2.4.1 圆的标准方程 教学设计（表格式）

教学设计
课题 2.4.1圆的标准方程
课型 概念课 课时 1
学习目标 能根据确定圆的几何要素：圆心和半径，结合两点距离公式，利用坐标法得到圆的标准方程； 能利用圆的标准方程判断点与圆的位置关系； (3)会根据给定的条件，利用圆的有关几何性质求圆的标准方程，体会数形结合的思想.
学习重点 掌握圆的标准方程的建立与应用；
学习难点 利用圆的几何性质求圆的标准方程．
学情分析 圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又学习了直线的方程的基础上进行研究的.但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅日数形结合的思想还比较薄弱，用代数法解决几何问题还不够熟悉.所以，在教学过程中要注重培养学生探究问题的能力，合作交流的意识. 学生在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前一章内容的基础上，在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，它与其他图形的位置关系及其应用.在这一过程中，进一步体会数形结合的思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力. 同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位.坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一.
核心知识 圆的标准方程的建立与应用
教学内容及教师活动设计 （含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备
1．提出问题，形象概括 问题1：在平面中，圆的定义是什么？如何用集合语言描述？ 【预设的答案】平面上，到定点的距离等于定长的点的集合，称为圆；其中，定点称为圆心，定长称为半径．设圆心为点，半径为，则圆就是以下点的集合：． 【设计意图】开门见山，引出课题“圆”．这是完成圆的标准方程的数学抽象第一阶段，即完成对现实世界中图形的抽象，得到圆的图形，获得圆的基本概念，此时是从感性具体上升到理性思维的过程，并引导学生用符号化的集合语言表示圆． 2．探究问题，生成新知 问题2：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？ 【预设的答案】设圆心的坐标为，半径为，为圆上任意一点，则根据两点间的距离公式有，两边平方得到(1)． 显然，若点在圆上，则点的坐标就满足方程(1)；反过来，若点的坐标满足方程(1)，就说明点与圆心间的距离为，点就在圆上． 如此，我们就可以通过方程(1)，在平面直角坐标系中确定一个圆． 问题3：圆的特征是什么？通过哪些要素刻画圆？ 【预设的答案】圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，通过圆心和半径这两个要素来刻画圆．所以，在平面直角坐标系中，确定一个圆的方程，核心就是确定它的圆心坐标以及半径大小．我们把方程(1)称为圆心为，半径为的圆的标准方程． 【设计意图】问题2和问题3是完成圆的标准方程的数学抽象第二阶段．第二阶段是基于逻辑的抽象，通过问题2和问题3，引导学生用符号化的语言表示圆的标准方程，从理性具体上升为理性一般的思维过程．这两个阶段同时也是学生完成直观想象的过程． 3．典例分析，深化理解 问题4： 例1．（1）判断下列方程是否为圆的方程： ①；②． （2）求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点是否在这个圆上． （3）点在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？ 【预设的答案】 解：（1）①是圆心为、半径为2的圆的方程； ②当时，不是圆的方程；当时，是圆心为、半径为的圆的方程． （2）圆心为，半径为5的圆的标准方程是． 把点的坐标代入方程成立，即点的坐标满足圆的方程，所以点在圆上； 把点的坐标代入方程不成立，即点的坐标不满足圆的方程，所以点不在圆上． （3）根据圆的定义，点在圆内的条件是点到圆心的距离小于半径，即；点在圆外的条件是点到圆心的距离大于半径，即． 【设计意图】例1（1）的设计有两个目的，一是加深学生对圆的方程结构特点的认识，二是已知圆的标准方程能获取圆心坐标和半径大小；方程②需要考虑是否为0，考察学生思维的严密性．（2）是课本上的例1，目的是引出（3），让学生学会判断点与圆的位置关系．这里有两种方法可以使用：一是根据点的坐标与圆的方程的关系判断（代数法），二是根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断（几何法）．最后引导学生发现几何法与代数法的内在联系，渗透数形结合思想． 问题5： 例2．写出下列各圆的标准方程： （1）圆心为，半径是； （2）圆心为，且经过点； （3）以线段为直径的圆，其中； （4）△的外接圆，其中． 【预设的答案】 解：（1）； （2）解法1（几何法）：设圆的半径为，则，所以圆的标准方程是． 解法2（代数法）：设圆的标准方程是,将点的坐标代入方程得，所以圆的标准方程是． （3）设圆的半径为，则，即；圆心为中点，即，所以该圆的标准方程是． （4）解法1（几何法）：设△的外接圆的圆心为，则点是线段的垂直平分线的交点． 由线段中点及直线斜率知线段的垂直平分线为；同理可得线段的垂直平分线为． 联立解得，即圆心坐标为． 而半径，所以△的外接圆的标准方程是． 解法2（代数法）：设△的外接圆的标准方程为，将三点坐标分别代入方程，联立解出参数的值． 此处略，详见课本P83例2解法． 【设计意图】例2为已知圆的相关条件，求圆的标准方程．通过例2的练习，帮助学生理解圆的标准方程由两个要素（圆心坐标、半径大小）确定，由浅入深，符合学生的认知规律．(1)直接给出圆心和半径，(2)需要求出半径，(3)、(4)需要间接求出圆心及半径，层层递进，渗透两种求法，为例3做铺垫． 问题6： 例3．已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程． 【预设的答案】解：解法1（几何法）：此处略，详见课本P84-85例3解法． 解法2（代数法）：设圆的标准方程为，将两点坐标分别代入得到两个方程，再将圆心坐标代入直线的方程可得第三个方程．联立三个方程解出参数的值． 【设计意图】例3在例2的基础上增加了难度，设计的目的是使学生明确求圆的标准方程关键是求出圆心坐标和半径，主要有两种方法： ①几何法：借助圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径大小； ②代数法（待定系数法）：设含有参数的圆的标准方程，建立关于的方程组，解出参数，求出圆的标准方程． 一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质做转化较为简捷． 4．课堂练习 练习3．已知两点，求以线段为直径的圆的标准方程，并判断点在圆上、圆内，还是在圆外． 练习4．已知△的三个顶点分别是点，求△的外接圆的标准方程．
板书设计
教学反思 圆的标准方程的本质是平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹方程，因此可以结合绘图软件，直观地展示轨迹生成的动态情境；利用动态几何软件的度量功能，还可直观地展示平面上一点到圆心的距离与半径的大小关系，从而可以直观地研究点与圆的位置关系；利用几何软件的绘图功能可以快速画出符合题意的图形.