四川省绵阳市江油市八校 2025-2026学年九年级上学期开学联考数学试题
1．（2025九上·江油开学考）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．且
【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：且．
故答案为：D．
【分析】先求出，再计算求解即可。
2．（2025九上·江油开学考）下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.5和不是同类二次根式，不能合并，
∴此选项不符合题意；
B.和不是同类二次根式，不能计算，
∴此选项符合题意；
C.≠2，
∴此选项不符合题意；
D.，计算正确，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、根据同类二次根式的定义“同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式”可知：5和不是同类二次根式，不能合并；
B、同理可求解；
C、根据二次根式的除法法则可求解；
D、根据二次根式的除法法则可求解.
3．（2025九上·江油开学考）在植树节期间，某校组织老师积极参加植树活动．为了了解植树情况，随机抽取部分老师的植树棵数进行统计．统计结果共有3棵，4棵，5棵，6棵四种情况，并绘制了如图所示的统计图（尚不完整），若这组数据的众数是5棵，设植树5棵的老师为a人，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】条形统计图；众数
【解析】【解答】解：因为5是这组数据的众数，
所以；
故答案为 ：D．
【分析】根据众数的概念"众数是一组数据中出现次数最多的数"并结合条形图中的信息即可求解．
4．（2025九上·江油开学考）如图，在矩形中，，，，是对角线上的两点，，点在边上运动（不与点，重合），连结点与的中点并延长交于点，连结，，，．在点从点运动到点的整个过程中，四边形的形状变化依次是（ ）
A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：当点P从点D开始动到如图位置时，四边形是平行四边形，理由如下，
∵的中点为O，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
在 APO和 CQO中
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
当点P运动到时，如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
当点P运动到未达到中点M时，如图所示，
∴四边形是平行四边形，
当点P运动到时，如图所示，
∴四边形是矩形；
当点P运动到过中点M后未到点A时，如图所示，
∴四边形是平行四边形，
综上可得：在点P从点D运动到点A的整个过程中，四边形的形状变化依次是平行四边形，菱形，平行四边形，矩形，平行四边形．
故答案为：C．
【分析】先根据矩形的性质，用角角边可证明，由全等三角形的对应边想到可得，再根据勾股定理求出的值，由线段的和差OE=OF=OA-AE求得的值，然后根据平行四边形的判定“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得四边形PEOF是平行四边形，再根据四种情况：①当点P运动到时，②当点P运动到未达到中点M时，③当点P运动到时，④当点P运动到过中点M后未到点A时，分别画出图形，再根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定即可判断求解．
5．（2025九上·江油开学考）已知一次函数的图象如图所示，则点落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵函数的图象过一、三、四象限，
∴，
∴，
则点在第三象限.
故答案为：C．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此，结合函数图象经过的象限判断出k、b的正负，进而根据点的坐标与象限的关系判断出点所在的象限．
6．（2025九上·江油开学考）平行四边形中，下列关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形BCD是平行四边形，
∴．
故答案为：B．
【分析】平行四边形的性质：①对边平行且相等，②对角相等，邻角互补，③对角线互相平分，据此逐一判断得出答案.
7．（2025九上·江油开学考）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设A点坐标为，
把代入，得，
解得，
则A点坐标为，
所以当时，，
∵函数的图象经过点，
∴时，，
∴不等式的解集为．
故答案为：D.
【分析】将A点纵坐标代入直线y=2x算出对应的自变量x的值，求出点A的坐标；从图象角度看，求不等式的解集 ，就是求直线y=kx+b的图象在x轴上方，且在直线y=2x下方部分对应的自变量的取值范围，也就是求A、B段函数图象自变量的取值范围，据此求解即可.
8．（2025九上·江油开学考）如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：，
，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：．
【分析】由邻补角求出∠DCB的度数，然后根据平行四边形的对角相等得∠A=∠BCD，从而得出答案.
