4.5.2 用二分法求方程的近似解 闯关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册

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4.5.2 用二分法求方程的近似解 闯关练 2025-2026学年
数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
2．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
4．若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
5．是我们熟悉的无理数，在用二分法求的近似值的过程中，可以构造函数，我们知道，所以，要使的近似值满足精确度为0.1，则对区间至少二等分的次数为
A．3 B．4 C．5 D．6
6．下列函数不能用二分法求零点近似值的为
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（多选题）下列关于函数，的说法错误的是（　　）
A．若且满足，则是的一个零点
B．若是在上的零点，则可用二分法求的近似值
C．函数的零点是方程的根，但的根不一定是函数的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似值
8．设，某学生用二分法求方程的近似解（精确度为），列出了它的对应值表如下：
0 1 2
3
若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为（ ）
A．1.31 B．1.38 C．1.43 D．1.44
9．若函数图象是连续不断的，且，，则下列命题不正确的是（ ）
A．函数在区间内有零点
B．函数在区间内有零点
C．函数在区间内有零点
D．函数在区间内有零点
三、填空题
10．用二分法求方程在区间内的根，取区间的中点为，那么下一个有根的区间是 ．
11．用二分法求函数在区间(2,4)内的零点近似值时,验证了,给出零点的精确度0.01,取区间(2,4)的中点3,得,那么此时零点 .(填区间)
12．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是 ．
13．某方程在区间内有无理根,若用二分法求此根的近似值,要使所得的近似值的精确度达到,则应将区间等分的次数至少是 .
14．若函数有零点，但不能用二分法求其零点，则实数的值为 ．
15．已知函数，则函数的零点个数为 .
四、解答题
16．已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.
（1）证明f(x)有且只有一个零点；
（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.
17．已知函数为上的连续函数．
(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．
(2)若，判断在上是否存在零点？若存在，请在误差不超过0.1的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由．
18．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．
假设待检测的总人数是（为正整数）．将这个人的样本混合在一起做第轮检测（检测次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组个人的样本混合在一起做第轮检测，每组检测次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者．
例如，当待检测的总人数为，且标记为“”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用下图表示．从图中可以看出，需要经过轮共次检测后，才能确定标记为“”的人是唯一感染者．
（1）写出的值；
（2）若待检测的总人数为，采用“二分检测方案”，经过轮共次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值；
（3）若待检测的总人数为，且其中不超过人感染，写出采用“二分检测方案”所需总检测次数的最大值．
19．阅读材料
求方程的近似根有很多种算法，下面给出两种常见算法：
方法一：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，算法：
第一步：令．因为，，所以设，．
第二步：令，判断是否为0．若是，则为所求；
若否，则继续判断大于0还是小于0．
第三步：若，则；否则，令．
第四步：判断是否成立？若是，则之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步．
方法二：考虑的一种等价形式
变形如下：，∴，∴
这就可以形成一个迭代算法：给定
根据，，1，2，…计算多次后可以得到一个近似值
(1)分别运用方法一和方法二计算的近似值（结果保留4位有效数字），比较两种方法迭代速度的快慢；
(2)根据以上阅读材料，设计合适的方案计算的近似值（精确到0.001）．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C D C C B B BCD BC ABC
1．C
【分析】先判断图像对应的是否函数，再判断它们是不是变号零点，逐项判断可得答案.
【详解】四个图像中，与x轴垂直的直线和图像只有一个交点，所以四个图像都表示函数的图像，
对于A，函数图像和x轴无交点，所以无零点，故错误；
对于B，D，函数图像和x轴有交点，函数均有零点，但它们均是不变号零点，因此都不能用二分法求零点；
对于C，函数图像是连续不断的，且函数图像与x轴有交点，并且其零点为变号零点.
故选：C．
2．D
【分析】根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果.
【详解】因为，
由零点存在性知：零点，
根据二分法，第二次应计算，即，
故选：D.
3．C
【分析】设，根据当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，进而得到答案．
【详解】解：设，
当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，
即方程在区间上有解，
又（2），（3），
故（2）（3），
故方程在区间上有解，
即利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是.
