四川省绵阳市安州区2025-2026学年九年级上学期开学数学试题
1．（2025九上·安州开学考）在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．且
2．（2025九上·安州开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九上·安州开学考）某校对部分参加夏令营的中学生的年龄进行统计，结果如下表：
年龄岁 13 14 15 16 17 18
人数/人 5 8 11 20 9 7
则这些学生年龄的众数是（ ）
A．13岁 B．14岁 C．15岁 D．16岁
4．（2025九上·安州开学考）下列叙述错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线相等
C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线相等的四边形是平行四边形
5．（2025九上·安州开学考）一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
6．（2025九上·安州开学考）如图，在中，AC，BD相交于点O，若，则线段AO的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．16
7．（2025九上·安州开学考）如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025九上·安州开学考）如图，在中，，，若，的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025九上·安州开学考）我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．如图，正方形与正方形是由四个全等的直角三角形拼成的，连结．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2025九上·安州开学考）如图，在中，，点从点出发沿边向点运动，运动到点停止，过点分别作交于点，交于点，则四边形形状的变化依次为（ ）
A．矩形菱形矩形
B．矩形正方形矩形
C．平行四边形菱形平行四边形
D．平行四边形正方形平行四边形
11．（2025九上·安州开学考）某商店在一周内卖出某品牌运动鞋的尺寸记录如：39，36，38，39，37，41，39，37，41，39，40．如果商店老板要再购进一批同样品牌的运动鞋，他应该关注这组数据的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
12．（2025九上·安州开学考）如图，，P是它内部一点，，，分别是，上的两个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
13．（2025九上·安州开学考）如果数据x1，x2，x3的平均数是5，那么数据x1＋2，x2＋2，x3＋2的平均数为 .
14．（2025九上·安州开学考）已知直线向下平移个单位后经过点，则值为 ．
15．（2025九上·安州开学考）某车间工人日加工零件数的情况如图所示，则这些工人日加工零件数的平均数是 个．
16．（2025九上·安州开学考）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，则菱形的面积为 ．
17．（2025九上·安州开学考）在平行四边形中，分别为的中点，与交于点．若四边形的周长为6，则平行四边形的周长为 ．
18．（2025九上·安州开学考）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 .
19．（2025九上·安州开学考）计算：
（1）；
（2）．
20．（2025九上·安州开学考）王大爷按每千克21元批发了一批樱桃到市场出售，为了方便，他带了一些零钱备用，先按市场价售出一些后，又降价出售，他手中持有的钱数y（元）（含备用零钱）与售出樱桃的质量x（kg）与之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）王大爷开始自备零钱是______元，降价前每千克樱桃的售价是______元．
（2）卖了几天，樱桃卖相不好了，随后他按每千克下降10元将剩余的樱桃售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是5920元，问他一共批发了多少千克的樱桃？一共赚了多少元？
21．（2025九上·安州开学考）公司生产、两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的、型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：），并进行整理、描述和分析（除尘量用表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
10台型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．
10台型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94
抽取的、型扫地机器人除尘量统计表
型号 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比
90 89 26.6
90 90 30
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_________，_________，_________；
（2）这个月公司可生产型扫地机器人共3000台，估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数；
（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
22．（2025九上·安州开学考）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A处．
（1）求旗杆距地面多高处折断；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处再次吹断，此时旗杆顶部到旗杆底部的距离？
23．（2025九上·安州开学考）如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．
（1）求△A的面积．
（2）通过计算判断的形状．
24．（2025九上·安州开学考）（1）若、都是实数，且满足，试化简代数式：．
（2）设、、为的三边，化简：．
25．（2025九上·安州开学考）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，点D是x轴负半轴上一点，连接，点C在第一象限内，，交AC于点C，设点D的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，，点F在上，点E在上，，，，连接交于点H，若，求点H的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】 【解答】解：在函数中，
函数的自变量有意义的条件是，，
解得且，
即自变量的取值范围是且，
故答案为：C．
【分析】根据分式有意义的条件“分母≠0”和二次根式有意义的条件"被开方数非负"可得关于x的不等式组，解之即可求解．
2．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，
∴此选项不符合题意；
B、≠3，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴此选项符合题意；
D、≠，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据“几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式”可知：与不是同类二次根式，不能合并；
B、根据合并同类二次根式法则计算可判断求解；
C、根据二次根式的乘法法则计算即可判断求解；
D、根据二次根式的除法法则计算即可判断求解.
