四川省绵阳市游仙区2025-2026学年九年级上学期开学数学试题
1．（2025九上·游仙开学考）下列选项中，菱形不具有的性质是（ ）
A．四边相等 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
2．（2025九上·游仙开学考）若存在，则可化简为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九上·游仙开学考）现有一列数：6，3，3，4，5，4，3，若去掉一个数后，这列数的中位数仍不变，则的值可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2025九上·游仙开学考）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．6，8，10 C．，3，5 D．5，12，12
5．（2025九上·游仙开学考）如图，已知矩形的对角线的长为，连接矩形各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为（ ）．
A．10 B．20 C．30 D．40
6．（2025九上·游仙开学考）如图，某地用图像记录了2月份某天24小时的温度随时间变化的情况，请你仔细观察图像，根据图中提供的信息，判断下列描述与图像不符合的是（ ）
A．16时的温度约为1℃ B．在-3℃以上的时间约为16小时
C．温度是-1℃的时刻只有10时 D．温度最低的时刻是4时
7．（2025九上·游仙开学考）已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025九上·游仙开学考）某女子体操队5名队员的身高分别为，某男子体操队5名队员的身高分别为，则关于这两个队的队员身高，下列描述正确的是（ ）
A．平均数相同 B．中位数相同 C．众数相同 D．方差相同
9．（2025九上·游仙开学考）如图，已知四边形是平行四边形，，，，点是上一动点，为的中点，连接，，当时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025九上·游仙开学考）1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（ ）
A．2，3，4 B．5，6，11 C．6，8，10 D．7，12，14
11．（2025九上·游仙开学考）如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上一点，将沿直线折叠，得到，连接，．若四边形是菱形，则的长为（ ）．
A．1 B． C．2 D．
12．（2025九上·游仙开学考）如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2025九上·游仙开学考）在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，点P的坐标为，则点P到直线l的最短距离为 ．
14．（2025九上·游仙开学考）点是直线上的两点，则 (填或或)
15．（2025九上·游仙开学考）如图，在中，，，分别以为一边向外部作正方形，它们的面积分别为、，则的值为 ．
16．（2025九上·游仙开学考）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为 ．
17．（2025九上·游仙开学考）如果直线l是由直线向下平移得到，且直线l过点，那么直线l的函数表达式为 ．
18．（2025九上·游仙开学考）如图，点E是正方形的边延长线一点，连接交于F，作，交的延长线于G，连接，当时，作于H，连接，则：①点F是的中点；②；③；④．其中正确的结论有 ．
19．（2025九上·游仙开学考）计算：
（1）
（2）
20．（2025九上·游仙开学考）2025年，随着“体重管理年”三年行动的实施，“全民减重”“全民健康”“全民运动”备受关注，成为全年龄段关注热点．我校强调落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划．为了解学生一周的课后运动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课后运动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）求图1中的________，本次调查数据的中位数是________，本次调查数据的众数是________；
（2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课后运动时间是多少？
（3）若该校共有3000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课后运动时间不小于的人数．
21．（2025九上·游仙开学考）龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，位于洛阳市南郊伊河两岸的龙门山与香山上．为更好地提振文旅消费，该地管理部门推出了针对学生的门票优惠政策．
优惠方案一：每位学生在原价元的基础上全部八折收费．
优惠方案二：若学生人数不超过，每位学生在原价元的基础上全部按九折收费；若学生人数超过，其中名学生按照原价收费，剩余学生按五折收费．
（1）分别写出这两个优惠方案实际收取的费用（单位：元）与参观的学生人数之间的函数解析式．
（2）当学生人数超过时，试讨论选择哪种优惠方案较合算．
22．（2025九上·游仙开学考）如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：CD＝EF；
（2）猜想：△ABC的面积与四边形BDEF的面积的关系，并说明理由．
23．（2025九上·游仙开学考）已知四边形是一张矩形纸片，将四边形沿翻折，使点和点重合，点落在点处，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形．
24．（2025九上·游仙开学考）如图1，在边长为的正方形中，点、分别为，的动点，且，连接、交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若点为中点时，求的长；
（3）如图2，将正方形沿着折叠，使得点落在边的三等分点处，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形四边相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角，
∴A、B、D选项不符合题意；
∵菱形的对角线不一定相等，
∴菱形不具有的性质是对角线相等，
∴选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】菱形对角相等，邻角互补；菱形四边相等；菱形对角线互相垂直平分、每条对角线平分一组对角，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意知，∵存在，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】由题意得，然后根据的化简，平方差公式约分化简解答即可．
3．【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数从小到大排序得3，3，3，4，4，5，6，
∴中位数为4，
∵去掉一个数后，这列数的中位数仍不变，
∴x=3，
故答案为：A
【分析】先将数从小到大排序，再根据中位数的定义结合题意即可求解。
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：选项A：2，3，4．最长边为4，计算得，而，故不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
选项B：6，8，10．最长边为10，计算得，与 相等，故能组成直角三角形，故本选项符合题意．
选项C：，3，5．最长边为5，计算得，而，故本选项不符合题意．
选项D：5，12，12．最长边为12，计算得，而，故本选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项解答即可．
5．【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，由矩形性质可知，，
∵、是与的中点，
∴是的中位线，
∴（cm），
同理，，
∴四边形的周长为20cm.