9．（2025九上·江油开学考）如图所示是由4个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），请观察图案指出下列关系不正确的是（ ）
A．x2＋y2＝49 B．x－y＝2 C．2xy＋4＝49 D．x＋y＝13
【答案】D
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：A中，根据勾股定理以及正方形的面积公式即可得到，正确；B中，根据小正方形的边长是2即可得到，正确；
C中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到，正确；
D中，根据A，C联立结合完全平方公式可以求得x+y=，错误．
故选D．
【分析】根据勾股定理和正方形的面积列等式，逐项判断解答即可．
10．（2025九上·江油开学考）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，沿路线匀速运动，的面积y（）随点P运动的时间x（s）之间的函数关系图象如图②所示，已知，下列说法错误的是（ ）
A．动点P速度为1cm/s B．a的值为30
C．EF的长度为10cm D．当时，x的值为8
【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：A、由图②的第一段折线可知：点经过4秒到达点处，此时的三角形的面积为12，
，
，
∴动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动．
∴此选项不符合题意；
B、由图②的第三段折线可知：点再经过6秒到达点处，
，
图①中各角均为直角，
，
∴
∴a的值为30
∴此选项不符合题意；
C、由B可得EF=10；
∴此选项不符合题意；
D、∵
∵
∴x的值为7
此选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】由图②中的信息和三角形的面积公式分别求得图①中的线段，结合各选项即可判断求解．
11．（2025九上·江油开学考）如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式组的整数解有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把代入直线得：，
解得：，
∴直线与x轴的交点坐标为（5，0），
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的整数解为2，3，4，共3个，故B正确．
故选：B.
【分析】求出直线与x轴的交点坐标，然后得到在x轴上方且直线 在直线 上方的自变量x的取值范围即可．
12．（2025九上·江油开学考）菱形ABCD中，AC＝10，BD＝24，则该菱形的面积等于（ ）
A．13 B．52 C．120 D．240
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC＝10，BD＝24，
∴菱形的面积=，
故答案为：C．
【分析】由菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可．
13．（2025九上·江油开学考）智渊班在期末评选“新时代好少年”活动中，综合成绩是由模范事迹、期末评定和劳动实践三项得分按的比例计算所得，善思同学本学期三项成绩分别是95分、91分和90分，则他在此项活动中的得分是 分．
【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：分．
即他在此项活动中的得分是分．
故答案为：.
【分析】利用加权平均数公式计算解答．
14．（2025九上·江油开学考）将直线向右平移2个单位后的函数解析式是 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向右平移2个单位后的函数解析式是.
故答案为：．
【分析】根据函数图象平移规律“左加右减（影响x），上加下减（影响y）”可直接得出答案.
15．（2025九上·江油开学考）如图，四边形是菱形，对角线相交于点．若，，则菱形的面积是 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
∴菱形的面积是，
故答案为：．
【分析】根据菱形面积等于对角线积的一半解答即可．
16．（2025九上·江油开学考）如图，在平行四边形中，，点E，F分别是，的中点，则等于 米．
【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵是平行四边形，
∴，
∵点E，F分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴；
故答案为：2．
【分析】根据平行四边形的性质得到BC=AD，然后根据三角形中位线定理解答即可．
17．（2025九上·江油开学考）若点在直线上，则a、b的大小关系是a b．
【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：因为点在直线上，
所以把代入，可得，移项得到，
又因为点在直线上，把代入，可得，移项得到，
因为，
所以．
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将点、的纵坐标代入直线方程可得a、b的方程，解方程求出横坐标、的值，然后比较、的大小即可求解．
18．（2025九上·江油开学考）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 .
【答案】（11，60，61）
【知识点】勾股数；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），可得
第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）；
第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61）．
故答案为：（11，60，61）．
【分析】根据前三组勾股数，总结规律即可求出答案.
