1.1菱形的性质与判定
【题型1】菱形的性质 3
【题型2】菱形的性质与坐标系 5
【题型3】菱形的性质与阴影面积 6
【题型4】菱形的性质与最小值 7
【题型5】菱形的判定 8
【题型6】菱形的性质和判定 9
【题型7】菱形的应用 11
【知识点1】菱形的性质 （1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度） 1.（2025春 海口期末）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC=60°，则点A到BD的距离等于（ ） A．5B．6C．8D．10
【知识点2】菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
1.（2024 重庆一模）下列条件能判定四边形是菱形的是（ ） A．对角线相等的四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线互相垂直平分的四边形D．对角线相等且互相垂直的四边形
【知识点3】菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）______（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 1.（2024 泰安模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ） A．△AOM和△AON都是等边三角形B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形C．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形D．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
2.（2024 大庆模拟）下列说法中，错误的是（ ） A．平行四边形的对角线互相平分B．五边形的内角和是540°C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【题型1】菱形的性质
【典型例题】如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，则线段CE的长为（ ）
A. B. C.4 D.
【举一反三1】如图，在菱形ABCD中，EF∥AB，对角线AC交EF于点G，那么与∠BAC相等的角的个数有(∠BAC除外)( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，则下列等式中一定成立的是( )
A.AB＝BE B.AC＝2AB C.AB＝2OE D.AC＝2OE
【举一反三3】如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG＝BD，连接EG，FG，若AE＝DE，则＝__________.
【举一反三4】如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE，若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
【举一反三5】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝40°，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE，CE，FE，若AE＝FE，∠BEC＝58°，求∠AFE的度数．
【题型2】菱形的性质与坐标系
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标（ ）
A.（﹣3，4） B.（﹣2，3） C.（﹣5，4） D.（5，4）
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（2，3），则C点的坐标为（ ）
A.（0，﹣2） B.（0，﹣1.5） C.（0，﹣1） D.（﹣2，0）
【举一反三2】如图，菱形ABDC的顶点 A（﹣1，0），B（3，0）在x轴上，点C在y轴正半轴上，那么菱形ABDC的面积是（ ）
A.16 B. C.12 D.
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，，点B的坐标为（0，﹣3），则点A的坐标为（ ）
A. B.（3，0） C.（﹣6，0） D.（6，0）
【举一反三4】如图，已知菱形OABC的边长为3，若顶点B的坐标为（0，4），则第一象限内的顶点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【题型3】菱形的性质与阴影面积
【典型例题】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝4，将△CDO沿由点D到点B的方向平移，得到△C′D′O′，当点D′与点B重合时，点D与点C′之间的距离为（ ）
A.6 B.10 C.8 D.12
【举一反三1】如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点(点P不与点A，C重合)且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是( )
A.2 B. C.3 D.
【举一反三2】如图，在菱形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，∠BAD＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A. B.6 C.9 D.
【举一反三3】如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点．若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C.1 D.
【题型4】菱形的性质与最小值
【典型例题】如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三1】如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，E是边AD上一动点，将△CDE沿CE折叠，得到△CFE，则△BCF面积的最大值是（ ）
A.8 B. C.16 D.
【举一反三2】如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三3】如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（ ）
A.逐渐增加 B.恒等于4 C.先减小再增加 D.恒等于
【题型5】菱形的判定
【典型例题】在直角坐标系中，A，B，C，D四个点的坐标依次为(－1，0)，(x，y)，(－1，5)，(－5，z)，若这四个点构成的四边形是菱形，则满足条件的z的值有( )
A.1个 B.3个 C.4个 D.5个
【举一反三1】下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】在数学课上，老师提出如下问题：
如图1，将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F.使得四边形DECF恰好为菱形．
小明的折叠方法如下：
如图2，(1)AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D；(2)C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F.