故答案为：B．
【分析】连接，根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理易得四边形的各边长等于矩形对角线的一半，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、由图象可知，16时的温度约为1℃，
∴此选项不符合题意；
B、由图象可知，从8时到24时的温度在-3℃以上，持续时间为16小时，
∴此选项选项不符合题意；
C、由图象可知，10时和20时的温度均为-1℃，
∴此选项选项符合题意；
D、由图象可知，温度最低的时刻时4时，约为-5℃，
∴此选项选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据图象中的信息并结合各选项即可判断求解．
7．【答案】B
【知识点】正比例函数的图象
【解析】【解答】解：在中，随的增大而减小，
，
函数图象在二、四象限，
，
，
函数的图象在一、三象限，
故答案为：B．
【分析】根据正比例函数图象与系数之间的关系“当k＞0时，直线经过一、三象限；当k＜0时，直线经过二、四象限”并结合各选项即可判断求解．
8．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：某女子体操队5名队员的身高的中位数为：161，众数为：161，
平均数为：，
方差为：，
某男子体操队5名队员的身高的中位数为：183，众数为：183，
平均数为：，
方差为：，
综上所述，这两个队的队员身高的方差相同．
故答案为：D．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵平行四边形中，，，，且（为坐标原点 ），
∴，
∵为中点，，，
∴．
设
∵，
∴，
解方程得，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形性质“平行四边形的对边相等”可确定点的坐标，由线段中点的意义可求得线段中点的坐标，设点坐标为（x，2），根据并结合两点间的距离公式可得关于x的方程，解方程即可求解．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图：
由题意得：，
∴，
∴以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，
∵，，，，
∴选取的三块正方形纸片的面积可以是5，6，11，
故答案为：B．
【分析】据勾股定理可得：，然后由正方形的面积公式可得：以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，结合各选项即可判断求解．
11．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在直角三角形中，，，，
，
，
又是边的中点，
，
又四边形是菱形，
设交于点，
，
将沿直线折叠，得到，
，
在中，
，
由折叠知：
，
，
故答案为：A．
【分析】根据直角三角形中特殊的角度及勾股定理求出边长，再有点是边的中点及菱形的性质求出菱形对角线的长度，然后又等量代换可求解．
12．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
平分，于点H，
，，
和是等腰直角三角形，
，
，
∴，
在和中，
，
∴，
，
故正确，
，
，
，，
，，
∴平分；
故正确；
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
连接．
，
，
，
，
，
，
，
，故正确．
故选：D．
【分析】根据角平分线的定义得到，即可得到和是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得到，即可判断①；根据AAS得到和全等，根据全等三角形的性质得到，再根据等边对等角得到，进而求出判断；求出，然后利用等角对等边得到，判断；连接，根据全等三角形的对应边相等得到，即可得到判断④解答即可．
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；坐标与图形性质；三角形的面积；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：
，
令，
，
点在的图象上，
设过点P平行于直线的解析式为，当直线与抛物线只有一个交点时，此时点P到直线l有最短距离，
联立方程组得：，
消去得：，
当时，即，
解得：，
过点P的直线的解析式为，
如图：过点作，
当时，，，
，，
当时，
，即：，
，即：，
，，
在中，根据勾股定理得：
，
，
，
解得：，
点P到直线l的最短距离为，
故答案为：．
【分析】变形点的纵坐标，结合点的坐标与图形性质得点P在的图象上，由互相平行直线斜率相同，设过点P平行于直线的解析式为，当直线与抛物线只有一个交点时，点P到直线l有最短距离，联立直线与抛物线的解析式得，由方程只有唯一解，利用判别式得，从而可得过点P的直线的解析式为，过点作，利用函数图象与坐标轴交点的坐标特点求出A、B、C点坐标，利用勾股定理得，再利用等面积法即可求解.
