18.1 分式及其基本性质 课件(共53张PPT) 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

(共53张PPT)
18.1 分式及其基本性质
第十八章 分式
18.1.1 从分数到分式
第十八章 分式
01
了解分式的概念.
02
掌握分式有意义的条件和值为零的条件.
一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相等.
如果设江水速度为 v km/h，则轮船顺流航行 90 km 所用时间为_______h，逆流航行 60 km 所用的时间为_______h.
(2)在越野滑雪比赛中，若一名滑雪运动员在平地滑行 a km 用时 b h，则他的平均速度为_____km/h；若他在上坡滑行 a km 比在平地滑行同样多的距离多用 c h，则他的平均速度为______km/h.
(1)长方形的面积为10，长为7，则宽为( )；长方形的面积为S，长为a，则宽为( ).
任务一：了解分式的概念.
活动1：根据情境回答问题.
问题：式子，，以及式子，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？和同伴一起交流.
相同点：
不同点：
分母中是否含有字母 （观察分母）
分子A、分母B都是整式.
在形式上都具有分数 形式；
分式：
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称 为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母.
①形如 的式子；
②A、B都是整式；
③分母B中含有字母. 三个条件缺一不可.
分式必须满足三个条件：
整式
整式
分式
整式
分式
分式
分式
分式
分式
整式
1.下列各式哪些是整式？哪些是分式？
1.看其原始形式是否满足定义中的三个条件，而不是看化简后的式子的形式.
2.判断时，注意含有π的式子，π是常数.
3.式子中含有多项时，若其中有一项分母含有字母，则该式也为分式.
判断一个式子是不是分式：
任务二：分式有意义的条件及分式的值为零的条件.
活动：小组互相讨论，完成下列问题.
问题1：已知分式 ，则
(1) 当 x=1 时，分式的值是多少
(2) 当x=-2时，你能求出分式的值吗
(3)当x=2时，分式的值是多少？
x=1，分式 = = -1 .
不能，当x=-2时，分式分母为0，没有意义.
x=2,分式 = = 0.
问题2：参照问题1，回答以下问题.
(1)要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？
(2)分式 在什么条件下值为0？
当A=0，且B≠0时，分式 的值为0.
当B≠0时，分式 有意义.
当B=0时，分式 无意义.
当B≠0时，分式 有意义.
当A=0而 B≠0时，分式 的值为零.
注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况.
2.如果分式 的值为0，求x的值是多少？
解：依题意得：x2-1=0且2x+2≠0，
分析：分式值为0的条件分子为0，分母不为0，求出x的值即可.
解得x=1，
即分式 的值为0时，x的值是1.
解：（1）要使分式有意义，则分母3x≠0，即 x≠0；
（2）要使分式有意义，则分母x-1≠0，即 x≠1；
（3）要使分式有意义，则分母5-3b≠0，即 b≠；
（4）要使分式有意义，则分母x-y≠0，即 x≠y.
3.下列分式中的分母满足什么条件时分式有意义：
（1） （2） （3） （4）
分式
分式的概念
分式有意义、无意义的条件
分式的值为0的条件
针对本课关键词“从分数到分式”，说说你学到了什么？
1.下列代数式中，属于分式的是（ ）
A. B. C. D.
C
2.一辆汽车行驶a千米用b小时，它的平均车速为 千米/小时；假设一列火车行驶a千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车速为______千米/小时.
3.已知分式 ，试问：
（1）当m为何值时，分式有意义？
（2）当m为何值时，分式值为0？
解：（1）由题意得，m2-3m+2≠0，
解得，m≠1且m≠2；
（2）由题意得，(m-1)(m-3)=0，m2-3m+2≠0，
解得，m=3，
则当m=3时，此分式的值为零．
18.1.2 分式的基本性质
课时1 分式的基本性质
第十八章 分式
01
理解分式的基本性质.
02
能熟练运用分式的基本性质将分式进行变形.
一列匀速行驶的火车，如果t小时行驶 s 千米,那么火车的速度为 km/h.
如果2t小时行驶 2s 千米,那么火车的速度为 km/h.
如果3t小时行驶 3s 千米,那么火车的速度为 km/h.
如果nt小时行驶 ns 千米,那么火车的速度为 km/h.
它们相等吗？
任务：分式的基本性质.
活动1：小组互相讨论，完成下列问题.
问题1：上面的分数是否相等？
问题2：这些分数相等的依据是什么？
思考：类比分数的性质，你能猜想分式有什么性质吗？
相等.
分数的基本性质:一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变．
分式的基本性质：分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.
式子表示： (其中A,B,C是整式.)
注意事项:
(1)分子和分母同时做“乘法（或除法）”运算；
(2)乘（或除以）的对象必须是同一个不等于0的整式.