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：小明这样折叠的依据是______________________________________．
【举一反三3】在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，直线l经过点O，且与AB，CD分别相交于点E，F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠AEF=∠CEF，求证：四边形AECF是菱形．
【题型6】菱形的性质和判定
【典型例题】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是( )
A.24 B.28 C.32 D.36
【举一反三1】如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD的周长为( )
A.52 cm B.40 cm C.39 cm D.26 cm
【举一反三2】如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，给出下列判断：①若△AEF是等边三角形，则∠B＝60°，②若∠B＝60°，则△AEF是等边三角形，③若AE＝AF，则平行四边形ABCD是菱形，④若平行四边形ABCD是菱形，则AE＝AF，其中，结论正确的是__________(只需填写正确结论的序号)．
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，E是AD中点，过A作AF∥BC.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)求证：四边形ADCF是菱形；
(3)若AB＝5，AC＝4，求菱形ADCF的面积．
【题型7】菱形的应用
【典型例题】中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得BD＝12cm，AC＝16cm，直线EF⊥AB交两对边于点E，F，则EF的长为（ ）
A.8cm B.10cm C. D.
【举一反三1】如图，数学实践活动课上小明用两根木条钉成一个角形框架∠AOB，且∠AOB＝120°，AO＝BO＝4 cm，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，在平面内，拉动橡皮筋上的一点C，当四边形OACB是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（ ）
A.4 cm B.8 cm C. D.
【举一反三2】如图所示的是菱形网格窗的一部分（网格窗中每个菱形边长相同），若两个固定点间的距离AB＝BC＝24 cm，∠1＝60°，则每个小菱形的边长为（ ）
A.12 cm B.24 cm C.16 cm D.20 cm
【举一反三3】如图是一个边长为15 cm的活动菱形衣帽架，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15 cm，那么∠1的度数为( )
A.45° B.60° C.75° D.90°
【举一反三4】巧巧同学最近在学烘焙，使用的其中一个糕点模具底面是有一内角为60°的菱形，如图所示，已知该模具底面边长是12 cm，向内注入足量的材料，生产出的糕点底面积是（ ）
A. B. C.72 cm2 D.1.1菱形的性质与判定
【题型1】菱形的性质 5
【题型2】菱形的性质与坐标系 8
【题型3】菱形的性质与阴影面积 10
【题型4】菱形的性质与最小值 13
【题型5】菱形的判定 15
【题型6】菱形的性质和判定 18
【题型7】菱形的应用 21
【知识点1】菱形的性质 （1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度） 1.（2025春 海口期末）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC=60°，则点A到BD的距离等于（ ） A．5B．6C．8D．10
【答案】A 【分析】连接AC，根据菱形的性质可得AO⊥BD，∠ABD=ABC=30°，再根据直角三角形的性质可得AO=AB． 【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO⊥BD，∠ABD=ABC=30°，
∵AB=10，
∴AO=5，
∴点A到BD的距离等于5，
故选：A． 【知识点2】菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
1.（2024 重庆一模）下列条件能判定四边形是菱形的是（ ） A．对角线相等的四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线互相垂直平分的四边形D．对角线相等且互相垂直的四边形
【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理可直接选出答案． 【解答】解：根据菱形的判定定理：对角线互相垂直平分的四边形是菱形可直接选出答案，
故选：C． 【知识点3】菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）______（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 1.（2024 泰安模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ） A．△AOM和△AON都是等边三角形B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形C．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形D．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
【答案】D 【分析】在Rt△ABO中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，OM=AM=BM，但AO与OM和AM的大小却无法判断，所以无法判断△AMO和△AON是等边三角形．同样，我们也无法判断BM是否等于OB和BM是否等于OC，所以也无法判断平行四边形MBON和MODN是菱形，也无法判断四边形MBCO和NDCO是等腰梯形．根据位似图形的定义可知四边形MBCO和四边形NDCO是位似图形． 【解答】解：根据位似图形的定义可知
A、OA与OM和AM的大小却无法判断，所以无法判断△AMO和△AON是等边三角形，故错误；
B、无法判断BM是否等于OB和BM是否等于OC，所以也无法判断平行四边形MBON和MODN是菱形，故错误；
C、无法判断四边形MBCO和NDCO是等腰梯形，故此选项错误；
D、四边形MBCO和四边形NDCO是位似图形，故此选项正确；
故选：D． 2.（2024 大庆模拟）下列说法中，错误的是（ ） A．平行四边形的对角线互相平分B．五边形的内角和是540°C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】D 【分析】分别根据平行四边形的性质、多边形内角和和菱形的判定和性质逐项判断即可． 【解答】解：