3．【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由表中数据可知，16出现了20次，是出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是16岁.
故答案为：D.
【分析】利用众数就是一组数据中出现次数最多的数，据此可求解.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A. 平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意；
B. 矩形的对角线相等，正确，不符合题意；
C. 菱形的对角线互相垂直，正确，不符合题意；
D. 对角线相等的四边形不一定是平行四边形，原叙述错误，符合题意；
故选：D．
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形的性质，平行四边形的判定定理逐项判断解答即可.
5．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数
∴，，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，
故答案为：A．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系"一次函数（为常数，）是一条直线，当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大，当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小，图象与轴的交点坐标为"并结合题意即可求解．
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO= CO=AC= 4，
故答案为：B．
【分析】由平行四边形的对角线互相平分得 AO = CO=AC，即可求解 .
7．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由题意得，不等式的解集可以看作是函数的图象在的图象上方部分对应的自变量的取值范围．
∵函数和的图象相交于点，
∴结合图象可得，不等式的解集为，
故选：D．
【分析】根据直线 在直线 上方的自变量x的取值范围解答即可．
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】
解：∵在中，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积可得，然后根据平行四边形的对边相等可求解．
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵正方形，
∴，，
∴，
由题意，得，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】由正方形和全等三我的性质求得，，，然后根据勾股定理求出AD和DF的长，然后求出比值解答即可．
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：∵
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
在点的运动过程中，四边形始终是矩形，
当时，矩形是正方形，
四边形形状的变化依次为：矩形正方形矩形．
故答案为：B．
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形是矩形可得平行四边形是矩形，于是可知在点的运动过程中，四边形始终是矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可知：当时，矩形是正方形，结合点D的运动轨迹即可判断求解．
11．【答案】B
【知识点】中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：如果商店老板要再购进一批同样品牌的运动鞋，他应该关注这组数据的众数．
故答案为：B．
【分析】根据题意并结合众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”可知，商店老板最应关注的销售数据是众数．
12．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：先作点关于，的对称点，，连接，
，
，
，
是等边三角形，
，
的周长的最小值是
即的最小值是
故选：C
【分析】作点关于，的对称点，，连接，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据三角形周长即可求出答案.
13．【答案】7
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】 x1，x2，x3的平均数是5
故答案为：7.
【分析】根据平均数的计算公式“”可求解.
14．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线向下平移个单位后得到，
将点代入可得，
故答案为：．
【分析】根据一次函数的平移规律"左加右减，上加下减"可求出平移后的解析式，再将点代入解析式计算即可求解．
15．【答案】6
【知识点】条形统计图；平均数及其计算
【解析】【解答】解：依题意，（个）
∴这些工人日加工零件数的平均数为个
故答案为：6.
【分析】根据条形图确定某车间工人日加工零件数，再根据加权平均数的公式计算即可求解．
16．【答案】14
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
∴菱形的面积，
故答案为：14．
【分析】由菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可.
17．【答案】12
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴点O为的中点，
∵分别为的中点，
∴分别为的中位线，，
∴，
∵四边形的周长为6，
∴，
∴平行四边形的周长为．
故答案为：12.
【分析】根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，然后根据平行四边形的周长等于四边之和即可求解．
18．【答案】（11，60，61）
【知识点】勾股数；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），可得
第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）；
第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61）．
故答案为：（11，60，61）．
【分析】根据前三组勾股数，总结规律即可求出答案.
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）先根据二次根式性质将各式化简，然后根据二次根式的加减运算法则进行计算即可求解；
（2）根据二次根式混合运算法则“先算乘除、后算加减”进行计算即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】（1）500；36
（2）解：（千克），
（千克）；
（元），
答：他一共批发了170千克的樱他；一共赚了1850元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
（1）
解：由图象可知，王大爷自带的零钱为500元，
（元）
故答案为：500；36.