19．（2025九上·江油开学考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）由题意，先根据二次根式性质将各式化简，然后根据实数的运算法则计算即可求解；
（2）根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”以及平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”计算，再合并同类二次根式即可求解．
（1）解：
；
（2）
．
20．（2025九上·江油开学考）（1）已知x，y是有理数，若，求的平方根；
（2）已知a，b是等腰的两边长，且满足，求的周长．
【答案】解：（1）由题意，得，，且，
∴，，
解得，
∴，
∴，
∴的平方根是；
（2），
，
，
∴，，
∴，，
当为腰时，三边为1，1，3，，不符合三角形三边关系，舍去；
当为腰时，三边为3，3，1，，符合三角形三边关系，
∴的周长．
【知识点】二次根式有无意义的条件；三角形三边关系；开平方（求平方根）；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”和分式有意义的条件可得关于x的不等式，解之求得x、y的值， 然后结合平方根的定义即可求解 ；
（2）由题意，把原式变形为，根据偶次方的非负性和二次根式的非负性可得关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，根据等腰三角形的定义，分情况讨论即可求解．
21．（2025九上·江油开学考）行李托运简单便捷，给人们的出行带来了极大的便利，省事又省心．某客运公司规定旅客可以免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李托运费（元）与行李质量之间的关系如图所示．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）若张先生某次出差时所付的行李托运费用为元，求张先生托运行李的质量．
【答案】（1）解：设与的函数表达式为，
由题意可得：
解得：
∴；
（2）当，，
，
答：张先生托运行李的质量为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）根据图象中的信息可知直线过点，然后用待定系数法可求解；
（2）由题意把代入（1）中的解析式计算即可求解．
（1）解：设与的函数表达式为，
由题意可得：
解得：
∴；
（2）当，，
，
答：张先生托运行李的质量为．
22．（2025九上·江油开学考）为弘扬航天精神，传播航天知识，某校举行了航天知识竞赛，从七、八年级参赛学生中各随机抽取10名，他们的成绩如下：
七、八年级抽取的学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 93
八年级 92 100 43
八年级抽取的学生成绩扇形统计图
已知七年级10名学生的成绩是：96，86，96，86，99，96，90，100，90，81
若成绩得分用表示，八年级10名学生的成绩分成四组；；．其中 C组的数据是：．根据以上信息，解答下列问题．
（1）计算七年级10名学生成绩的平均数；
（2）直接写出的值，并对两个年级的成绩做出评价；
（3）若该校八年级共400人参加了此次航天知识竞赛，估计此次活动成绩优秀的学生人数．
【答案】（1）解：由题意得，；
（2）解：，，由于七年级成绩的方差比八年级成绩的方差小，且两个年级的平均数和中位数相同，则七年级的成绩比八年级的成绩稳定；
（3）解：人，
∴估计此次活动成绩优秀的学生人数为280人．
【知识点】平均数及其计算；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：∵七年级成绩中得分为96的人数最多，
∴七年级成绩的众数为96，即；
把八年级成绩从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为92，94，
∴八年级成绩的中位数为，即；
【分析】（1）用七年级抽取10名学生成绩的和除以10即可求出七年级抽取10名学生成绩的平均数；
（2）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可求出b、c的值；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，方差越大数据波动越大，据此求解即可；
（3）用该校八年级学生的总人数乘以样本中八年级成绩优秀人数的占比即可估计此次活动八年级学生成绩优秀的人数.
23．（2025九上·江油开学考）某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元．
根据以上信息解答：
（1）购买1个篮球和1个足球各需要多少钱？
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，则有哪几种购买方案？
（3）在上面（2）中条件下，哪一种方案所需费用最少？请求出这个最少的费用是多少元．
【答案】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，
根据题意可得：，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）解：设采购篮球个，则采购足球为个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
，
，
∵x为整数，
∴x的值可为30，31，32，33．
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个，
方案二：采购篮球31个，采购足球19个，
方案三：采购篮球32个，采购足球18个，
方案四：采购篮球33个，采购足球17个；
（3）解：由题意，采购所需费用．
∵，
∴采购所需费用随的增大而增大，
又∵
∴当时，采购所需费用最小，最小值为（元）．
∴第一种方案所需费用最少，最少的费用是5400元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】
（1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据购买篮球和足球的费用列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设采购篮球个，则采购足球为个，根据篮球数量要求和总费用限制列出关于x的一元一次不等式组，解不等式组求出x的正整数解可求解；
（3）根据（2）中不同方案，计算各方案费用，比较得出费用最少的方案及费用．
（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，
根据题意可得：，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）解：设采购篮球个，则采购足球为个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
