4.4.2 对数函数的图象与性质 闯关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册

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4.4.2 对数函数的图象与性质 闯关练 2025-2026学年
数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．已知，则的减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的大小关系为
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
二、多选题
5．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
三、填空题
7．若实数满足，则的取值范围为 ．
8．设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，则a＋b的值为 .
9．已知函数的定义域为，则函数的值域是 ．
10．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为 ．
11．已知函数与函数的图象关于直线对称，则不等式的解集为 .
12．已知实数满足等式，给出下列五个关系式：
①；②；③；④；⑤．其中可能关系式是 ．
13．若，且，则m与n的大小关系是 ；若，且，则m与n的大小关系是 .
四、解答题
14．已知函数.
(1)求该函数的定义域；
(2)求该函数的单调区间及值域.
15．已知函数；
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数的单调性；
（3）若，求实数的取值范围.
16．已知，，求的最大值及相应的．
17．已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称，且．
(1)求实数a的值；
(2)，．求的最小值、最大值及对应的x的值．
18．已知函数（，）
（1）当时，求函数的定义域；
（2）当时，求关于的不等式的解集；
（3）当时，若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
19．已知定义在R上的函数满足且，．
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；
(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C D A D BD AC
1．C
【分析】根据方程，求得，得到，结合复合函数单调性的判定方法，即可求求解.
【详解】因为，可得，
当时，，方程不成立；
当时，方程显然不成立；
当时，，方程不成立；
所以，即，可函数为单调递减函数，
由函数，则，解得或，
当时，单调递减，所以单调递增；
当时，单调递增，所以单调递减，
所以函数的递减区间为.
故选：C.
2．D
【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.
详解：由题意可知：，即，，即，
，即，综上可得：.本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
3．A
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
4．D
【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
5．BD
【分析】分和两种情况讨论两个函数的单调性进行判断.
【详解】当时，在单调递增且其图象恒过点，
在单调递增且其图象恒过点，
则选项B符合要求；
当时，在单调递减且其图象恒过点，
在单调递减且其图象恒过点，
则选项D符合要求；
综上所述，选项B、D符合要求.
故选：BD.
6．AC
【分析】函数的定义域为等价于恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围；
若函数的值域为等价于的最小值为，由此可列出方程，即可求出实数的值；
若函数在区间上为增函数等价于函数在区间上为增函数且恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围；
若，，即可解出不等式；即可选出答案.
【详解】对于A，因为的定义域为，所以恒成立，则，解得，故A正确；
对于B，因为的值域为，所以的最小值为，所以，解得，故B错误；
对于C，因为函数在区间上为增函数，
所以当m=0时，，符合题意；
当时，，解得；所以，故C正确；
对于D，当m=0时，，由，可得，解得，故D错误.
故选：AC.
7．
【分析】由对数函数的单调性求解即可；
【详解】根据对数函数的性质，由，可得；
由，得．综上，．
故答案为：.
8．3
【详解】将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.
如图可知，
a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．
由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，
所以它们的图象关于直线y＝x对称，
由题意可得出A、B两点也关于直线y＝x对称，
于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．
而A、B都在直线y＝－x＋3上，∴b＝－a＋3(A点坐标代入)，或a＝－b＋3，故a＋b＝3.
点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
9．
【分析】由对数函数的单调性，根据定义域求出函数的值域.
【详解】∵，∴，即，
即，则函数的值域为.
故答案为：
10．
【分析】无论a取何值，函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)都具有单调性，因而将x=1和x=0可得到最大与最小值，代入即可求解．
【详解】函数f(x)＝ax＋loga(x＋1) 在[0,1]上有单调性
将x=1和x=0代入可得最大值与最小值
所以
解得
【点睛】本题考查了对数单调性的简单应用，属于基础题．
11．
【分析】根据反函数的性质可知，再利用对数函数的单调性解不等式．
【详解】解：函数与函数的图象关于直线对称，
，
．
又在上单调递增
．
∴不等式的解集为．
故答案为：．
12．②④⑤
【分析】在同一坐标系中做出y=log2x和y=log3x两个函数的图象，结合图象求解即可．
【详解】实数a，b满足等式log2a=log3b，即y=log2x在x=a处的函数值和y=log3x在x=b处的函数值相等，
当a=b=1时，log2a=log3b=0，此时⑤成立
做出直线y=1，由图象知，此时log2a=log3b=1，可得a=2，b=3，由此知②成立，①不成立
作出直线y=﹣1，由图象知，此时log2a=log3b=﹣1，可得a=，b=，由此知④成立，③不成立
综上知②④⑤

故答案为②④⑤．
【点睛】本题考查对数函数图象的应用，考查数形结合思想的应用．
13．
【分析】利用对数函数的单调性即可得解.
【详解】当时，函数在上是增函数，所以由，得，所以；
当时，函数在上是减函数，所以由 ，得，所以.
故答案为：，
14．(1)
(2)单调递增区间为；单调递减区间为；值域为
【分析】（1）令，解不等式即可求得定义域；
（2）根据复合函数单调性的判断方法可确定的单调区间；利用二次函数最值的求法可求得，结合对数函数单调性可求得值域.
【详解】（1）由得：，的定义域为.
（2）令，在上单调递增；在上单调递减；
又在上单调递减，
的单调递增区间为；单调递减区间为，
，，
的值域为.
15．（1）奇函数；（2）单调增区间为，；（3）或
【解析】（1）求出，比较与的关系即可得出奇偶性；
（2），则，利用复合函数的单调性判断；
（3）利用函数单调性解不等式即可．
【详解】解：（1）由得，或，
又，
故函数是奇函数；
（2）令，其在上单调递增，
又在上单调递增，
根据复合函数的单调性可知在上单调递增，
又根据（1）其为奇函数可得在上单调递增，
所以函数的单调增区间为，；
（3），且函数在上单调递增得，
解得或．
16．时，最大值为
【分析】利用函数定义域的求法求得函数的定义域；利用换元法设，结合二次函数的性质可求得结果.
【详解】，，
函数的定义域满足，即
设，，
由在区间上是增函数，．
从而要求在区间上的最大值，
只需求在区间上的最大值即可．
在上是增函数，
所以当，即时，．
综上可知，当时，的最大值为.
17．(1)2
(2)，，，．
【分析】（1）方法一：根据题意可得与互为反函数，所以，再根据求解即可；
方法二：根据关于直线对称的性质可得求解即可；
（2）根据对数的运算可得，令，再根据对数函数的取值范围与二次函数的最值求解即可.
【详解】（1）方法一：因为的图象与的图象关于直线对称，所以与互为反函数，所以（，且），又，所以．
方法二：因为的图象与的图象关于直线对称，且，所以，所以．
（2）．
令，，故，
则，
当时，，此时，
当时，，此时．
18．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由ax-1＞0，得ax＞1 下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0即可求得f（x）的定义域
（2）根据函数的单调性解答即可；
（3）令，可知在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．
【详解】本题考查恒成立问题．
（1）当时，，故：，解得：，故函数的定义域为；
（2）由题意知，（），定义域为，用定义法易知为上的增函数，由，知：，∴.
（3）设，，设，，
故，，故：，
又∵对任意实数恒成立，
故：.
【点睛】本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据，代入计算可得；
（2）根据单调性得，分离参数求最值即可.
（3）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可.
【详解】（1）由题意知，，
即，所以，
故.
（2）由（1）知，，
所以在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时取等号，
所以，
故实数a的取值范围是.
（3）因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是.
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