14．【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵点是直线上的两点，且，
∴．
故答案为：.
【分析】根据一次函数的增减性“当时， 随 的增大而增大，当时， 随 的增大而减小”并结合题意即可求解．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：设，
则
又∵在中，，，
∴
∴的值为，
故答案为：．
【分析】设，由正方形的面积公式得，根据勾股定理可得，从而整体代入即可得出答案．
16．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：设点坐标为，
把代入，
得，解得，
则点坐标为，
所以当时，，
函数的图象经过点，
时，，
不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】先求出点点坐标，然后根据函数图象得到，在x轴上方且满足当直线 在直线 上方时自变量x的取值范围即可．
17．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设直线l是由直线向下平移m个单位得到，
∴直线l为：，
∵直线l过点，
∴，
解得：，
∴直线l为：
故答案为：．
【分析】设直线l是由直线向下平移m个单位得到，由函数图象平移规律“上加下减（影响y）”可得直线l的解析式为，把点代入，求出m的值，即可得出直线l的函数表达式．
18．【答案】①③④
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，即点F是的中点，故①正确；
过点作于点，如图所示：
四边形是正方形，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
延长交于点，作，，
，，
，，
在中，，
．
∵，
，
，
，即是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，故③正确；
在与中，
，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是的平分线，
∴，故④正确；
在等腰与等腰中，
，
，
，
四边形是正方形，，，
，，
，
，故②错误，
综上分析可知，①③④正确．
故答案为：①③④．
【分析】证明，即可得到，，判断①；过点作于点，利用得到、，进而得到是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出，判断③，④；得到，即可得到，进而得到，判定②解答即可．
19．【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）由二次根式乘法法则“”及二次根式除法法则“”计算二次根式的乘除法，然后再根据二次根式的性质化简二次根式，最后合并同类二次根式即可；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式展开括号，同时根据二次根式性质化简二次根式，最后计算有理数的减法即可得．
20．【答案】（1）25，3，3
（2）解：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是，
答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是；
（3）解：（人）
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
∴，
将调查数据从小到大顺序排列，则中位数为第位与第位数据的平均数，
∴中位数为，
由条形统计图可知，课后运动时间为的人数最多，则众数为；
故答案为：25，3，3；
【分析】（1）利用劳动时间为4小时的人数除以总人数求得的值，在利用中位数与众数的定义解答即可；
（2）利用加权平均数的公式计算解答；
（3）用学校的学生数乘以3小时及以上的人数的占比解答即可．
（1）解：，
∴，
将调查数据从小到大顺序排列，则中位数为第位与第位数据的平均数，
∴中位数为，
由条形统计图可知，课后运动时间为的人数最多，则众数为；
故答案为：25，3，3；
（2）解：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是，
答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是；
（3）解：（人）
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人．
21．【答案】（1）解：由题意，得；
当时，；
当时，
（2）解：由，得，
，得，
，得，
∴当时，选择方案一较合算；
当时，两种方案费用相同；
当时，选择方案二较合算
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据题意，方案一中每位学生的票价为元，那么x个学生的费用就是24x元，方案二中当学生人数不超过30时，每位学生的票价为元，总费用为27x元，而人数超过30时，总费用为(15x+450)元；
(2)围绕24x与15x+450的大小关系分三种情况讨论，可以得出不同人数范围下，哪种方案更合算。
22．【答案】（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝FC，
∵DE∥FC，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴CD＝EF；
（2）△ABC的面积＝四边形BDEF的面积，理由如下：
∵AE＝CE，
∴△ADE的面积＝△DEC的面积，
∵四边形DCFE是平行四边形，
∴△DEC的面积＝△ECF的面积，
∴△ADE的面积＝△ECF的面积，
∴△ABC的面积＝四边形BDEF的面积．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得DE∥BC，DE＝BC，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形DCFE是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可求解；
（2）根据等底同高的两个三角形的面积相等可得△ADE的面积＝△DEC的面积，由平行四边形的性质可知△DEC的面积＝△ECF的面积，再根据等量代换即可证得△ABC的面积＝四边形BDEF的面积．