，
，
∵x为整数，
∴x的值可为30，31，32，33．
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个，
方案二：采购篮球31个，采购足球19个，
方案三：采购篮球32个，采购足球18个，
方案四：采购篮球33个，采购足球17个；
（3）解：由题意，采购所需费用．
∵，
∴采购所需费用随的增大而增大，
又∵
∴当时，采购所需费用最小，最小值为（元）．
∴第一种方案所需费用最少，最少的费用是5400元．
24．（2025九上·江油开学考）如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．
（1）求△A的面积．
（2）通过计算判断的形状．
【答案】解：（1）
=16-6-4-1
=5，
；
（2）是直角三角形，理由如下：
由勾股定理得，
即
是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据割补法，结合三角形面积公式即可求解；
（2）根据勾股定理，分别求得的长，再用勾股定理的逆定理即可求解．
25．（2025九上·江油开学考）已知，在平面直角坐标系中，直线交轴于点为线段上一动点，连，过D作的垂线，并截取，使，连．分别过作坐标轴的平行线交于点C．
（1）如图1，当点E在上时，求证：；
（2）如图2，过点C作的平行线交x轴于F，若点E恰好在上，求点D的坐标；
（3）如图3，G为的中点，连，直接写出的最小值．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，，
在和中，
∴；
（2）解：过E作于H，如图，
设，
在中，令得，令得，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在△BOD和△DHE中
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵．
又∵，
∴，
解得或（舍去），
∴；
（3）过E作于H，如图：
设，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
∵G为的中点，，
∴，
∵，
∴，
当时，最小值为，
∴最小值为
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意，根据角角边可得；
（2）过E作于H，设，由题意，易求出A、B两点的坐标，用角角边可证明，由全等三角形的对应边相等可得，由平行四边形的对边相等可得，，在Rt△DEF中，根据勾股定理可得关于m的方程解方程可求解；
（3）过E作于H，设，用角角边可证明，由全等三角形的性质易得，即可得，根据两点间的距离公式可得，根据偶次方的非负性可求解．
（1）证明：∵，
∴，
∴，，
在和中，
∴；
（2）解：过E作于H，如图，
设，
在中，令得，令得，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵．
又∵，
∴，
解得或（舍去），
∴；
（3）过E作于H，如图：
设，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
∵G为的中点，，
∴，
∵，
∴，
当时，最小值为，
∴最小值为
1 / 1四川省绵阳市江油市八校 2025-2026学年九年级上学期开学联考数学试题
1．（2025九上·江油开学考）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．且
2．（2025九上·江油开学考）下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九上·江油开学考）在植树节期间，某校组织老师积极参加植树活动．为了了解植树情况，随机抽取部分老师的植树棵数进行统计．统计结果共有3棵，4棵，5棵，6棵四种情况，并绘制了如图所示的统计图（尚不完整），若这组数据的众数是5棵，设植树5棵的老师为a人，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九上·江油开学考）如图，在矩形中，，，，是对角线上的两点，，点在边上运动（不与点，重合），连结点与的中点并延长交于点，连结，，，．在点从点运动到点的整个过程中，四边形的形状变化依次是（ ）
A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
5．（2025九上·江油开学考）已知一次函数的图象如图所示，则点落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2025九上·江油开学考）平行四边形中，下列关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025九上·江油开学考）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025九上·江油开学考）如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025九上·江油开学考）如图所示是由4个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），请观察图案指出下列关系不正确的是（ ）
A．x2＋y2＝49 B．x－y＝2 C．2xy＋4＝49 D．x＋y＝13
10．（2025九上·江油开学考）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，沿路线匀速运动，的面积y（）随点P运动的时间x（s）之间的函数关系图象如图②所示，已知，下列说法错误的是（ ）
A．动点P速度为1cm/s B．a的值为30
C．EF的长度为10cm D．当时，x的值为8
11．（2025九上·江油开学考）如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式组的整数解有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
12．（2025九上·江油开学考）菱形ABCD中，AC＝10，BD＝24，则该菱形的面积等于（ ）
A．13 B．52 C．120 D．240
13．（2025九上·江油开学考）智渊班在期末评选“新时代好少年”活动中，综合成绩是由模范事迹、期末评定和劳动实践三项得分按的比例计算所得，善思同学本学期三项成绩分别是95分、91分和90分，则他在此项活动中的得分是 分．
14．（2025九上·江油开学考）将直线向右平移2个单位后的函数解析式是 ．
15．（2025九上·江油开学考）如图，四边形是菱形，对角线相交于点．若，，则菱形的面积是 ．
16．（2025九上·江油开学考）如图，在平行四边形中，，点E，F分别是，的中点，则等于 米．
17．（2025九上·江油开学考）若点在直线上，则a、b的大小关系是a b．
18．（2025九上·江油开学考）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 .
