4.5.1 函数的零点与方程的解 闯关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册

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4.5.1 函数的零点与方程的解 闯关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．若函数的零点为2，则函数的零点是（ ）
A．0， B．0， C．0，2 D．2，
2．已知a是函数的零点，则函数的零点所在的区间为（　　）
A． B． C． D．
3．函数的零点的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知函数,若函数在R上有两个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
5．已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是关联函数，称为关联区间，若与在上是关联函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．关于函数，其中，，给出下列四个结论：
甲：6是该函数的零点；
乙：4是该函数的零点；
丙：该函数的零点之积为0；
丁：方程有两个根.
若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、多选题
8．已知函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则在内至少有一个零点
B．若，则在内没有零点
C．若在内没有零点，则必有
D．若在内有唯一零点，，则在上是单调函数
9．已知函数，若存在，使得成立，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
10．已知函数，则函数的零点为 ．
11．已知函数则函数的所有零点之和为 .
12．函数的图象在区间（0,2）上连续不断，能说明“若在区间（0,2）上存在零点，则”为假命题的一个函数的解析式可以为= .
13．已知函数在区间上有零点，则的取值范围为 .
14．（1）已知一元二次方程有两个正实根，则实数m的取值范围是 ．
（2）“一元二次方程有一个正根和一负根”的充要条件是 ．
四、解答题
15．已知关于x的一元二次方程.
（1）若方程有两个实数根，其中一个根在区间（-1，0）内，另一个根在区间（1，2）内，求m的取值范围.
（2）若方程有两个不相等的实数根，且均在区间（0，1）内，求m的取值范围.
16．已知函数f（x）=2x-4x-m，x∈[-1，1].
（1）当m=-2时，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）在[-1，1]上有零点，求实数m的取值范围.
17．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．
18．已知函数．
(1)用定义证明f（x）在（0，1）内单调递减；
(2)证明f（x）存在两个不同的零点x1，x2，且x1+x2＞2．
19．已知函数，.
（1）若函数的图像与轴无交点，求的取值范围；
（2）若方程在区间上存在实根，求的取值范围；
（3）设函数，，当时若对任意的，总存在，使得，求的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A B B D B B B AC AC
1．A
【分析】由已知，函数的零点为2即可得到a与b之间的关系，然后带入中即可直接求解零点.
【详解】因为函数的零点为2，所以，
∵，，∴，∴．
令，得或．
故选：A.
2．B
【解析】根据题意求得函数，结合函数的单调性和零点的存在性定理，即可求解.
【详解】由题意，a是函数的零点，即，解得，
所以函数，
又由在上是增函数，且，，
可得，
根据零点存在性定理，可得函数的零点所在的区间为.
故选：B.
3．B
【分析】先判断函数为单调增函数，再计算，借助零点存在定理可判断函数零点的个数.
【详解】为上的单调增函数，又，，所以在上有一个零点，选B.
【点睛】函数零点个数的判断，需利用函数的单调性和零点存在定理来判断，选择怎样的点来计算其函数值且函数值异号是关键，可根据解析式的特点选点，如对于对数等，应选或等，对于指数，应选等形式的数来计算.
4．D
【分析】根据函数的零点与方程的根是等价的，求出有一个零点，进而转化为时有一个根即可求解.
【详解】根据函数时，有一个零点，所以只需要时有一个根即可，即，当时，，所以，即，
故选：D．
5．B
【分析】转化是函数的一个零点为是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，利用图像判断即可
【详解】因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，
则当时，在下方，即；
当时，在上方，即，
故选：B
【点睛】本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想
6．B
【分析】根据题意，得到在上有两个不同的零点，故有，由此求得的取值范围.
【详解】∵与在上是“关联函数”，故函数在上有两个不同的零点，
故有∴∴
故选：B
【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，属于中档题.
7．B
【分析】由已知函数的单调性判断甲 乙中有一个错误，由其中一个正确，结合丙正确求得与的值，得到函数解析式，再判断丁是否正确，则答案可求.
【详解】当，时，为增函数，
当，时，为减函数，故6和4只有一个是函数的零点，
即甲乙中有一个结论错误，一个结论正确，而丙 丁均正确.
由两零点之积为0，则必有一个零点为0，则，得，
若甲正确，则，即，，
可得，由，
可得或，解得或，方程有两个根，故丁正确.
故甲正确，乙错误.
若乙正确，甲错误，则，则，，
可得，由，
可得或，解得或（舍去），方程只有一个根，则丁错误，不合题意．.
故选：B.
8．AC
【分析】根据零点存在定理逐一判断即可．
【详解】因为在，上连续，
．（1），由零点存在定理可知，在内至少有一个零点，故正确；
．当时，满足（1），但在内有一个零点，故错误；
．在内没有零点，则必有（1）等价于（1），则在内有零点，由零点存在定理可知此命题是真命题，故正确；
．在内有唯一零点，（1），但在上不一定是单调函数，比如，故错误．
故选：．
9．AC
【分析】采用数形结合可知，，，然后简单计算可知，，，故可知结果.