×
×
√
√
1.判断正误：
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
活动2：下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质变形的？
解：(1)分式的分子与分母乘同一个不等于 0 的整式 c，分式的值不变，即
(2)分式的分子与分母除以同一个不等于 0 的整式 x，分式的值不变，即
例 填空：
÷x2
分母如何变化，分子也应做同样的变化
解：（1）因为 所以括号中应填 x .
÷3x
分子如何变化，分母也应做同样的变化
（2）因为 所以括号中应填 2x .
例 填空：
×a
×b
（3）因为 所以括号中应填 a .
（4）因为 所以括号中应填 2ab – b2 .
1.分子分母同时进行；
2.分子、分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减；
3.分子、分母同乘或同除以同一个整式；
4.除式是不等于零的整式.
运用分式的基本性质的注意事项：
2.不改变分式的值，使下列分式的分子、分母的符号均为正.
(1) ； (2) ； (3) .
解：(1) ；
(2) ；
(3) .
技巧：分式的分子、分母与分式本身这三处的正负号，同时改变两处，分式的值不变.
3.不改变分式的值,将分式的分子、分母中的系数都化为整数:
(1) (2)
解：(1)
(2)
技巧：分子、分母同时乘以各项系数的最小公倍数.
针对本课关键词“分式的基本性质”，说说你学到了什么？
分式的
基本性质
内容
注意
(1) 分子分母同时进行
(2) 分子分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减
(3) 分子分母只能同乘或同除以同一个非零的数或式
其中 A，B，C (C ≠ 0) 是整式
1. 若把分式中的 x 和 y 都扩大为原来的 5 倍，则分式的值（ ）
A. 扩大为原来的 5 倍
B. 不变
C. 缩小为原来的
D. 扩大为原来的 25 倍
A
2.对于分式 的变形一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
C
3.填空：
（3） （4）
（1） （2）
（1）
（4）
（3）
（2）x
18.1.2 分式的基本性质
课时2 分式的约分和通分
第十八章 分式
01
了解分式约分、通分的步骤和依据，掌握分式约分、通分的方法.
02
了解最简分式的意义，能将分式化为最简分式.
分数的约分和通分在分数中起着非常重要的作用，你还记得分数的约分和通分法则吗？
分数的约分：把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值保持不变，这个过程叫做分数的约分.
分数的通分：把分母不同的分数化成分母相同的分数，这个过程叫做分数的通分.
任务一：掌握分式约分的方法并能将分式化为最简分式.
活动1：根据分式的性质填空：
（ ）
思考：联想分数的约分，由上面的问题你能想出如何对分式进行约分吗？
（ ）
分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.
例如：
分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.例如： 、 .
提示：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
解：(1) ；
(2) ；
(1) ； (2) ； (3) .
约分：
分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式.
活动2：完成下列题目，并尝试归纳分式约分的一般步骤及注意事项.
(3) .
注意事项：（1）约分前后分式的值要相等.
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式.
(3) .
约分：
（1）若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
（2）若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
分式约分的一般步骤：
下列分式约分正确的是（　　）
A. B.
C. D.
D
分析：根据分式的基本性质对各个选项进行判断．
任务二：准确确定分式的最简公分母，熟练进行分式的通分.
活动1：和同伴一起交流，完成下列题目.
(1)通分:
(2)联想分数的通分，你能想出如何对分式进行通分吗？
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的分母叫做最简公分母.
分式的通分:
注意：确定最简公分母是通分的关键.
解：(1)最简公分母是 .
例 通分：(1) ； (2) .
与
与
(2)最简公分母是2(x-5)(x+5).
注意：在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数.
（1）若各分母是单项式，最简公分母是各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂和所有不同字母及其指数的乘积；
（2）若各分母中有多项式，一般要先分解因式，再按照分母都是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母.
确定最简公分母的一般方法：
约分 通分
分数 找分子与分母的 _____________ 找所有分母的
____________
分式 找分子与分母的 _____________ 找所有分母的
____________
依据 思考：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？
最大公因数
最小公倍数
公因式
最简公分母
分数/分式的基本性质
分式的约分和通分
约分
通分
将分式的分子、分母中的公因式约去：最简分式
找各分母的最简公分母，将各分式化成与原式相等的同分母的分式
针对本课关键词“约分”“通分” ，说说你学到了什么？
1.分式 的分母经过通分后变成2(a-b)2(a+b)，那么
分子应变为（　　）
A．6a(a-b)2(a+b) B．2(a-b)
C．6a(a-b) D．6a(a+b)
C
解：(1) ；
(2) ；
(3) .
2.约分：
(1) ； (2) ； (3) .
解：(1)最简公分母是 .
3.通分：
(1) ； (2) .
与
与
解：(2)最简公分母是 .
4. 已知 (m + 5)2 与 |7 – n| 互为相反数，则分式 的值为 ________.
当 m = – 5，n = 7 时，原式
(m + 5)2 + |7 – n| = 0
m + 5 = 0，7 – n = 0，
m = – 5，n = 7