【分析】
（1）根据函数图象可知，王大爷开始自备零钱是500元，降价前一共卖了100千克，再列式：（计算即可求解；
（2）根据手中的钱（含备用的钱）是5920元，先求解销售数量，列式计算即可求解．
（1）解：由图象可知，王大爷自带的零钱为500元，
（元）
故答案为：500；36
（2）解：（千克），
（千克）；
（元），
答：他一共批发了170千克的樱他；一共赚了1850元．
21．【答案】（1）95；90；20
（2）解：（台），
答：估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数有900台；
（3）型号更好，
理由：在平均数均为90的情况下，型号的平均除尘量众数大于B型号的平均除尘量众数90．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）型中除尘量为95的有3个，数量最多，
所以众数a＝95；
B型中“良好”等级包含的数据有5个，则所占百分比为50%，
所以m%＝1－50%－30%＝20%，即m＝20；
因为B型中“合格”等级所占百分比为20%，
所以B型中“合格”的有2个，
所以B型中中位数b＝；
故答案为：95；90；20；
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出a，b，根据型扫地机器人中“优秀”等级所占百分比和“良好”等级包含的数据可求出m；
（2）用总数乘以型扫地机器人“优秀”等级所占百分比即可；
（3）可从众数的角度进行分析判断．
22．【答案】（1）解：∵一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，
∴米，
，
，
又米，
，
米，
∴米，
∴旗杆距地面3米处折断；
（2）解：如图，点距地面（米），
（米），
（米）.
答：此时旗杆顶部到旗杆底部的距离为米.
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】
（1）在Rt△ABC中，用勾股定理可得关于AC的方程，解方程即可求解；
（2）根据线段的和差AD=AC-CD求得点距地面的距离AD的值，在Rt△AB D中，用勾股定理可求解．
（1）解：∵一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，
∴米，
，
，
又米，
，
米，
∴米，
∴旗杆距地面3米处折断；
（2）解：如图，点距地面（米），
（米），
（米）
23．【答案】解：（1）
=16-6-4-1
=5，
；
（2）是直角三角形，理由如下：
由勾股定理得，
即
是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据割补法，结合三角形面积公式即可求解；
（2）根据勾股定理，分别求得的长，再用勾股定理的逆定理即可求解．
24．【答案】解：（1）∵、都是实数，且满足，
则且，所以，则．
∴
；
（2）∵、、为的三边，
∴，，，，
∴
．
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【分析】
（1）先根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式组，解之可求出的值，再把代入可求出的取值范围，然后根据二次根式的非负性即可求解；
（2）由三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”可得，，，，再根据二次根式的性质化简即可求解．
25．【答案】（1）解：由，令，得，
∴
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
把代入直线中，得
解得：，
∴直线的解析式为．
（2）解：如图，过A作交BC延长线于点E，
∵轴，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
在和中，
∴
∴
∵
∴；
（3）解：由（2）得，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
如图，过点E作交BC于点M，连接GM交AB于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴F、G、N、M在同一条直线上，，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴
∵，
，
∴，
∵，即，
∴，
在△CEM和△GEN中
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
设直线CG的解析式为，
将点，代入，得，
解得：
∴直线CG的解析式为
由
解得：
∴H．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-ASA；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意，令x=0可求得点A的坐标，根据等腰直角三角形的性质可得点B的坐标，再将点B的坐标代入直线AB的解析式计算即可求解；
（2）过A作交BC延长线于点E，由题意，用角边角可证明，由全等三角形的对应边相等可得，然后根据线段的和差BC+CE=BE=OA可得关于t的方程，解方程即可求解；
（3）过点E作交BC于点M，连接GM交AB于点N，根据角边角可证，，用待定系数法求出直线CG的解析式，然后将直线CG和和AB的解析式联立解方程组即可求解．
（1）解：由，令，得，
∴
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
把代入直线中，得
解得：，
∴直线的解析式为．
（2）解：如图，过A作交BC延长线于点E，
∵轴，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
在和中，
∴
∴
∵
∴；
（3）解：由（2）得
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
如图，过点E作交BC于点M，连接GM交AB于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴F、G、N、M在同一条直线上，，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴
∵，
，
∴，
∵，即，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
设直线CG的解析式为，
将点，代入，得，
解得：
∴直线CG的解析式为
由
解得：
∴H．
1 / 1四川省绵阳市安州区2025-2026学年九年级上学期开学数学试题
1．（2025九上·安州开学考）在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．且
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】 【解答】解：在函数中，
函数的自变量有意义的条件是，，
解得且，
即自变量的取值范围是且，
故答案为：C．
【分析】根据分式有意义的条件“分母≠0”和二次根式有意义的条件"被开方数非负"可得关于x的不等式组，解之即可求解．
2．（2025九上·安州开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，
∴此选项不符合题意；
B、≠3，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴此选项符合题意；
D、≠，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据“几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式”可知：与不是同类二次根式，不能合并；
B、根据合并同类二次根式法则计算可判断求解；
C、根据二次根式的乘法法则计算即可判断求解；
D、根据二次根式的除法法则计算即可判断求解.
