4.4.3 不同函数增长的差异 闯关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台
4.4.3 不同函数增长的差异 闯关练 2025-2026学年
数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．下列函数增长速度最快的是（ ）
A． B．
C． D．
2．当时，，，的大小关系是
A． B．
C． D．
3．函数的图象如图所示，则可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数，，则图象如图的函数可能是( )
A． B． C． D．
5．以下四种说法中，正确的是（ ）
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．已知，则对任意的，
C．对任意的，
D．不一定存在，当时，总有
二、多选题
6．（多选）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是（ ）

A．投资3天以内（含3天），采用方案一 B．投资4天，不采用方案三
C．投资6天，采用方案一 D．投资12天，采用方案二
7．如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：其中正确信息的序号是（ ）
A．骑自行车者比骑摩托车者早出发，晩到
B．骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动
C．骑摩托车者在出发后追上了骑自行车者
D．骑摩托车者在出发后与骑自行车者速度一样
三、填空题
8．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是 .
9．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是：①，②，③，④.如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是 .（只要填序号）
10．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示．
现给出下列说法：

①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．
其中正确的说法是 ．(填序号)
11．三个变量随自变量的变化情况如下表：
则关于分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 ， ， .
12．某地西红柿从2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿的种植成本Q（单位：元）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：
时间t 60 100 180
种植成本Q 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．
（，且），（，且）．
利用你选取的函数，求解：
（1）西红柿种植成本最低时的上市天数是 ；
（2）最低种植成本是 元．
13．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．有以下叙述：

①第4个月时，剩留量就会低于；
②每月减少的有害物质量都相等；
③若剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中所有正确叙述的序号是 ．
四、解答题
14．函数和的图象如图所示，设两函数的图象交于点，，且.
（1）请指出图中曲线，分别对应的函数；
（2）结合函数图象，比较，，，的大小.
15．函数的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．
16．假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是2002年以来经过的年数.
0 5 10 15 20
万元 20 40
万元 20 40
（1）求函数的解析式;
（2）求函数的解析式；
（3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，然后比较两种价格增长方式的差异.
17．某公司发放员工的薪水有三种方式：①第一个月工资3000元，以后每月以1%的增长率增长；②第一个月工资2400元，以后每月以2%的增长率增长；③第一个月工资为3200元，每月涨工资30元．
（1）设第x个月的工资分别为元，试分别建立关于x的函数；
（2）借助计算器计算这三种情况下各个月的工资；
（3）请分析这三种领薪方法的区别，作为员工选择何种方法更合算？
18．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位：克)的关系如下：当时，y是x的二次函数；当时，. 测得数据如表(部分).
x(克) 0 1 2 9 …
y 0 3 …
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）求函数f(x)的最大值．
19．科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金(单位：万元)随投资收益(单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于万元，且奖金总数不超过投资收益的.
(1)现有三个奖励函数模型：①②③.试分析这三个函数模型是否符合公司要求.
(2)根据中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到万元，公司的投资收益至少为多少万元？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A B C D D ABC AB
1．A
【分析】根据基本初等函数的性质，以及初等函数的增长速度，即可求解.
【详解】由函数为单调递增的指数函数，函数为二次函数，为递增的对数函数，为递增的一次函数，
根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质，可得指数函数增长速度最快．
故选：A.
2．B
【分析】在平面直角坐标系中作出三个函数在区间内的图象，根据图象得到大小关系.
【详解】在平面直角坐标系中，作出，，在时的图象如下图所示：
由图象可知，当时，
故选
【点睛】本题考查函数图象的应用，关键是能够准确得到在给定区间内函数的图象.
3．C
【解析】用排除法，由函数值如，排除B，排除A，D是一次函数也排除，只有C符合．
【详解】由图象过知B不正确，
由知A不正确，由图象为曲线知D不正确，
所以应选C.
故答案为：C
【点睛】本题考查由函数图象选择函数解析式，解题方法是排除法，由图象提供的信息，如函数的性质，特殊的函数值等，验证各函数式进行排除．
4．D
【分析】结合函数图像的奇偶性和单调性即可判断.
【详解】由图可知，该函数为奇函数，和为非奇非偶函数，故A、B不符；
当x＞0时，单调递增，与图像不符，故C不符；
为奇函数，当x→＋时，∵y＝的增长速度快于y＝lnx的增长速度，故＞0且单调递减，故图像应该在x轴上方且无限靠近x轴，与图像相符.
故选：D.
5．D
【分析】根据题意，结合结合指数函数，对数函数以及幂函数的图象，一一判断即可.
