18.5 分式方程 课件(共37张PPT) 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

(共37张PPT)
18.5 分式方程
课时1 分式方程及其解法
第十八章 分式
01
了解分式方程的概念以及需要对分式方程的解进行检验的原因.
02
会解可化为一元一次方程的简单分式方程.
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等，则江水的流速为多少？
解：如果设江水的流速为v km/h，
已知所用时间相等，得到方程 .
轮船逆流航行的速度为 (30-v) km/h，航行60 km所用的时间为 h .
轮船顺流航行的速度为 (30+v) km/h，航行90 km所用的时间为 h；
追问：方程 与上面的方程有什么共同特征？
任务一：了解分式方程的概念并掌握其解法.
活动1：仔细观察方程 ，未知数的位置有什么特点？
分母中含有未知数．
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
下列式子中，属于分式方程的是 ，属于整式方程
的是 .
（2）（3）
（1）
（3） （4）
（1） （2）
分析：判断一个等式是分式方程有两个条件：
（1）这个等式是方程； （2）分母中含有未知数.
活动2：你能试着解方程 吗？和同伴一起交流.
问题2：怎样去分母？
问题3：在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
问题1：如何把它转化为整式方程？
“去分母”
在方程两边都乘同一个式子，
最简公分母
解法：
方程两边同乘 (30+v)(30-v)，则得到
方程各分母最简公分母是： (30+v)(30-v)
90(30-v)= 60(30+v).
解得 v=6.
v=6是原分式
方程的解吗？
检验：将v=6代入原分式方程中，左边= =右边，因此v=6是原分式方程的解. 江水的流速为6km/h.
解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.
具体做法：是“去分母”，
即方程两边乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法.
去分母
分式方程
整式方程
转化
方程两边乘x(x-2)，得5(x-2)=7x，
解得 x=-5.
检验：将x=-5代入原方程，左边=-1=右边，
因此 x=-5是原分式方程的解.
解方程： .
解：为去分母，在方程两边乘最简公分母 (x+5)(x-5)，
得整式方程
任务二：了解分式方程的增根与无解情况.
活动：运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程
x+5=10.
解得 x=5.
x=5是原分式方程的解吗？如何验证呢？
你发现了什么问题？
将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.
因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解.
检验：
解得 x=5.
90(30-v)=60(30+v)
分式方程两边乘了同一个不为0的式子，所得整式方程的解与原分式方程的解相同.
①观察 去分母的过程：
思考：比较解两个分式方程的过程，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
两边同乘(30+v)(30-v)
当v=6时,(30+v)(30-v)≠0
思考：比较解两个分式方程的过程，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
②观察 去分母的过程：
x+5=10
分式方程两边乘了同一个等于0的式子，所得整式方程的解使分母为0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解．
两边同乘(x+5)(x-5)
当x=5时, (x+5)(x-5)=0
注意：解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验．
检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
回顾解分式方程 与 的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？
分式方程
去分母
转化
整式方程
基本思路：
一化（分式方程转化为整式方程）；
二解（整式方程）；
三检验（代入最简公分母看是否为零）.
一般步骤：
分式方程
整式方程
检验
目标
解整式方程
去分母
最简公分母不为0
最简公分母为0
针对本课关键词“分式方程” ，说说你学到了什么？
不是分式方程的解
　是分式方程的解
1.解分式方程 的结果为（　　）
A．1 B．-1
C．-2 D．无解
D
解：方程两边乘x(x-3)，得
2.解方程:
2x=3x-9.
解得
x=9.
检验：当x=9时，x(x-3)≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
3.已知关于x的方程 无解，求a的取值范围．
解：去分母得：ax+2=3x-3，
移项合并得：(a-3)x=-5，
当a-3=0，即a=3时，方程无解；
则a=-2或3时，分式方程无解．
当a-3≠0，即a≠3时，解得：
由分式方程无解，得到 即a=-2，
解：方程两边乘3x(x-1)，得3x+3–(x–1)=x2+kx，
整理，得x2+(k–2)x–4=0.
因为有增根，所以增根为x=0或x=1.
当x=0时，代入方程，得–4=0，所以x=0不是分式方程的增根；
当x=1时，代入方程，得k=5，所以k=5时，分式方程有增根x=1.