（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝FC，
∵DE∥FC，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴CD＝EF；
（2）△ABC的面积＝四边形BDEF的面积，
理由：∵AE＝CE，
∴△ADE的面积＝△DEC的面积，
∵四边形DCFE是平行四边形，
∴△DEC的面积＝△ECF的面积，
∴△ADE的面积＝△ECF的面积，
∴△ABC的面积＝四边形BDEF的面积．
23．【答案】（1）证明：四边形是矩形，将四边形沿翻折，使点和点重合，点落在点处，
，，
∴，
；
（2）证明：∵
，
∵四边形BCD是矩形，
∴AE∥CF，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由矩形及折叠的性质得，，由角的构成及同角的余角相等得，从而利用“ASA”判断出△ABF≌△AGE；
（2）由全等三角形的对应边相等及折叠性质得CF=AF=AE，由矩形的对边平行得AE∥CF，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形AECF是平行四边形，进而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论.
24．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图1，延长交的延长线于，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴是斜边上的中线，
∴.
（3）如图2，连接，过点作于，
则在四边形中，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
由翻折变换的性质得，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵点是的三等分点，
当时或，
在中，由勾股定理得：，
当时，，
∴的长为或．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据正方形性质，利用SAS证明，即可得到，然后根据直角三角形的两锐角互余证明即可；
（2）延长交的延长线于，即可得到，进而得到，再根据直角三角形斜边中线性质证明结论；
（3）连接，过点作于，即可得到，进而得到，然后利用勾股定理求出长解答即可．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图1，延长交的延长线于，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴是斜边上的中线，
∴.
（3）如图2，连接，过点作于，
则在四边形中，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
由翻折变换的性质得，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵点是的三等分点，
当时或，
在中，由勾股定理得：，
当时，，
∴的长为或．
1 / 1四川省绵阳市游仙区2025-2026学年九年级上学期开学数学试题
1．（2025九上·游仙开学考）下列选项中，菱形不具有的性质是（ ）
A．四边相等 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形四边相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角，
∴A、B、D选项不符合题意；
∵菱形的对角线不一定相等，
∴菱形不具有的性质是对角线相等，
∴选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】菱形对角相等，邻角互补；菱形四边相等；菱形对角线互相垂直平分、每条对角线平分一组对角，据此逐一判断得出答案.
2．（2025九上·游仙开学考）若存在，则可化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意知，∵存在，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】由题意得，然后根据的化简，平方差公式约分化简解答即可．
3．（2025九上·游仙开学考）现有一列数：6，3，3，4，5，4，3，若去掉一个数后，这列数的中位数仍不变，则的值可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数从小到大排序得3，3，3，4，4，5，6，
∴中位数为4，
∵去掉一个数后，这列数的中位数仍不变，
∴x=3，
故答案为：A
【分析】先将数从小到大排序，再根据中位数的定义结合题意即可求解。
4．（2025九上·游仙开学考）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．6，8，10 C．，3，5 D．5，12，12
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：选项A：2，3，4．最长边为4，计算得，而，故不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
选项B：6，8，10．最长边为10，计算得，与 相等，故能组成直角三角形，故本选项符合题意．
选项C：，3，5．最长边为5，计算得，而，故本选项不符合题意．
选项D：5，12，12．最长边为12，计算得，而，故本选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项解答即可．
5．（2025九上·游仙开学考）如图，已知矩形的对角线的长为，连接矩形各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为（ ）．
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，由矩形性质可知，，
∵、是与的中点，
∴是的中位线，
∴（cm），
同理，，
∴四边形的周长为20cm.
故答案为：B．
【分析】连接，根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理易得四边形的各边长等于矩形对角线的一半，即可求解.