19．（2025九上·江油开学考）计算：
（1）
（2）
20．（2025九上·江油开学考）（1）已知x，y是有理数，若，求的平方根；
（2）已知a，b是等腰的两边长，且满足，求的周长．
21．（2025九上·江油开学考）行李托运简单便捷，给人们的出行带来了极大的便利，省事又省心．某客运公司规定旅客可以免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李托运费（元）与行李质量之间的关系如图所示．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）若张先生某次出差时所付的行李托运费用为元，求张先生托运行李的质量．
22．（2025九上·江油开学考）为弘扬航天精神，传播航天知识，某校举行了航天知识竞赛，从七、八年级参赛学生中各随机抽取10名，他们的成绩如下：
七、八年级抽取的学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 93
八年级 92 100 43
八年级抽取的学生成绩扇形统计图
已知七年级10名学生的成绩是：96，86，96，86，99，96，90，100，90，81
若成绩得分用表示，八年级10名学生的成绩分成四组；；．其中 C组的数据是：．根据以上信息，解答下列问题．
（1）计算七年级10名学生成绩的平均数；
（2）直接写出的值，并对两个年级的成绩做出评价；
（3）若该校八年级共400人参加了此次航天知识竞赛，估计此次活动成绩优秀的学生人数．
23．（2025九上·江油开学考）某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元．
根据以上信息解答：
（1）购买1个篮球和1个足球各需要多少钱？
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，则有哪几种购买方案？
（3）在上面（2）中条件下，哪一种方案所需费用最少？请求出这个最少的费用是多少元．
24．（2025九上·江油开学考）如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．
（1）求△A的面积．
（2）通过计算判断的形状．
25．（2025九上·江油开学考）已知，在平面直角坐标系中，直线交轴于点为线段上一动点，连，过D作的垂线，并截取，使，连．分别过作坐标轴的平行线交于点C．
（1）如图1，当点E在上时，求证：；
（2）如图2，过点C作的平行线交x轴于F，若点E恰好在上，求点D的坐标；
（3）如图3，G为的中点，连，直接写出的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：且．
故答案为：D．
【分析】先求出，再计算求解即可。
2．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.5和不是同类二次根式，不能合并，
∴此选项不符合题意；
B.和不是同类二次根式，不能计算，
∴此选项符合题意；
C.≠2，
∴此选项不符合题意；
D.，计算正确，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、根据同类二次根式的定义“同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式”可知：5和不是同类二次根式，不能合并；
B、同理可求解；
C、根据二次根式的除法法则可求解；
D、根据二次根式的除法法则可求解.
3．【答案】D
【知识点】条形统计图；众数
【解析】【解答】解：因为5是这组数据的众数，
所以；
故答案为 ：D．
【分析】根据众数的概念"众数是一组数据中出现次数最多的数"并结合条形图中的信息即可求解．
4．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：当点P从点D开始动到如图位置时，四边形是平行四边形，理由如下，
∵的中点为O，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
在 APO和 CQO中
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
当点P运动到时，如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
当点P运动到未达到中点M时，如图所示，
∴四边形是平行四边形，
当点P运动到时，如图所示，
∴四边形是矩形；
当点P运动到过中点M后未到点A时，如图所示，
∴四边形是平行四边形，
综上可得：在点P从点D运动到点A的整个过程中，四边形的形状变化依次是平行四边形，菱形，平行四边形，矩形，平行四边形．
故答案为：C．
【分析】先根据矩形的性质，用角角边可证明，由全等三角形的对应边想到可得，再根据勾股定理求出的值，由线段的和差OE=OF=OA-AE求得的值，然后根据平行四边形的判定“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得四边形PEOF是平行四边形，再根据四种情况：①当点P运动到时，②当点P运动到未达到中点M时，③当点P运动到时，④当点P运动到过中点M后未到点A时，分别画出图形，再根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定即可判断求解．
5．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵函数的图象过一、三、四象限，
∴，
∴，
则点在第三象限.