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴A选项正确；
∵五边形内角和=（5-2）×180°=540°，
∴B选项正确；
∵菱形的对角线互相垂直，
∴C选项正确；
∵只有对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，
∴D选项错误；
∴错误的是D，
故选：D．
【题型1】菱形的性质
【典型例题】如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，则线段CE的长为（ ）
A. B. C.4 D.
【答案】D
【解析】记AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴S菱形ABCD=×6×8=24，OA＝OC＝4，OD＝OB＝3，AC⊥BD，
∴AD==5，∴S菱形ABCD＝AD CE＝5CE，∴5CE＝24，∴CE=．
【举一反三1】如图，在菱形ABCD中，EF∥AB，对角线AC交EF于点G，那么与∠BAC相等的角的个数有(∠BAC除外)( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】∵在菱形ABCD中，EF∥AB，
∴EF∥CD，∠DAB＝∠DCB，∠DAC＝∠BAC＝∠DAB，∠ACB＝∠ACD＝∠BCD，
∴∠DAC＝∠ACB＝∠ACD＝∠BAC，AB∥CD∥EF，
∴∠AGE＝∠CGF＝∠BAC.
【举一反三2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，则下列等式中一定成立的是( )
A.AB＝BE B.AC＝2AB C.AB＝2OE D.AC＝2OE
【答案】C
【解析】∵点E为BC的中点，∴CE＝BE＝BC，
∵AB＝BC，∴AB＝2BE，故选项A错误；
∵在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴AO＝CO＝AC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝AB，故选项C正确；
∵AC≠BC，∴AC≠2OE，又AC＜2AB，故选项B，D错误.
【举一反三3】如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG＝BD，连接EG，FG，若AE＝DE，则＝__________.
【答案】
【解析】如图，连接AC，EF，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，∵BE⊥AD，AE＝DE，∴AB＝BD，
又∵菱形的边AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，
设EF与BD相交于点H，AB＝4x，
∵AE＝DE，∴由菱形的对称性，CF＝DF，∴EF是△ACD的中位线，∴DH＝DO＝BD＝x，
在Rt△EDH中，EH＝x，
∵DG＝BD，∴GH＝BD＋DH＝4x＋x＝5x，
在Rt△EGH中，由勾股定理，得EG＝＝＝2x，所以＝＝.
【举一反三4】如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE，若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
【答案】解：菱形ABCD中，AB＝BC，
∵BE＝AB，∴BC＝BE，∴∠BCE＝∠E＝50°，∴∠CBE＝180°－50°×2＝80°，
∵AD∥BC，∴∠BAD＝∠CBE＝80°，∴∠BAO＝∠BAD＝×80°＝40°.
【举一反三5】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝40°，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE，CE，FE，若AE＝FE，∠BEC＝58°，求∠AFE的度数．
【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，E点在对角线BD上，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝20°，AB＝CB，
在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝EC，∠BEA＝∠BEC＝58°，
∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∴∠BAD＝140°，
在△ABE中，∵∠ABE＝20°，∠AEB＝58°，∴∠BAE＝180°﹣20°﹣58°＝102°，∴∠EAF＝140°﹣102°＝38°，
∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE＝38°．
【题型2】菱形的性质与坐标系
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标（ ）
A.（﹣3，4） B.（﹣2，3） C.（﹣5，4） D.（5，4）
【答案】C
【解析】∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，∴AB＝5，∴DO＝4，
∴点C的坐标是（﹣5，4）．
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（2，3），则C点的坐标为（ ）
A.（0，﹣2） B.（0，﹣1.5） C.（0，﹣1） D.（﹣2，0）
【答案】C
【解析】∵A（2，3），∴OD＝2，AD＝3，
∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝3，
在Rt△ODC中，OC＝＝＝1，∴C（0，﹣1）．
【举一反三2】如图，菱形ABDC的顶点 A（﹣1，0），B（3，0）在x轴上，点C在y轴正半轴上，那么菱形ABDC的面积是（ ）
A.16 B. C.12 D.