3．（2025九上·安州开学考）某校对部分参加夏令营的中学生的年龄进行统计，结果如下表：
年龄岁 13 14 15 16 17 18
人数/人 5 8 11 20 9 7
则这些学生年龄的众数是（ ）
A．13岁 B．14岁 C．15岁 D．16岁
【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由表中数据可知，16出现了20次，是出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是16岁.
故答案为：D.
【分析】利用众数就是一组数据中出现次数最多的数，据此可求解.
4．（2025九上·安州开学考）下列叙述错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线相等
C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A. 平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意；
B. 矩形的对角线相等，正确，不符合题意；
C. 菱形的对角线互相垂直，正确，不符合题意；
D. 对角线相等的四边形不一定是平行四边形，原叙述错误，符合题意；
故选：D．
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形的性质，平行四边形的判定定理逐项判断解答即可.
5．（2025九上·安州开学考）一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数
∴，，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，
故答案为：A．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系"一次函数（为常数，）是一条直线，当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大，当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小，图象与轴的交点坐标为"并结合题意即可求解．
6．（2025九上·安州开学考）如图，在中，AC，BD相交于点O，若，则线段AO的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．16
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO= CO=AC= 4，
故答案为：B．
【分析】由平行四边形的对角线互相平分得 AO = CO=AC，即可求解 .
7．（2025九上·安州开学考）如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由题意得，不等式的解集可以看作是函数的图象在的图象上方部分对应的自变量的取值范围．
∵函数和的图象相交于点，
∴结合图象可得，不等式的解集为，
故选：D．
【分析】根据直线 在直线 上方的自变量x的取值范围解答即可．
8．（2025九上·安州开学考）如图，在中，，，若，的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】
解：∵在中，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积可得，然后根据平行四边形的对边相等可求解．
9．（2025九上·安州开学考）我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．如图，正方形与正方形是由四个全等的直角三角形拼成的，连结．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵正方形，
∴，，
∴，
由题意，得，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】由正方形和全等三我的性质求得，，，然后根据勾股定理求出AD和DF的长，然后求出比值解答即可．
10．（2025九上·安州开学考）如图，在中，，点从点出发沿边向点运动，运动到点停止，过点分别作交于点，交于点，则四边形形状的变化依次为（ ）
A．矩形菱形矩形
B．矩形正方形矩形
C．平行四边形菱形平行四边形
D．平行四边形正方形平行四边形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：∵
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
在点的运动过程中，四边形始终是矩形，
当时，矩形是正方形，
四边形形状的变化依次为：矩形正方形矩形．
故答案为：B．
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形是矩形可得平行四边形是矩形，于是可知在点的运动过程中，四边形始终是矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可知：当时，矩形是正方形，结合点D的运动轨迹即可判断求解．
11．（2025九上·安州开学考）某商店在一周内卖出某品牌运动鞋的尺寸记录如：39，36，38，39，37，41，39，37，41，39，40．如果商店老板要再购进一批同样品牌的运动鞋，他应该关注这组数据的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】B
【知识点】中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：如果商店老板要再购进一批同样品牌的运动鞋，他应该关注这组数据的众数．
故答案为：B．
【分析】根据题意并结合众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”可知，商店老板最应关注的销售数据是众数．
12．（2025九上·安州开学考）如图，，P是它内部一点，，，分别是，上的两个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：先作点关于，的对称点，，连接，
，
，
，
是等边三角形，
，
的周长的最小值是
即的最小值是
故选：C
【分析】作点关于，的对称点，，连接，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据三角形周长即可求出答案.
