18.4 整数指数幂 课件(共37张PPT) 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

(共37张PPT)
18.4 整数指数幂
课时1 整数指数幂的运算性质
第十八章 分式
01
理解负整数指数幂的概念.
02
掌握整数指数幂的运算性质，会进行简单的整数指数幂的运算.
溯源——幂的符号的演变
3 世纪
丢番图
Δγ，Kγ， ΔγΔ
Aq，Acu，Aqq
韦达(Vietè)
16 世纪
17 世纪
哈里奥特(Harriot)
aa，aaa，aaaa
a2，a3，a4
笛卡尔
1637年
思考：你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，如果 am 中的 m 可以是负整数，那么负整数指数幂 am 表示什么？
an这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广，1676年，牛顿提出了一个设想：“因为数学家将 aa，aaa，aaaa，···写成 a2，a3，a4，···，所以我将，，，···写成 a-1，a-2，a-3，···.”
任务一：理解负整数指数幂的概念.
活动1：小组互相讨论，完成下列问题.
问题一：根据分式的约分，当 a≠0 时，如何计算 ？
问题三：观察结果，你能得出什么结论？
问题二：如果把正整数指数幂的运算性质 （a≠0，m，n 是正整数，m >n）中的条件m >n 去掉，即假设这个性质对于像 的情形也能使用，如何计算？
问题一：根据分式的约分，当 a≠0 时，如何计算 ？
问题二：如果把正整数指数幂的运算性质 （a≠0，m，n 是正整数，m >n）中的条件m >n 去掉，即假设这个性质对于像 的情形也能使用，如何计算？
问题三：观察结果，你能得出什么结论？
一般地，当n是正整数时，
这就是说 （a≠0）是 的倒数.
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数.
想一想：说说m分别是正整数，0，负整数时，am各表示什么意思.
当m是正整数时，am表示m个a相乘.
当m是负整数时，am表示 |m| 个a相乘结果的倒数或 |m| 个 相乘.
当m=0，am表示a的0次幂，值为1.
任务二：掌握整数指数幂的运算性质.
活动1：引入负整数指数和0指数后，am·an=am+n（m，n 是正整数）,这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？和同伴交流并完成下列问题.
问题探究：从特殊的情形入手，
a2· a-5
= a( )=a2+( );
a5
a3
- 3
-5
a-3· a-5=
a0· a-5=
= a-8
= a-3+(-5);
= a-5
= a0+(-5).
小结：am·an=am+n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用.
思考：类似地，用负整数指数幂或 0 指数幂对其他四个正整数指数幂的运算性质进行尝试，看看这些性质在整数指数幂范围内是否使用.
1．幂的乘方： （m，n是正整数）；
2．积的乘方： （n是正整数）；
3．同底数的幂的除法： （ a≠0，m，n是正整数m＞n）；
4．商的乘方： （n是正整数）；
例1 计算：(1) a–2÷a5；
(3) (a–1b2)3；
(4) a–2b2·(a2b–2)–3.
解：(1) a–2÷a5= a–2 – 5
= a–7
(3) (a–1b2)3= a–3b6
(4) a–2b2·(a2b–2)–3= a–2b2·a–6b6
= a–8b8
活动2：下列等式是否正确？为什么？
1. 根据整数指数幂的运算性质，当m,n为整数时，am ÷an=am-n.
又am ·a-n=am-n，因此am ÷an=am ·a-n.
即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法.
2. 特别地，
即商的乘方可以转化为积的乘方.
所以
整数指数幂的运算性质可以归结为：
(1)am·an=am+n (m、n是整数) ；
(2)(am)n=amn (m、n是整数) ；
(3)(ab)n=anbn (n是整数).
整数指数幂
1.零指数幂：当a≠0时，a0=1.
2.负数指数幂：当n是正整数时，a-n =(a≠0)
3.整数指数幂运算性质：
(1)am·an=am+n (m、n是整数) ；
(2)(am)n=amn (m、n是整数) ；
(3)(ab)n=anbn (n是整数).
1.计算： .
解：
2.计算.
(1)x2y-3(x-1y)3； (2)(2ab2c-3)-2÷(a-2b)3.
解：(1)原式=x2y-3x-3y3
=x2+(-3)y-3+3
=x-1y0
(2)原式=2-2a-2b-4c6÷a-6b3
=2-2a-2-(-6)b-4-3c6
=2-2a4b-7c6
3. 已知 a = 2–55，b = 3–44，c = 4–33，d = 5–22，则这四个数从小到大排列的顺序是___________.
解析：因为 a = 2–55 = (2–5)11
b = 3–44 = (3–4)11
c = 4–33 = (4–3)11
d = 5–22 = (5–2)11
而
b18.4 整数指数幂
课时2 用科学记数法表示小于1的正数
第十八章 分式
01
理解科学记数法中a和n的取值方法.
02
会用科学记数法表示小于1的数，并探究指数与小数中零的个数的关系.
我们已经知道，一些较大的数适合用科学记数法表示，例如光速约为3×108m/s，太阳的半径约为6.96×105km，2010年世界人口总数约为6.9×109等.
那么，类似0.00001、0.0000257、 0.0000000257这样的数能不能也用科学记数法表示？
任务一：用科学记数法表示小于1的数.
活动1：小组合作讨论，完成下列问题.
1.把下面的数写成小数的形式：
10-1= ，10-2= ，10-3= ，10-4= ，…，
10-9= ，…，
10-n=
2.把小数化成负整数指数幂的形式：
0.1= ，0.01= ，0.001= ，0.0001= ，…，
0.000 000 001= ，…，0.00 … 01= .