故选：C．
4．C
【分析】根据二分法，结合表中数据，由于，方程的一个近似根所在区间为内，进而得到结果.
【详解】根据二分法，结合表中数据，
由于
所以方程的一个近似根所在区间为
所以符合条件的解为1.4
故选:C.
5．B
【分析】根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足＜0.1，即可得出结论．
【详解】设对区间（1，2）至少二等分n次，此时区间长为1，第1次二等分后区间长为，第2次二等分后区间长为，第3次二等分后区间长为，则第n次二等分后区间长为，依题意得＜0.1，即2n＞10∴n≥4，即n=4为所求．
故选B．
【点睛】本题考查了二分法求方程的近似解，精确度与区间长度和计算次数之间存在紧密的联系，可以根据其中两个量求得另一个．
6．B
【解析】根据题意，由二分法的定义，可以用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的两侧函数值异号，检验各个选项中的函数，从而得出结论
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
对于，，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，故不能用二分法求零点
对于，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
对于，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
故选：．
【点睛】本题考查二分法的定义以及应用，注意二分法求函数零点的条件，属于基础题．
7．BCD
【分析】根据函数与方程之间的关系进行判断即可．
【详解】对A．若且满足，则是的一个零点；故A正确；
对B．因为函数不一定连续，故B错误；
对C．函数的零点是方程的根，的根是函数的零点，故C错误；
对D．用二分法求方程的根时，得到的根可以是准确值，故D错误，
故选：BCD
8．BC
【分析】f(x)在R上是增函数，根据零点存在性定理进行判断零点所在的区间﹒
【详解】与都是上的单调递增函数，
是上的单调递增函数，
在上至多有一个零点，
由表格中的数据可知：
，
在上有唯一零点，零点所在的区间为，
即方程有且仅有一个解，且在区间内，
，
内的任意一个数都可以作为方程的近似解，
，
符合要求的方程的近似解可以是和1.43﹒
故选：BC﹒
9．ABC
【分析】根据零点存在定理分析判断.
【详解】因为，则中有一个小于0，另两个大于0，或三个都小于0.
若，又，
则，所以函数在区间内有零点；
若，又，
则，，所以函数在区间，内有零点；
若，又，
则，所以函数在区间内有零点；
若，又，
则，所以函数在区间内有零点，
综上，函数在区间内必有零点，因此ABC错误，D正确.
故选：ABC.
10．
【分析】根据题意，设，分别求得，，，根据零点存在性定理可得出零点所在区间为，从而得出结果.
【详解】解：设，，，，
则零点所在的区间为，
∴方程的下一个有根的区间是.
故答案为：.
11．(2,3)
【解析】根据题意可得，且，根据零点存在性定理即可判断.
【详解】解：且
故与同号，且都与异号，
根据零点存在性定理可得，函数的零点在区间内，
故答案为：
【点睛】本题考查零点存在性定理及二分法求零点的应用，属于基础题.
12．1.5,1.75,1.875,1.812 5
【详解】第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.8125)．
13．5
【解析】二分法求方程的近似解的定义和方法，由 且，求得的最小值，从而得出结论．
【详解】解：每一次二等分，区间长度变为原来的，由 且，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查用二分法求方程的近似解的定义和方法，属于基础题．
14．2或或2
【分析】根据题意，可知函数图象在轴上方或下方（包括轴），且与轴有交点，分类讨论当时，能用二分法求零点，不符合题意；当，再根据二次函数的图象与性质，可知二次函数的图象与轴有1个交点，由即可求出的值.
【详解】解：由题意得，函数有零点，但不能用二分法求其零点，
可知函数图象在轴上方或下方（包括轴），且与轴有交点，
当，即时，，能用二分法求零点，不符合题意；
当，即时，此时为二次函数，
而有零点，但不能用二分法求其零点，
可知函数的图象与轴有1个交点，
即有两个相等实根，
所以，解得：或.
故答案为：2或.