【详解】对于选项A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，故A错；
对于选项B，取，此时，故B错误；
对于选项C，当时，结合图象易知知不恒成立，故C错；
对于选项D，当时，结合图象易知，一定存在，使得当时，总有，但若去掉限制条件“”，则结论不成立，故D正确.
故选：D.
6．ABC
【分析】根据图象对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由题图可知，投资3天以内（含3天），采用方案一的回报最多，所以A正确；
若投资4天，则方案一的回报约为（元），
方案二的回报约为（元），
结合题图可知方案一，方案二都比方案三的回报多，所以B正确；
若投资6天，则方案一的回报约为（元），
方案二的回报约为（元），
结合题图可知方案一比方案三的回报多，所以C正确；
若投资12天，根据题图中图象的变化可知，方案三的回报比方案一，方案二高很多，
所以采用方案三，所以D错误．
故选：ABC
7．AB
【分析】根据路程与时间的关系图象分析，骑自行车者、骑摩托车者的运动方式，位置关系，速度大小，即可确定答案.
【详解】由时间轴知：骑自行车者比骑摩托车者早出发，晩到，A正确；
骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，B正确；
摩托车速度为，骑摩托车者出发后距离骑自行车者，自行车后两小时速度为，故骑摩托车者还需要追上骑自行车者，故骑摩托车者在出发后追上了骑自行车者，故C、D错误．
故选：AB
8．
【详解】由于对数函数y=lnx在区间(0，＋∞)上的增长速度慢于一次函数y=x，所以函数y＝x2比函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快，填.
9．④
【分析】根据幂函数、正比例函数、对数函数、指数函数的增长速度进行判断即可.
【详解】由函数的性质可知，指数函数的增长速度是先慢后快，最终跑在最前面的是指数函数，所以最终跑在最前面的人具有的函数关系是④，
故答案为：④
10．②④
【详解】由图像可知前5min中温度增加，但是增加速度越来越慢，所以②对，①错．5min以后温度图像是一条水平线，所以温度保持不变，④对，③错，选②④．
【点睛】当图像是一条直线的增函数时，是匀速增加．当图像为上凸的增函数时（如本题），增加速度是越来越慢的．当图像为下凸的增函数时增加速度是越来越快的．
11．
【分析】根据三种函数模型增长速度的差异可直接判断出结果.
【详解】对数函数的增长速度越来越慢，指数函数的增长速度越来越快且呈现出爆炸式增长模式，幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，
由此可知：变量为对数函数，变量为指数函数；变量为幂函数．
故答案为：，，.
12．
【分析】根据单调性选取函数，利用二次函数的性质求得正确答案.
【详解】根据表中数据可知该函数不单调，
所以种植成本Q与上市时间t的关系为，
且该二次函数图象开口向上．
（1）二次函数图象的对称轴方程为，
所以西红柿种植成本最低时的上市天数是．
（2）将题表中的数据代入中，
得解得
所以最低种植成本是（元）．
故答案为：；
13．①③
【详解】根据题意，函数的图象经过点，故函数为
令时，，故①正确；
令时，，减少，当时，减少，每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；
分别令，解得 t1＋t2＝t3故③正确；
答案：①③.
14．(1) 对应的函数为，对应的函数为.
(2)
【解析】（1）结合指数函数、一次函数的特征即可判断.
（2）求出、即可比较其大小，再结合图像当时可得，从而可得出结果.
【详解】解: （1）对应的函数为，对应的函数为.
（2），，，
又，.
从图象上可以看出，当时，，.
又，.
【点睛】本题考查了一次函数、指数函数的应用，结合图像是关键，属于基础题.
15．见解析
【分析】由题意结合函数图像分别讨论函数在点1，a，b，c，d，e时函数值的大小即可得出函数增长的差异.
【详解】由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得:
曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是，
曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1，
由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；当1g(x)>h(x)；
当ef(x)>h(x)；当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；当cf(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
16．（1）（2）（3）详见解析
【分析】（1）因为是按直线上升的房价,设,由表格可知,,进而求解即可；
（2）因为是按指数增长的房价,设,由表格可知,,进而求解即可；
（3）由（1）（2）补全表格,画出图像,进而分析即可
【详解】（1）因为是按直线上升的房价,设,
由,,
可得,
即.
（2）因为是按指数增长的房价,设,
由,
可得,
即.
（3）由（1）和（2）,当时,；
当时,；当时,,
则表格如下:
0 5 10 15 20
万元 20 30 40 50 60
万元 20 40 80
则图像为:
根据表格和图像可知:
房价按函数呈直线上升,每年的增加量相同,保持相同的增长速度；按函数呈指数增长,每年的增加量越来越大,开始增长慢,然后会越来越快,但保持相同的增长比例.