4.已知关于x的方程 有增根，求该方程的增根和k的值.
18.5 分式方程
课时2 分式方程的实际应用
第十八章 分式
01
能够分析题意找出等量关系并列分式方程解决实际问题.
02
能结合实际问题的情境对分式方程的解进行检验.
我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？
基本上有4种：
（1）行程问题： 路程=速度×时间；
（2）数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
（3）工程问题： 工作总量=工作效率×工作时间；
（4）利润问题： 利润=售价-成本（或进价）
任务一：列分式方程解决工程问题.
活动：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个的施工队速度快？
甲队施工一个半月的工程量+乙队施工半个月的工程量=总工程量(记为1).
问题1：问题中的哪个等量关系可以用来列方程？
解：设乙单独完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是 ，根据题意得
即
方程两边都乘以6x,得
解得 x=1.
检验：当x=1时，6x≠0.
所以，原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.
问题2：根据等量关系列出方程并解答.
工程问题：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
工程问题中通常涉及工作时间、工作效率、工作量三个量,它们之间的关系是:
(1)工作量=工作效率×工作时间;
(2)工作效率=工作量/工作时间;
(3)工作时间=工作量/工作效率.
某厂准备加工500个零件，在加工了100个零件后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用8天完成了任务．若设该厂原来每天加工x个零件，则由题意可列出方程（ ）
A. B.
C. D.
D
任务二：列分式方程解决行程问题.
活动：朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了200公里时，发现小轿车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h，请问面包车、小轿车的速度分别为多少km/h？
0
180
200
解：设小轿车的速度为x千米/小时，则面包车速度为x+10千米/小时，依题意得
解得 x＝90
经检验，x＝90是原方程的解，且x=90，x+10=100，符合题意.
答：面包车的速度为100千米/小时，小轿车的速度为90千米/小时.
注意两次检验:
(1)是否是所列方程的解;
(2)是否满足实际意义.
0
180
200
面包车的行驶速度比小轿车快10km/h.
思考：在面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车发现跟丢时，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在S公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？
0
180
200
S
路程 速度 时间
s-200
s-180
100
90+x
面包车
小轿车
表格法分析如图：
解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意得
解得 x=
表达问题时，用字母不仅可以表示未知数(量)，也可以表示已知数(量).
经检验： 是原方程的解，且该解满足题意.
答：小轿车的提速为
路程 速度 时间
s-200
s-180
100
90+x
面包车
小轿车
行程问题中通常有三个量，它们是路程、速度、时间,
三者之间的关系:
(1)路程=速度×时间;
(2)速度=路程/时间;
(3)时间=路程/速度.
思考：列分式方程解应用题的步骤是什么？与列整式方程解应用题的过程有什么区别？
列分式方程解应用题的一般步骤:
1.审:分析题意，找出数量关系和等量关系;
2.设:直接设法与间接设法；
3.列:根据等量关系列出方程；
4.解:解分式方程，得未知数的值；
5.验:两次检验，①是否是分式方程的解；②是否符合题意；
6.答:注意单位和答案完整.
区别：解方程后要检验.
列分式方程解决实际问题
工程问题
路程问题
审、设、列、解、验、答
一般步骤
针对本课关键词“列分式方程解决实际问题”，说说你学到了什么？
1.一艘轮船在静水中的最大航速为40km/h，它以最大航速沿河顺流航行100km所用时间，和它以最大航速沿河逆流航行80km所用时间相等，设河水的流速 v km/h，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
C
2.市政某小组检修一条长1200m的自来水管道，在检修了一半的长度后，提高了工作效率，每小时检修的管道长度是原计划的1.5倍，结果共用5h完成任务，求这个小组原计划每小时检修管道的长度．
依题意得
解：设该工人原计划每小时检修煤气管道x米，
解得 x=200，
经检验x=200是原方程的解，且符合题意，
答：这个小组原计划每小时检修管道的长度是200米．
3.智能时代引领铁路的高速发展，已知某铁路现阶段列车的平均速度是200千米/时，未来还将提速，在相同的时间内，列车现阶段行驶300千米，提速后列车比现阶段多行驶450千米，问列车平均提速多少千米/小时？
依题意得：
解：设列车平均提速x千米/小时，
解得 x=300.
经检验，x=300是所列方程的解，
答：列车平均提速300千米/小时．