正确，设甲种商品的单价是元，乙种商品的单价是元，丙种商品的单价是元，
根据题意得：，
得：．
答：乐乐的说法正确，购买甲、乙、丙三种商品各一件需要元．
设甲种商品的单价是元，乙种商品的单价是元，丙种商品的单价是元，根据“购买甲件、乙件、丙件共需要元；购买甲件、乙件、丙件共需要元；购买甲件、乙件、丙件共需要元”，可列出关于，，的三元一次方程组，解之可得出，，的值，再将其代入中，即可求出结论；
设甲种商品的单价是元，乙种商品的单价是元，丙种商品的单价是元，“购买甲件、乙件、丙件共需要元；购买甲件、乙件、丙件共需要元”，可列出关于，，的三元一次方程组，利用，即可求出结论．
本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．