【点睛】本题考查一次函数、指数型函数在实际中的应用,考查理解分析能力
17．（1），， ；（2）详见解析；（3）详见解析.
【分析】（1）根据三种增长方式直接求结果；（2）根据（1）的结果，借助计算器计算各个月的工资；（3）根据（2）的结果，比较年限不同，可以选择不同的领薪方式.
【详解】（1），
， ；
（2）第一种方式，第一个月的工资是3000元，第二个月的工资是3030元，第三个月的工资是3060元，第四个月的工资是3091元，第5个月的工资是3122元，第6个月的工资是3153元，第7个月的工资是3185元，第8个月的工资是3217元，第9个月的工资是3249元，第10个月的工资是3281元，第10个月的工资是3314，第11个月的工资是3348，第12个月的工资是3381元，第13个月的工资是3415元，第14个月的工资是3449元，第15个月的工资是3483元，第16个月的工资是3518元，第17个月的工资是3553元，第18个月的工资是3589元，第19个月的工资是3625元，第20个月的工资是3661元，第21个月的工资是3698元，第22个月的工资是3735元，第23个月的工资是3772元，第24个月的3809元，第25个月的工资是3847元，…….
第二种方法，第一个月的工资是2400元，第二个月的工资是2448元，第3个月的工资是2497元，第4个月的工资是2547元，第5个月的工资是2598元，第6个月的工资是2650元，第7个月的工资是2703元，第8个月的工资是2757元，第9个月的工资是2812元，第10个月的工资是2868元，第11个月的工资是2925元，第12个月的工资是2984元，第13个月的工资是3044元，第14个月的工资是3105元，第15个月是3167元，第16个月的工资是3230元，第17个月的工资是3295元，第18个月的工资是3361元，第19个月的工资是3428元，第20个月的工资是3497元，第21个月的工资是3567元，第22个月的工资是3638元，第23个月的工资是3711元，第24个月的工资是3785元，第25个月的工资是3861元，第26个月的工资是3755元，第27个月的工资是3830元，第28个月的工资是3907元，第29个月的工资是3985元，第30个月的工资是4065元，第31个月的工资是4146元，…….
第三种方法，第一个月的工资是3200，第二个月的工资是3230元，第3个月的工资是3260元，第4个月的工资是3290元，第5个月的工资是3320元，第6个月的工资是3350元，第7个月的工资是3380元，第8个月的工资是3410元，第9个月的工资是3440元，第10个月的工资是3470元，第11个月的工资是3500元，第12个月的工资是3530元，第13个月的工资是3560元，第14个月的工资是3590元，第15个月的工资是3620元，第16个月的工资是3650元，第17个月的工资是3680元，第18个月的工资是3710元，第19个月的工资是3740元，第20个月的工资是3770元，第21个月的工资是3800元，第22个月的工资是3830元，第23个月的工资是3860元，第24个月的工资是3890元，第25个月的工资是3920元，第26个月的工资是3950元，第27个月的工资是3980元，第28个月的工资是4010元，第29个月的工资是4040元，第30个月的工资是4070元，第31个月的工资是4100元，……
（3）根据（2）的结果可知，如果最多打算干30个月，那么选择第三种方法，如果打算干30个月以上选择第二种方法，到第31个月的时候，第二种方法是工资最多的.
【点睛】本题考查不同增长模型的实际应用问题，重点考查分析问题和解决问题的能力，以及抽象概括能力，属于基础题型.
18．（1） ；（2）4.
【分析】（1）先由待定系数法设出当时的解析式，由条件可得答案，再由得出的表达式，从而得出答案.
(2)分段求出各段的最大值，然后比较其大小，得出答案.
【详解】解：（1）当时，由题意，设，
由表格数据可得，解得
所以，当时，
当时，，由表格数据可得，解得
所以当时，
综上，
（2）当时，
所以当时，函数f(x)的最大值为4；
当时，单调递减，所以f(x)的最大值为
因为，所以函数的最大值为4.
19．(1)①不符合，②不符合，③符合，理由见解析
(2)万元
【分析】（1）根据公司要求知函数为增函数，同时应满足且，一一验证所给的函数模型即可；
（2）由，解不等式即可.
【详解】（1）由题意，符合公司要求的函数在上单调递增，
且对任意恒有且.
①对于函数在上单调递增，
当时不符合要求；
②对于函数在上单调递减，不符合要求；
③对于函数在上单调递增，
且当时，
因为
而所以当时恒成立，
因此为符合公司要求的函数模型.
（2）由得
所以
所以公司的投资收益至少为万元.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)