【详解】如图：

可知，，，则，
且，所以，即.
因为，所以，.
故选:AC.
10．1
【分析】结合函数的单调性及零点的定义求解即可.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
又，所以函数的零点为1.
故答案为：1.
11．
【分析】
利用分段函数，分类讨论，即可求出函数的所有零点，从而得解．
【详解】解：时，，，由，可得或，或；
时，，，由，可得或，或；
函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为
故答案为：．
12．（答案不唯一）
【分析】由题中命题为假命题，可知函数满足在（0,2）上存在零点，且，进而举例即可.
【详解】函数的图象在区间（0，2）上连续不断，且“若在区间（0,2）上存在零点，则”为假命题，可知函数满足在（0,2）上存在零点，且，所以满足题意的函数解析式可以为.
故答案为：（答案不唯一）.
13．/
【分析】函数在区间上有零点，即在有方程根，按和两种情况讨论，可解出的取值范围．
【详解】函数在区间上有零点，即在有方程根，
当时，，
若，，在区间上没有零点，
若，，在区间上有零点，故满足题意；
当，即或时，在区间上有零点，
即在有方程根，根据韦达定理可知，两根互为倒数，
应有，即，解得，
故答案为：.
14．
【分析】（1）利用二次方程判断式以及两根的符号，由韦达定理解不等式即可求出m的取值范围；
（2）根据根的个数及正负列出需满足的不等式，即可求出.
【详解】（1）设两个正实数根分别为，
则需满足，解得
即实数m的取值范围是.
（2）若一元二次方程有一个正根和一负根，设两根为和，
所以，解得，
故答案为：，
15．（1）；（2）
【解析】（1）令，由题意结合二次函数的图像与性质可得解不等式组即可.
（2）由题意结合二次函数的图像与性质可得，解不等式组即可.
【详解】解：（1）令，
依题意得函数的图象与x轴的交点
分别在区间（1，0）和（1，2）内，
画出函数的大致图象，
如图：
由图像得即，∴.
即m的取值范围是.
（2）根据函数图象与x轴的两个交点均在区间（0，1）内，画出函数的大致图象，
如图：
由图像得，即
∴.即m的取值范围是.
【点睛】本题考查了函数零点所在的区间求参数的取值范围，同时考查了二次函数的图像与性质，属于中档题.
16．（1）．（2），．
【分析】（1）通过解方程求解即可．
（2）函数f（x）有零点转化于方程有解，设，求出，，利用二次函数的性质求解最值，再求解的取值范围．
【详解】（1）当时，，得：．
或舍去，解得．
函数的零点为．
（2），
令，
函数f（x）有零点等价于方程有解，等价于在的值域内，
设，，，，，
则，时，，时，．
的值域：，．
的取值范围为，．
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用可求时的解析式，当时，利用奇偶性可求得时的的解析式，由此可得结果；
（2）作出图象，将问题转化为与有个交点，数形结合可得结果.
【详解】（1）由图象知：，即，解得：，当时，；
当时，，，
为上的偶函数，当时，；
综上所述：；
（2）为偶函数，图象关于轴对称，可得图象如下图所示，
有个不相等的实数根，等价于与有个不同的交点，
由图象可知：，即实数的取值范围为.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用函数单调性的定义进行证明即可．
（2）判断当时为增函数，利用函数与方程的关系，结合零点存在定理判断两个零点的范围进行判断即可．
【详解】（1）设，
，故
则，即，得，
即在内单调递减．
（2）同理可知在上为增函数，，
所以f（x）存在两个不同的零点x1，x2，且， ，
则．
19．（1）；（2）；（3）或.
【分析】（1）函数与轴无交点，即方程没有实数根，即可求得的取值范围；（2）函数的对称轴是，所以函数在上单调递减，则需满足；（3）根据题意可知，函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集，对于函数，可分讨论函数的值域，利用子集关系列不等式求的范围.
【详解】（1）若函数的图象与轴无关点，则方程的根的判别式，即，解得.
故的取值范围为.
（2）因为函数的图象的对称轴是直线，
所以在上是减函数.
又在上存在零点，所以，即，解得.
故的取值范围为.
（3）若对任意的，总存在，使得，则函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集.
当时，函数图象的对称轴是直线，所以在上的函数值的取值集合为.
①当时，，不符合题意，舍去.
②当时，在上的值域为，只需，解得.
③当时，在上的值域为，只需，解得.
综上，的取值范围为或.
【点睛】本题考查了二次函数无零点和有零点时求参数取值范围，以及恒成立求参数的取值范围的综合问题，一元二次方程给定区间有零点求参数的取值范围，可根据参变分离的方法转化为求函数值域的方法，或是利用二次函数的图象转化为根的分布问题求解.
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