6．（2025九上·游仙开学考）如图，某地用图像记录了2月份某天24小时的温度随时间变化的情况，请你仔细观察图像，根据图中提供的信息，判断下列描述与图像不符合的是（ ）
A．16时的温度约为1℃ B．在-3℃以上的时间约为16小时
C．温度是-1℃的时刻只有10时 D．温度最低的时刻是4时
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、由图象可知，16时的温度约为1℃，
∴此选项不符合题意；
B、由图象可知，从8时到24时的温度在-3℃以上，持续时间为16小时，
∴此选项选项不符合题意；
C、由图象可知，10时和20时的温度均为-1℃，
∴此选项选项符合题意；
D、由图象可知，温度最低的时刻时4时，约为-5℃，
∴此选项选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据图象中的信息并结合各选项即可判断求解．
7．（2025九上·游仙开学考）已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象
【解析】【解答】解：在中，随的增大而减小，
，
函数图象在二、四象限，
，
，
函数的图象在一、三象限，
故答案为：B．
【分析】根据正比例函数图象与系数之间的关系“当k＞0时，直线经过一、三象限；当k＜0时，直线经过二、四象限”并结合各选项即可判断求解．
8．（2025九上·游仙开学考）某女子体操队5名队员的身高分别为，某男子体操队5名队员的身高分别为，则关于这两个队的队员身高，下列描述正确的是（ ）
A．平均数相同 B．中位数相同 C．众数相同 D．方差相同
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：某女子体操队5名队员的身高的中位数为：161，众数为：161，
平均数为：，
方差为：，
某男子体操队5名队员的身高的中位数为：183，众数为：183，
平均数为：，
方差为：，
综上所述，这两个队的队员身高的方差相同．
故答案为：D．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
9．（2025九上·游仙开学考）如图，已知四边形是平行四边形，，，，点是上一动点，为的中点，连接，，当时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵平行四边形中，，，，且（为坐标原点 ），
∴，
∵为中点，，，
∴．
设
∵，
∴，
解方程得，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形性质“平行四边形的对边相等”可确定点的坐标，由线段中点的意义可求得线段中点的坐标，设点坐标为（x，2），根据并结合两点间的距离公式可得关于x的方程，解方程即可求解．
10．（2025九上·游仙开学考）1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（ ）
A．2，3，4 B．5，6，11 C．6，8，10 D．7，12，14
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图：
由题意得：，
∴，
∴以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，
∵，，，，
∴选取的三块正方形纸片的面积可以是5，6，11，
故答案为：B．
【分析】据勾股定理可得：，然后由正方形的面积公式可得：以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，结合各选项即可判断求解．
11．（2025九上·游仙开学考）如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上一点，将沿直线折叠，得到，连接，．若四边形是菱形，则的长为（ ）．
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在直角三角形中，，，，
，
，
又是边的中点，
，
又四边形是菱形，
设交于点，
，
将沿直线折叠，得到，
，
在中，
，
由折叠知：
，
，
故答案为：A．
【分析】根据直角三角形中特殊的角度及勾股定理求出边长，再有点是边的中点及菱形的性质求出菱形对角线的长度，然后又等量代换可求解．
12．（2025九上·游仙开学考）如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
平分，于点H，
，，
和是等腰直角三角形，
，
，
∴，
在和中，
，
∴，
，
故正确，
，
，
，，
，，
∴平分；
故正确；
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
连接．
，
，
，
，
，
，
，
，故正确．
故选：D．
【分析】根据角平分线的定义得到，即可得到和是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得到，即可判断①；根据AAS得到和全等，根据全等三角形的性质得到，再根据等边对等角得到，进而求出判断；求出，然后利用等角对等边得到，判断；连接，根据全等三角形的对应边相等得到，即可得到判断④解答即可．
13．（2025九上·游仙开学考）在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，点P的坐标为，则点P到直线l的最短距离为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；坐标与图形性质；三角形的面积；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：
，
令，
，
点在的图象上，
设过点P平行于直线的解析式为，当直线与抛物线只有一个交点时，此时点P到直线l有最短距离，
联立方程组得：，
消去得：，
当时，即，
解得：，
过点P的直线的解析式为，
如图：过点作，
当时，，，
，，
当时，
，即：，
，即：，
，，
在中，根据勾股定理得：
，
，
，
解得：，
点P到直线l的最短距离为，
故答案为：．
【分析】变形点的纵坐标，结合点的坐标与图形性质得点P在的图象上，由互相平行直线斜率相同，设过点P平行于直线的解析式为，当直线与抛物线只有一个交点时，点P到直线l有最短距离，联立直线与抛物线的解析式得，由方程只有唯一解，利用判别式得，从而可得过点P的直线的解析式为，过点作，利用函数图象与坐标轴交点的坐标特点求出A、B、C点坐标，利用勾股定理得，再利用等面积法即可求解.