1×10-n
10-1
10-2
10-3
10-4
10-9
0.1
0.01
0.001
0.000 1
0.000 000 001
0.00….01
n个0
小结：n等于1前边所有0的个数，包括小数点前边的0.
思考：怎样用上述记数方法表示0.000 025 7和0.000 000 025 7？并比较两个数的大小.
0.000 025 7=
2.57×10-5
2.57×0.000 01=
0.000 000 025 7=
2.57×0.000 000 01
=2.57× 10-8
问题：对于一个小于1的正小数用科学记数法a× 10-n表示时，a和n有什么特点？
小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数.
这种形式更便于比较数的大小和运算，
例如，自然科学和生活中经常用到的分(d)、厘(c)、毫(m)、微(μ)、纳(n)等国际单位制词头，其中微对应10–6，纳对应10 –9.微米(μm)、纳米(nm)都是长度单位，1μm=10 –6 m，1nm=10 –9m.
1.计算：(结果用科学记数法表示)
(1)解：原式=(2×8)×(107×10－9)
=1.6×10－1；
(1) (2×107)×(8×10－9)；
(2) (5.2×10－9)÷(－4×103)．
(2)解：原式=[5.2÷(－4)]×(10－9÷103)
=－1.3×10－12.
任务二：探究指数与小数中零的个数的关系.
活动1：和同伴一起交流，完成下列问题.说说你是如何用科学记数法表示小于1的正数的.
问题1：用科学记数法表示下列的数.
0.0045= ___________; 0.00045= ___________;
0.000045= .
4.5×10-3
4.5×10-4
4.5×10-5
问题2：如果一个小于1的小数，小数点后第一个非0数前面有n个0(包括小数点前面的那个0)，用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少？
问题3：直接用科学记数法表示0.0035 和 0.0000982.
0.0000982= 9.82×10 – 5
0.0035 = 3.5×10 – 3
3个0
5个0
(1)确定a：a是大于或等于1且小于10的数；
(2)确定n：确定n的方法有两种：
①n等于原数中左起第一个非0数前0的个数（包括小数点前的那个0）；
②小数点向右移到第一个非0的数后，小数点移动了几位，n就等于几；
(3)将原数用科学记数法表示为a×10-n（其中1≤a<10，n是正整数）.
用科学记数法表示小于1的正数的一般步骤：
2.用科学记数法表示下列数：
(1)0.000 074；
(2)0.003 06.
解：
(1)7.4×10-5；
(2)3.06×10-3.
3.用小数表示下列数：
(1)2.102×10-5；
(2)9.15×10-4.
解：
(1)0.000 021 02；
(2)0.000 915.
分析：把a×10-n 还原成原数时，只需把a的小数点向左移动n位.
活动：碳纳米管是一种前沿纳米材料，有很多神奇的特性. 它是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管，其直径一般为 2~20 nm. 通常一根头发丝的直径约为 70 μm.
任务三：科学记数法的应用.
问题提出：一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的多少倍？
问题探究：（1）1nm可以换算为多少米，1μm呢？
（2）所求结果是确定值吗？
问题解决：
碳纳米管直径一般为 2~20 nm. 一根头发丝的直径约为 70 μm.
问题提出：一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的多少倍？
70μm=70×106m，2 nm=2×10–9m，20nm=20×10 –9m.
(70×10–6)÷(2×10–9)=3.5×104
(70×10–6)÷(20×10–9)=3.5×103
答：一根头发丝的直径是碳纳米管直径的3.5×103 ～3.5×103倍.
4. 标准条件下 1 cm3 空气的质量约为 1.293×10–3 g，则标准条件下 1 m3 空气的质量约是多少克？(用科学记数法表示)
解： 1 m3 = 100×100×100 cm3 = 106 cm3
106×1.293×10–3 = 1.293×103 (g)
因此，标准条件下 1 m3 空气的质量约是 1.293×103 克.
科学记数法
表示较小的数
确定n的方法
小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式，其中1≤a<10，n是正整数.
①n等于原数中左起第一个非0数前0的个数（包括小数点前的那个0）
②小数点向右移到第一个非0的数后，小数点移动了几位，n就等于几
1.目前世界上刻度最小的标尺是钻石标尺，它的最小刻度为0.2nm
(其中1nm=10-9m)，用科学记数法表示这个最小刻度(单位：m)，结果是（ ）
A. 2×10-8m B. 2×10-9m
C. 2×10-10m D. 2×10-11m
C
2.用科学记数法表示下列数：
（1）0.000 03； （2）0.000 006 4；
（3）0.000 0314.
解：(1)原式=3×10-5；
(2)原式=6.4×10-6；
(3)原式=3.14×10-5.
3.下列是用科学记数法表示的数，试写出它的原数.
(1)4.5×10-8= ；
(2)-3.14×10-6= ；
(3)3.05×10-3= .
0.000000045
-0.00000314
-0.00305
4.某种大肠杆菌的半径是3.5×10-6 m，一只苍蝇携带这种细菌1.4×103个.如果把这种细菌近似地看成球状，那么这只苍蝇所携带的所有大肠杆菌的总体积是多少立方米？(结果精确到0.001，球的体积公式V=πR3)
解：每个大肠杆菌的体积是
·π·(3.5×10-6)3≈1.796×10-16( m3)，
总体积=1.796×10-16×1.4×103≈2.514×10-13( m3).
答：这只苍蝇共携带大肠杆菌的总体积是2.514×10-13m3.