4.3 对数 闯关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册

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4.3 对数 闯关练 2025-2026学年数学
高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，是方程的两个实根，则ab的值等于（ ）
A．2 B． C．100 D．
3．若,则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若实数、、满足，则下列式子正确的是
A． B．
C． D．
5．下列计算恒成立的是
A．
B．
C．
D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．因为，所以 B．因为，所以
C．因为，所以 D．因为，所以
7．已知，，（a，b，c，x＞0且a，b，c，x≠1），则等于（ ）
A． B． C． D．
8．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
二、多选题
9．下列运算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若实数a，b满足，则下列关系正确的有（ ）
A． B．
C． D．
11．(多选)下列说法正确的有（ ）
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以为底的对数叫做常用对数
D．以为底的对数叫做自然对数
三、填空题
12．计算 ．
13．已知，则的值为 ．
14．，则的值为 ．
15．若正实数，满足，，则的值为 .
四、解答题
16．将下列对数式改写为指数式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
17．（1）利用关系式证明换底公式：；
（2）利用（1）中的换底公式求值：；
（3）利用（1）中的换底公式证明：．
18．已知，．
(1)求，；
(2)若，求x的值．
19．设，其中，，均大于，且都不为，，求证：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A A D B D B ABD AB
题号 11
答案 ACD
1．C
【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项.
【详解】由，得，，，
，，，则，
根据可知，.
故选：C
2．C
【分析】依题意，由韦达定理得，解等式即可.
【详解】因为是方程的两个实根
所以
即
所以
故选：C
3．A
【分析】先由换底公式将表示为,再将代入,再用指数的运算法则写为底数为5的式子,再用对数恒等式计算出结果即可.
【详解】解:由题知,
,
.
故选：A
4．A
【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出，，，利用对数的运算性质和可得出成立.
【详解】由已知，得 ，得 ， ，，所以，，，
而，则，
所以，即 .
故选A.
【点睛】本题考查对数式的运算，同时也考查了指数式与对数式的互化以及换底公式的应用，解题时要需要注意各真数之间的关系，考查计算能力，属于中等题.
5．D
【分析】根据对数的运算性质一一验证选项即可得正确答案.
【详解】因为，所以A不对；
因为，所以B不对；
因为，所以C不对；
因为，D正确.
故选D.
【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.
6．B
【解析】由对数的定义逐个判断即可
【详解】解：因为当（且）时，，
所以选项A的底数为1，是错误的，选项C的底数为负数，是错误的，
的底数为3，所以化为对数后底数也应为3，所以B正确，D错误，
故选：B
7．D
【分析】根据换底公式可得，再利用对数的加法运算即可得到答案.
【详解】因为,
所以
同理可得
所以
故选：D
8．B
【分析】根据换底公式可判断A、B的正误，根据对数的运算性质可判断C、D的正误．
【详解】由logab·logcb＝·≠logca，故A错；
由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确；
对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.
故选：B.
9．ABD
【分析】根据对数的运算法则、对数的运算性质、换底公式逐项判断即可得解.
【详解】对于A， ，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：ABD
10．AB
【分析】将指数化为对数可得，，利用换底公式结合对数运算性质逐项分析判断.
【详解】因为，则，，
可得.
对于选项A：，故A正确；
对于选项B：，故B正确；
对于选项CD：，故C，D不正确．
故选：AB.
11．ACD
【分析】根据对数的定义即可判断答案.
【详解】由对数的定义可知A,C,D正确；
对B，当且时，才能化为对数式.
故选：ACD.
12．
【分析】利用对数的运算性质计算可得所求代数式的值.
【详解】原式.
故答案为：.
13．
【分析】将对数式转化为指数式，再结合指数运算公式，即可求解.
【详解】，则，则．
故答案为：
14．
【分析】根据真数大于零可求得的取值范围，再由解方程即可求得结果.
【详解】因为，
所以可得，即，
两边同时除以得，即
解得或（舍）；
所以
故答案为：
15．20
【分析】利用对数的性质可得，故可求的值.
【详解】因为，
所以.
故答案为：20.
16．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据对数的定义化对数式为指数式即可；
（2）根据对数的定义化对数式为指数式即可；
（3）根据对数的定义化对数式为指数式即可；
（4）根据对数的定义化对数式为指数式即可.
【详解】（1）由得.
（2）由得.
（3）由得.
（4）由得.
17．（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析；
【分析】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可；
（2）利用换底公式证明即可；
（3）利用换底公式证明即可.
【详解】解答：（1）证明：
设，则，化为，
又，所以；
（2）解：；
（3）证明：
．
所以．
18．(1)，
(2)．
【分析】根据对数的加法、减法运算求解（1）（2）即可；
【详解】（1）,
；
．
（2），
所以．
19．证明见解析
【分析】令，且，即可表示出、、，再由、换底公式及对数的运算性质计算可得.
【详解】依题意、、均不为，
令，且，
则，，．
因为，所以，
即，
所以，即．
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