13．（2025九上·安州开学考）如果数据x1，x2，x3的平均数是5，那么数据x1＋2，x2＋2，x3＋2的平均数为 .
【答案】7
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】 x1，x2，x3的平均数是5
故答案为：7.
【分析】根据平均数的计算公式“”可求解.
14．（2025九上·安州开学考）已知直线向下平移个单位后经过点，则值为 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线向下平移个单位后得到，
将点代入可得，
故答案为：．
【分析】根据一次函数的平移规律"左加右减，上加下减"可求出平移后的解析式，再将点代入解析式计算即可求解．
15．（2025九上·安州开学考）某车间工人日加工零件数的情况如图所示，则这些工人日加工零件数的平均数是 个．
【答案】6
【知识点】条形统计图；平均数及其计算
【解析】【解答】解：依题意，（个）
∴这些工人日加工零件数的平均数为个
故答案为：6.
【分析】根据条形图确定某车间工人日加工零件数，再根据加权平均数的公式计算即可求解．
16．（2025九上·安州开学考）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，则菱形的面积为 ．
【答案】14
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
∴菱形的面积，
故答案为：14．
【分析】由菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可.
17．（2025九上·安州开学考）在平行四边形中，分别为的中点，与交于点．若四边形的周长为6，则平行四边形的周长为 ．
【答案】12
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴点O为的中点，
∵分别为的中点，
∴分别为的中位线，，
∴，
∵四边形的周长为6，
∴，
∴平行四边形的周长为．
故答案为：12.
【分析】根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，然后根据平行四边形的周长等于四边之和即可求解．
18．（2025九上·安州开学考）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 .
【答案】（11，60，61）
【知识点】勾股数；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），可得
第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）；
第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61）．
故答案为：（11，60，61）．
【分析】根据前三组勾股数，总结规律即可求出答案.
19．（2025九上·安州开学考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）先根据二次根式性质将各式化简，然后根据二次根式的加减运算法则进行计算即可求解；
（2）根据二次根式混合运算法则“先算乘除、后算加减”进行计算即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．（2025九上·安州开学考）王大爷按每千克21元批发了一批樱桃到市场出售，为了方便，他带了一些零钱备用，先按市场价售出一些后，又降价出售，他手中持有的钱数y（元）（含备用零钱）与售出樱桃的质量x（kg）与之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）王大爷开始自备零钱是______元，降价前每千克樱桃的售价是______元．
（2）卖了几天，樱桃卖相不好了，随后他按每千克下降10元将剩余的樱桃售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是5920元，问他一共批发了多少千克的樱桃？一共赚了多少元？
【答案】（1）500；36
（2）解：（千克），
（千克）；
（元），
答：他一共批发了170千克的樱他；一共赚了1850元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
（1）
解：由图象可知，王大爷自带的零钱为500元，
（元）
故答案为：500；36.
【分析】
（1）根据函数图象可知，王大爷开始自备零钱是500元，降价前一共卖了100千克，再列式：（计算即可求解；
（2）根据手中的钱（含备用的钱）是5920元，先求解销售数量，列式计算即可求解．
（1）解：由图象可知，王大爷自带的零钱为500元，
（元）
故答案为：500；36
（2）解：（千克），
（千克）；
（元），
答：他一共批发了170千克的樱他；一共赚了1850元．
21．（2025九上·安州开学考）公司生产、两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的、型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：），并进行整理、描述和分析（除尘量用表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
10台型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．
10台型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94
抽取的、型扫地机器人除尘量统计表
型号 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比
90 89 26.6
90 90 30
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_________，_________，_________；
（2）这个月公司可生产型扫地机器人共3000台，估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数；
（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）95；90；20
（2）解：（台），
答：估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数有900台；
（3）型号更好，
理由：在平均数均为90的情况下，型号的平均除尘量众数大于B型号的平均除尘量众数90．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）型中除尘量为95的有3个，数量最多，
所以众数a＝95；
B型中“良好”等级包含的数据有5个，则所占百分比为50%，
所以m%＝1－50%－30%＝20%，即m＝20；
因为B型中“合格”等级所占百分比为20%，
所以B型中“合格”的有2个，
所以B型中中位数b＝；
故答案为：95；90；20；
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出a，b，根据型扫地机器人中“优秀”等级所占百分比和“良好”等级包含的数据可求出m；
（2）用总数乘以型扫地机器人“优秀”等级所占百分比即可；
（3）可从众数的角度进行分析判断．
22．（2025九上·安州开学考）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A处．
（1）求旗杆距地面多高处折断；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处再次吹断，此时旗杆顶部到旗杆底部的距离？
【答案】（1）解：∵一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，
∴米，
，
，
又米，
，
米，
∴米，
∴旗杆距地面3米处折断；
（2）解：如图，点距地面（米），
（米），
（米）.