14．（2025九上·游仙开学考）点是直线上的两点，则 (填或或)
【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵点是直线上的两点，且，
∴．
故答案为：.
【分析】根据一次函数的增减性“当时， 随 的增大而增大，当时， 随 的增大而减小”并结合题意即可求解．
15．（2025九上·游仙开学考）如图，在中，，，分别以为一边向外部作正方形，它们的面积分别为、，则的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：设，
则
又∵在中，，，
∴
∴的值为，
故答案为：．
【分析】设，由正方形的面积公式得，根据勾股定理可得，从而整体代入即可得出答案．
16．（2025九上·游仙开学考）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：设点坐标为，
把代入，
得，解得，
则点坐标为，
所以当时，，
函数的图象经过点，
时，，
不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】先求出点点坐标，然后根据函数图象得到，在x轴上方且满足当直线 在直线 上方时自变量x的取值范围即可．
17．（2025九上·游仙开学考）如果直线l是由直线向下平移得到，且直线l过点，那么直线l的函数表达式为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设直线l是由直线向下平移m个单位得到，
∴直线l为：，
∵直线l过点，
∴，
解得：，
∴直线l为：
故答案为：．
【分析】设直线l是由直线向下平移m个单位得到，由函数图象平移规律“上加下减（影响y）”可得直线l的解析式为，把点代入，求出m的值，即可得出直线l的函数表达式．
18．（2025九上·游仙开学考）如图，点E是正方形的边延长线一点，连接交于F，作，交的延长线于G，连接，当时，作于H，连接，则：①点F是的中点；②；③；④．其中正确的结论有 ．
【答案】①③④
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，即点F是的中点，故①正确；
过点作于点，如图所示：
四边形是正方形，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
延长交于点，作，，
，，
，，
在中，，
．
∵，
，
，
，即是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，故③正确；
在与中，
，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是的平分线，
∴，故④正确；
在等腰与等腰中，
，
，
，
四边形是正方形，，，
，，
，
，故②错误，
综上分析可知，①③④正确．
故答案为：①③④．
【分析】证明，即可得到，，判断①；过点作于点，利用得到、，进而得到是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出，判断③，④；得到，即可得到，进而得到，判定②解答即可．
19．（2025九上·游仙开学考）计算：
（1）
（2）
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）由二次根式乘法法则“”及二次根式除法法则“”计算二次根式的乘除法，然后再根据二次根式的性质化简二次根式，最后合并同类二次根式即可；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式展开括号，同时根据二次根式性质化简二次根式，最后计算有理数的减法即可得．
20．（2025九上·游仙开学考）2025年，随着“体重管理年”三年行动的实施，“全民减重”“全民健康”“全民运动”备受关注，成为全年龄段关注热点．我校强调落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划．为了解学生一周的课后运动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课后运动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）求图1中的________，本次调查数据的中位数是________，本次调查数据的众数是________；
（2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课后运动时间是多少？
（3）若该校共有3000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课后运动时间不小于的人数．
【答案】（1）25，3，3
（2）解：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是，
答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是；
（3）解：（人）
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
∴，
将调查数据从小到大顺序排列，则中位数为第位与第位数据的平均数，
∴中位数为，
由条形统计图可知，课后运动时间为的人数最多，则众数为；
故答案为：25，3，3；
【分析】（1）利用劳动时间为4小时的人数除以总人数求得的值，在利用中位数与众数的定义解答即可；
（2）利用加权平均数的公式计算解答；
（3）用学校的学生数乘以3小时及以上的人数的占比解答即可．
（1）解：，
∴，
将调查数据从小到大顺序排列，则中位数为第位与第位数据的平均数，
∴中位数为，
由条形统计图可知，课后运动时间为的人数最多，则众数为；
故答案为：25，3，3；
（2）解：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是，
答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是；
（3）解：（人）
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人．
21．（2025九上·游仙开学考）龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，位于洛阳市南郊伊河两岸的龙门山与香山上．为更好地提振文旅消费，该地管理部门推出了针对学生的门票优惠政策．