故答案为：C．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此，结合函数图象经过的象限判断出k、b的正负，进而根据点的坐标与象限的关系判断出点所在的象限．
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形BCD是平行四边形，
∴．
故答案为：B．
【分析】平行四边形的性质：①对边平行且相等，②对角相等，邻角互补，③对角线互相平分，据此逐一判断得出答案.
7．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设A点坐标为，
把代入，得，
解得，
则A点坐标为，
所以当时，，
∵函数的图象经过点，
∴时，，
∴不等式的解集为．
故答案为：D.
【分析】将A点纵坐标代入直线y=2x算出对应的自变量x的值，求出点A的坐标；从图象角度看，求不等式的解集 ，就是求直线y=kx+b的图象在x轴上方，且在直线y=2x下方部分对应的自变量的取值范围，也就是求A、B段函数图象自变量的取值范围，据此求解即可.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：，
，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：．
【分析】由邻补角求出∠DCB的度数，然后根据平行四边形的对角相等得∠A=∠BCD，从而得出答案.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：A中，根据勾股定理以及正方形的面积公式即可得到，正确；B中，根据小正方形的边长是2即可得到，正确；
C中，根据四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积即可得到，正确；
D中，根据A，C联立结合完全平方公式可以求得x+y=，错误．
故选D．
【分析】根据勾股定理和正方形的面积列等式，逐项判断解答即可．
10．【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：A、由图②的第一段折线可知：点经过4秒到达点处，此时的三角形的面积为12，
，
，
∴动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动．
∴此选项不符合题意；
B、由图②的第三段折线可知：点再经过6秒到达点处，
，
图①中各角均为直角，
，
∴
∴a的值为30
∴此选项不符合题意；
C、由B可得EF=10；
∴此选项不符合题意；
D、∵
∵
∴x的值为7
此选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】由图②中的信息和三角形的面积公式分别求得图①中的线段，结合各选项即可判断求解．
11．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把代入直线得：，
解得：，
∴直线与x轴的交点坐标为（5，0），
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的整数解为2，3，4，共3个，故B正确．
故选：B.
【分析】求出直线与x轴的交点坐标，然后得到在x轴上方且直线 在直线 上方的自变量x的取值范围即可．
12．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC＝10，BD＝24，
∴菱形的面积=，
故答案为：C．
【分析】由菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可．
13．【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：分．
即他在此项活动中的得分是分．
故答案为：.
【分析】利用加权平均数公式计算解答．
14．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向右平移2个单位后的函数解析式是.
故答案为：．
【分析】根据函数图象平移规律“左加右减（影响x），上加下减（影响y）”可直接得出答案.
15．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
∴菱形的面积是，
故答案为：．
【分析】根据菱形面积等于对角线积的一半解答即可．
16．【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵是平行四边形，
∴，
∵点E，F分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴；
故答案为：2．
【分析】根据平行四边形的性质得到BC=AD，然后根据三角形中位线定理解答即可．
17．【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：因为点在直线上，
所以把代入，可得，移项得到，
又因为点在直线上，把代入，可得，移项得到，
因为，
所以．
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将点、的纵坐标代入直线方程可得a、b的方程，解方程求出横坐标、的值，然后比较、的大小即可求解．
18．【答案】（11，60，61）
【知识点】勾股数；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），可得
第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）；
第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61）．
故答案为：（11，60，61）．
【分析】根据前三组勾股数，总结规律即可求出答案.
