4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 闯关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册

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4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 闯关练 2025-2026学年
数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．已知，则的值是（ ）
A．15 B．12 C．16 D．25
2．计算：（ ）
A． B． C． D．
3．的值为（ ）
A． B． C． D．
4．某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
5．某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，决定购入污水过滤系统对废水进行过滤处理.已知过滤过程中废水中的污染物浓度与过滤时间（小时）的关系为（为废水中最初污染物浓度，为常数）.如果过滤了3个小时废水中的污染物浓度变为最初的，那么废水中的污染物浓度变为最初的还需要（ ）
A．6小时 B．5小时 C．4小时 D．3小时
二、多选题
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则等于（ ）
A． B． C．1 D．
8．已知，则下列选项中正确的有（ ）
A． B． C． D．
9．如图，某湖泊的蓝藻的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系满足，则下列说法正确的是（ ）
A．蓝藻面积每个月的增长率为
B．蓝藻每个月增加的面积都相等
C．第6个月时，蓝藻面积就会超过
D．若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则一定有
三、填空题
10．的值是
11．若，则 ．
12．设，若，则的值是 .
13．方程的解为 ．
14．已知幂函数的图象过点，则 ．
15．中国国防部宣布中国人民解放军火箭军在9月25日8时44分向太平洋相关公海海域成功发射一枚洲际弹道导弹，导弹准确落入预定海域.我方对外直接公开发声，发射的就是洲际弹道导弹，毫无隐晦的公开信息，敞亮彰显了东方大国自信.在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度为（单位：km/s）和所携带的燃料的质量（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量（单位kg）的函数关系式近似满足（为常数）.当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，约等于，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量7倍时，约等于，则常数的值 .
四、解答题
16．计算下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
17．已知，求的值．
18．已知，求：
(1)
(2).
19．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A C B C D ABD AB ACD ACD
1．A
【分析】利用分数指数幂的运算即可求出结果.
【详解】因为，
所以，
又由立方差公式，，
故选：A．
2．C
【分析】利用指数幂的运算法则即可得解.
【详解】因为，
，
所以.
故选：C.
3．B
【分析】根据无理数指数幂的运算性质计算即可.
【详解】，
故选：．
4．C
【分析】设植物原来长度为m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得24天后该植物的长度是原来的多少倍．
【详解】方法1 设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的倍，
故，即，即．
24天后该植物的长度是，即为原来的倍，
又，
所以24天后该植物的长度是原来的倍．
方法2 设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是，
24天后，该植物的长度是，
即24天后该植物的长度是原来的倍．
故选：C
5．D
【分析】根据题意，得到，，联立求解.
【详解】解：由题意，可知，即，
令，则有，
解得，
故还需要3小时废水中的污染物浓度变为最初的.
故选：D.
6．ABD
【分析】结合指数的运算公式逐项计算即可判断正误.
【详解】对于A，原式，A正确；
对于B，原式
，B正确；
对于C，原式，C错误；
对于D，原式，D正确．
故选：ABD．
7．AB
【分析】将平方可以得到，可得的值.
【详解】令
故选：AB
8．ACD
【分析】根据幂的运算法则求解判断．
【详解】，，因此A正确；
，因此B不正确；
，，解得，因此C正确；
，因此D正确．
故选：ACD．
9．ACD
【解析】由函数图象经过可得函数解析式，再根据解析式逐一判断各选项即可．
【详解】解：由图可知，函数图象经过，即，则，∴；
∴不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为，A对、B错；
当时，，C对；
若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则，，，则，即，则，D对；
故选：ACD．
【点睛】本题主要考查指数函数的性质及指数的运算法则，属于基础题．
10．/1.5625
【分析】根据指数幂的运算求解.
【详解】由题意可得：
.
故答案为：.
11．
【分析】由指数幂的运算性质即可求解.
【详解】原式．
故答案为：
12．
【分析】根据的关系先求解出的值，由此可求的值.
【详解】因为，
所以，
又，所以，
故答案为：.
13．
【分析】根据指数幂的化简计算即可.
【详解】
．
故答案为：.
14．
【分析】根据条件先计算出的值，然后代入计算可得结果.
【详解】因为幂函数的图象过点，
所以，所以，所以，
所以，
故答案为：.
15．2
【分析】根据条件得到的值结合代入等式得到方程组，解得的值.
【详解】时，，所以时，，所以，
两式相减，，即，得到或（舍去），
代回原式可得.
故答案为：2.
16．(1)4608
(2)1
(3)
【分析】（1）将根式化简为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算化简；
（2）利用分数指数幂的运算化简；
（3）将根式化简为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算化简；
【详解】（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
17．2
【分析】先由平方求得，再利用立方和公式展开计算，代入所求式即得.
【详解】因为，所以所以，
所以
故
18．(1)
(2)或
【分析】（1）根据平方关系可得，由负数指数幂的性质可得，即可代入求解，
（2）根据和可得的值，即可分情况代入求解.
【详解】（1）由平方可得，
由于，故，
，
因此
（2），
由和可得或，
当时，则，
当时，则
19．(1)
(2)
【分析】（1）将原式平方后可得，再配方后可得，故可求原式的值；
（2）结合（1）中的结果配方可得，故可求原式的值.
【详解】（1）因为，故，
故，而，故，
故.
（2）由（1）可得，故，
故，故.
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