答：此时旗杆顶部到旗杆底部的距离为米.
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】
（1）在Rt△ABC中，用勾股定理可得关于AC的方程，解方程即可求解；
（2）根据线段的和差AD=AC-CD求得点距地面的距离AD的值，在Rt△AB D中，用勾股定理可求解．
（1）解：∵一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，
∴米，
，
，
又米，
，
米，
∴米，
∴旗杆距地面3米处折断；
（2）解：如图，点距地面（米），
（米），
（米）
23．（2025九上·安州开学考）如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．
（1）求△A的面积．
（2）通过计算判断的形状．
【答案】解：（1）
=16-6-4-1
=5，
；
（2）是直角三角形，理由如下：
由勾股定理得，
即
是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据割补法，结合三角形面积公式即可求解；
（2）根据勾股定理，分别求得的长，再用勾股定理的逆定理即可求解．
24．（2025九上·安州开学考）（1）若、都是实数，且满足，试化简代数式：．
（2）设、、为的三边，化简：．
【答案】解：（1）∵、都是实数，且满足，
则且，所以，则．
∴
；
（2）∵、、为的三边，
∴，，，，
∴
．
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【分析】
（1）先根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式组，解之可求出的值，再把代入可求出的取值范围，然后根据二次根式的非负性即可求解；
（2）由三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”可得，，，，再根据二次根式的性质化简即可求解．
25．（2025九上·安州开学考）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，点D是x轴负半轴上一点，连接，点C在第一象限内，，交AC于点C，设点D的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，，点F在上，点E在上，，，，连接交于点H，若，求点H的坐标．
【答案】（1）解：由，令，得，
∴
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
把代入直线中，得
解得：，
∴直线的解析式为．
（2）解：如图，过A作交BC延长线于点E，
∵轴，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
在和中，
∴
∴
∵
∴；
（3）解：由（2）得，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
如图，过点E作交BC于点M，连接GM交AB于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴F、G、N、M在同一条直线上，，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴
∵，
，
∴，
∵，即，
∴，
在△CEM和△GEN中
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
设直线CG的解析式为，
将点，代入，得，
解得：
∴直线CG的解析式为
由
解得：
∴H．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-ASA；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意，令x=0可求得点A的坐标，根据等腰直角三角形的性质可得点B的坐标，再将点B的坐标代入直线AB的解析式计算即可求解；
（2）过A作交BC延长线于点E，由题意，用角边角可证明，由全等三角形的对应边相等可得，然后根据线段的和差BC+CE=BE=OA可得关于t的方程，解方程即可求解；
（3）过点E作交BC于点M，连接GM交AB于点N，根据角边角可证，，用待定系数法求出直线CG的解析式，然后将直线CG和和AB的解析式联立解方程组即可求解．
（1）解：由，令，得，
∴
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
把代入直线中，得
解得：，
∴直线的解析式为．
（2）解：如图，过A作交BC延长线于点E，
∵轴，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
在和中，
∴
∴
∵
∴；
（3）解：由（2）得
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
如图，过点E作交BC于点M，连接GM交AB于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴F、G、N、M在同一条直线上，，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴
∵，
，
∴，
∵，即，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
设直线CG的解析式为，
将点，代入，得，
解得：
∴直线CG的解析式为
由
解得：
∴H．
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