19．【答案】（1）解：
；
（2）
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）由题意，先根据二次根式性质将各式化简，然后根据实数的运算法则计算即可求解；
（2）根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”以及平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”计算，再合并同类二次根式即可求解．
（1）解：
；
（2）
．
20．【答案】解：（1）由题意，得，，且，
∴，，
解得，
∴，
∴，
∴的平方根是；
（2），
，
，
∴，，
∴，，
当为腰时，三边为1，1，3，，不符合三角形三边关系，舍去；
当为腰时，三边为3，3，1，，符合三角形三边关系，
∴的周长．
【知识点】二次根式有无意义的条件；三角形三边关系；开平方（求平方根）；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”和分式有意义的条件可得关于x的不等式，解之求得x、y的值， 然后结合平方根的定义即可求解 ；
（2）由题意，把原式变形为，根据偶次方的非负性和二次根式的非负性可得关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，根据等腰三角形的定义，分情况讨论即可求解．
21．【答案】（1）解：设与的函数表达式为，
由题意可得：
解得：
∴；
（2）当，，
，
答：张先生托运行李的质量为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）根据图象中的信息可知直线过点，然后用待定系数法可求解；
（2）由题意把代入（1）中的解析式计算即可求解．
（1）解：设与的函数表达式为，
由题意可得：
解得：
∴；
（2）当，，
，
答：张先生托运行李的质量为．
22．【答案】（1）解：由题意得，；
（2）解：，，由于七年级成绩的方差比八年级成绩的方差小，且两个年级的平均数和中位数相同，则七年级的成绩比八年级的成绩稳定；
（3）解：人，
∴估计此次活动成绩优秀的学生人数为280人．
【知识点】平均数及其计算；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：∵七年级成绩中得分为96的人数最多，
∴七年级成绩的众数为96，即；
把八年级成绩从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为92，94，
∴八年级成绩的中位数为，即；
【分析】（1）用七年级抽取10名学生成绩的和除以10即可求出七年级抽取10名学生成绩的平均数；
（2）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可求出b、c的值；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，方差越大数据波动越大，据此求解即可；
（3）用该校八年级学生的总人数乘以样本中八年级成绩优秀人数的占比即可估计此次活动八年级学生成绩优秀的人数.
23．【答案】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，
根据题意可得：，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）解：设采购篮球个，则采购足球为个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
，
，
∵x为整数，
∴x的值可为30，31，32，33．
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个，
方案二：采购篮球31个，采购足球19个，
方案三：采购篮球32个，采购足球18个，
方案四：采购篮球33个，采购足球17个；
（3）解：由题意，采购所需费用．
∵，
∴采购所需费用随的增大而增大，
又∵
∴当时，采购所需费用最小，最小值为（元）．
∴第一种方案所需费用最少，最少的费用是5400元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】
（1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据购买篮球和足球的费用列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设采购篮球个，则采购足球为个，根据篮球数量要求和总费用限制列出关于x的一元一次不等式组，解不等式组求出x的正整数解可求解；
（3）根据（2）中不同方案，计算各方案费用，比较得出费用最少的方案及费用．
（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，
根据题意可得：，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）解：设采购篮球个，则采购足球为个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
，
，
∵x为整数，
∴x的值可为30，31，32，33．
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个，
方案二：采购篮球31个，采购足球19个，
方案三：采购篮球32个，采购足球18个，
方案四：采购篮球33个，采购足球17个；
（3）解：由题意，采购所需费用．
∵，
∴采购所需费用随的增大而增大，
又∵
∴当时，采购所需费用最小，最小值为（元）．
∴第一种方案所需费用最少，最少的费用是5400元．
24．【答案】解：（1）
=16-6-4-1
=5，
；
（2）是直角三角形，理由如下：
由勾股定理得，
即
是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据割补法，结合三角形面积公式即可求解；
（2）根据勾股定理，分别求得的长，再用勾股定理的逆定理即可求解．
25．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，，
在和中，
∴；
（2）解：过E作于H，如图，
设，
在中，令得，令得，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在△BOD和△DHE中
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵．
又∵，
∴，
解得或（舍去），
∴；
（3）过E作于H，如图：
设，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
∵G为的中点，，
∴，
∵，
∴，
当时，最小值为，
∴最小值为
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意，根据角角边可得；
（2）过E作于H，设，由题意，易求出A、B两点的坐标，用角角边可证明，由全等三角形的对应边相等可得，由平行四边形的对边相等可得，，在Rt△DEF中，根据勾股定理可得关于m的方程解方程可求解；
（3）过E作于H，设，用角角边可证明，由全等三角形的性质易得，即可得，根据两点间的距离公式可得，根据偶次方的非负性可求解．
（1）证明：∵，
∴，
∴，，
在和中，
∴；
（2）解：过E作于H，如图，
设，
在中，令得，令得，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵．
又∵，
∴，
解得或（舍去），
∴；
（3）过E作于H，如图：
设，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
∵G为的中点，，
∴，
∵，
∴，
当时，最小值为，
∴最小值为
1 / 1