优惠方案一：每位学生在原价元的基础上全部八折收费．
优惠方案二：若学生人数不超过，每位学生在原价元的基础上全部按九折收费；若学生人数超过，其中名学生按照原价收费，剩余学生按五折收费．
（1）分别写出这两个优惠方案实际收取的费用（单位：元）与参观的学生人数之间的函数解析式．
（2）当学生人数超过时，试讨论选择哪种优惠方案较合算．
【答案】（1）解：由题意，得；
当时，；
当时，
（2）解：由，得，
，得，
，得，
∴当时，选择方案一较合算；
当时，两种方案费用相同；
当时，选择方案二较合算
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据题意，方案一中每位学生的票价为元，那么x个学生的费用就是24x元，方案二中当学生人数不超过30时，每位学生的票价为元，总费用为27x元，而人数超过30时，总费用为(15x+450)元；
(2)围绕24x与15x+450的大小关系分三种情况讨论，可以得出不同人数范围下，哪种方案更合算。
22．（2025九上·游仙开学考）如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：CD＝EF；
（2）猜想：△ABC的面积与四边形BDEF的面积的关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝FC，
∵DE∥FC，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴CD＝EF；
（2）△ABC的面积＝四边形BDEF的面积，理由如下：
∵AE＝CE，
∴△ADE的面积＝△DEC的面积，
∵四边形DCFE是平行四边形，
∴△DEC的面积＝△ECF的面积，
∴△ADE的面积＝△ECF的面积，
∴△ABC的面积＝四边形BDEF的面积．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得DE∥BC，DE＝BC，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形DCFE是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可求解；
（2）根据等底同高的两个三角形的面积相等可得△ADE的面积＝△DEC的面积，由平行四边形的性质可知△DEC的面积＝△ECF的面积，再根据等量代换即可证得△ABC的面积＝四边形BDEF的面积．
（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝FC，
∵DE∥FC，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴CD＝EF；
（2）△ABC的面积＝四边形BDEF的面积，
理由：∵AE＝CE，
∴△ADE的面积＝△DEC的面积，
∵四边形DCFE是平行四边形，
∴△DEC的面积＝△ECF的面积，
∴△ADE的面积＝△ECF的面积，
∴△ABC的面积＝四边形BDEF的面积．
23．（2025九上·游仙开学考）已知四边形是一张矩形纸片，将四边形沿翻折，使点和点重合，点落在点处，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，将四边形沿翻折，使点和点重合，点落在点处，
，，
∴，
；
（2）证明：∵
，
∵四边形BCD是矩形，
∴AE∥CF，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由矩形及折叠的性质得，，由角的构成及同角的余角相等得，从而利用“ASA”判断出△ABF≌△AGE；
（2）由全等三角形的对应边相等及折叠性质得CF=AF=AE，由矩形的对边平行得AE∥CF，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形AECF是平行四边形，进而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论.
24．（2025九上·游仙开学考）如图1，在边长为的正方形中，点、分别为，的动点，且，连接、交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若点为中点时，求的长；
（3）如图2，将正方形沿着折叠，使得点落在边的三等分点处，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图1，延长交的延长线于，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴是斜边上的中线，
∴.
（3）如图2，连接，过点作于，
则在四边形中，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
由翻折变换的性质得，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵点是的三等分点，
当时或，
在中，由勾股定理得：，
当时，，
∴的长为或．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据正方形性质，利用SAS证明，即可得到，然后根据直角三角形的两锐角互余证明即可；
（2）延长交的延长线于，即可得到，进而得到，再根据直角三角形斜边中线性质证明结论；
（3）连接，过点作于，即可得到，进而得到，然后利用勾股定理求出长解答即可．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图1，延长交的延长线于，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴是斜边上的中线，
∴.
（3）如图2，连接，过点作于，
则在四边形中，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
由翻折变换的性质得，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵点是的三等分点，
当时或，
在中，由勾股定理得：，
当时，，
∴的长为或．
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