15．
【解析】先由可求得的值，再由和两种情况结合的值，可求得的值，即可得解.
【详解】下面先解方程得出的值.
（1）当时，可得，可得；
（2）当时，可得，可得或.
下面解方程、和.
①当时，由可得，由可得（舍去），由可得；
②当时，由可得，由可得或，由可得或.
综上所述，函数的零点个数为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：
（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；
（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.
16．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由单调性定义知为增函数，又f(2)·f(3)<0，即知函数有且只有一个零点；
（2）利用二分法确定区间长度不大于的零点所在区间即可.
【详解】(1)证明：令，则，且，
∴，即f(x)＝lnx＋2x－6在(0,＋∞)上是增函数，
∴f(x)至多有一个零点．又f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(2)·f(3)<0，即f(x)在(2,3)内有一个零点．
∴f(x)在(0,＋∞)上只有一个零点．
(2)∵f(2)<0，f(3)>0，取，，
∴，即f(x)零点．取，则.
∴.
∴，又，
∴满足题意的区间为．
【点睛】方法点睛：
1、单调函数若能找到，即知存在零点，定义域内有且仅有一个.
2、二分法求零点区间：中取，并确定符号，若在继续上一步骤；若在继续上一步骤，直到得到合适区间.
17．(1)；
(2)存在，区间为.
【分析】（1）根据，结合二次函数的图象与性质，可知在区间上单调递减，结合条件在区间上存在零点，则有，解不等式组即可求出实数的取值范围；
（2）当时，得，可知在区间上单调递减，并求得，根据零点存在性定理可知在上存在唯一零点，最后利用二分法和零点存在性定理，求出在误差不超过0.1的条件下的零点所在的区间.
【详解】（1）解：为二次函数，开口向上，对称轴为，
可知函数在区间上单调递减，
∵在区间上存在零点，∴，
即，解得：，
∴实数的取值范围是．
（2）解：当时，为二次函数，开口向上，对称轴为，
所以在区间上单调递减，
，，则，
∴函数在上存在唯一零点，
又为上的连续函数，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
此时误差为，即满足误差不超过0.1，
∴零点所在的区间为．
18．（1）；（2）感染者人数可能的取值为，，；（3）．
【分析】（1）由图可计算得到的取值；
（2）当经过轮共次检测后确定所有感染者，只需第轮对两组都进行检查，由此所有可能的结果；
（3）当所需检测次数最大时，需有名感染者，并在第轮检测时分居两组当中，从而将问题转化为待检测人数为的组，每组个感染者，共需的检测次数，由此可计算求得结果.
【详解】（1）由题意知：第轮需检测次；第轮需检测次；第轮需检测次；第轮需检测次；；
（2）由（1）可知：若只有个感染者，则只需次检测即可；
经过轮共次检测查出所有感染者，比只有个感染者多次检测，则只需第轮时，对两组都都进行检查，即对最后个人进行检查，可能结果如下图所示：
感染者人数可能的取值为，，.
（3）若没有感染者，则只需次检测即可；
若只有个感染者，则只需次检测即可；
若有个感染者，若要检测次数最多，则第轮检测时，个感染者不位于同一组中；
此时相当于两个待检测人数均为的组，每组个感染者，此时每组需要次检测；此时两组共需次检测；
若有个感染者，且检测次数最多，共需次检测.
综上所述：所需总检测次数的最大值为.
19．(1)的近似值见解析；方法二的迭代速度更快，理由见解析.
(2)选择方法二进行计算，的近似值为2.236
【分析】（1）按照方法一和方法二进行迭代求解，求出相应的近似值；（2）结合第一问作出的判断，选择方法二进行迭代求解.
【详解】（1），，，则，所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，返回第二步；
令，，，令，
所以，
则之间的任意值均为满足条件的近似值，其中，
取可取1.414
方法二：，，1，2，…，
不妨取，则，
，
，
其中，
显然，方法二的迭代速度更快
（2）考虑的一种等价形式，
，∴，∴
这就可以形成一个迭代算法：给定
则，，1，2，…，
计算过程如下：，
，
.
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