【答案】D
【解析】∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，
∵四边形ABDC是菱形，∴AC＝AB＝4，
在Rt△ACO中，AC＝4，AO＝1，∴CO＝＝＝，
∴菱形ABDC的面积是＝AB CO＝×4×＝2．
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，，点B的坐标为（0，﹣3），则点A的坐标为（ ）
A. B.（3，0） C.（﹣6，0） D.（6，0）
【答案】A
【解析】∵点B的坐标为（0，﹣3），∴OB＝3，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴∠ABO＝ABC＝60°，
∵∠AOB＝90°，∴OA＝3，∴A（﹣3，0）.
【举一反三4】如图，已知菱形OABC的边长为3，若顶点B的坐标为（0，4），则第一象限内的顶点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，连接AC交OB于点D，
∵四边形OABC是菱形，∴OD＝DB，AC⊥OB，
∵B的坐标为（0，4），∴OB＝4，∴OD＝2，
∵菱形OABC的边长为3，即OC＝3，∴，∴AC⊥OB，OB⊥x轴，∴AC∥x轴，
∴，
【题型3】菱形的性质与阴影面积
【典型例题】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝4，将△CDO沿由点D到点B的方向平移，得到△C′D′O′，当点D′与点B重合时，点D与点C′之间的距离为（ ）
A.6 B.10 C.8 D.12
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝4，∴AC⊥BD，AO＝AC＝6，OB＝BD＝2，
∴∠AOB＝90°，
∵△CDO沿由点D到点B的方向平移，得到△C′D′O′，当点D′与点B重合，
∴O'C＝OC＝OA＝6，O′B＝OD＝2，∠C′O'B＝∠AOB＝90°，∴DO'＝BD+O'B＝6，
∴.
【举一反三1】如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点(点P不与点A，C重合)且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是( )
A.2 B. C.3 D.
【答案】B
【解析】AP，EF交于O点，∵PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，∴四边形AFPE为平行四边形，
∴△AEO的面积＝△FOP的面积，∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，菱形ABCD的面积＝AC·BD＝5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2＝.
【举一反三2】如图，在菱形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，∠BAD＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A. B.6 C.9 D.
【答案】D
【解析】如图，AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝6，∠DAC＝∠BAD＝30°，AC⊥BD，
∴OD＝AD＝3，OA＝3，∴BD＝2OD＝6，AC＝2OA＝6，
观察图形得，阴影部分面积等于菱形面积的一半，∴S菱形＝AC BD＝×6×6＝18，
∴阴影部分面积＝×18＝9．
【举一反三3】如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点．若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C.1 D.
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA＝∠BCD＝30°，
∴A'D＝1，A'C＝，∴菱形ABCD的面积＝4××A'D×A'C＝2，
如图，
由平移的性质得， ABCD∽ A'FCE，且A'C＝AC，∴四边形A'ECF的面积是 ABCD面积的，
∴阴影部分的面积＝＝.
【题型4】菱形的性质与最小值
【典型例题】如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】作F点关于BD的对称点F′，则PF＝PF′，连接EF′交BD于点P.
∴EP＋FP＝EP＋F′P.
由两点之间线段最短可知，当E，P，F′在一条直线上时，EP＋FP的值最小，此时EP＋FP＝EP＋F′P＝EF′.
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，
∵AF＝2，AE＝1，∴DF′＝AE＝1，∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′＝AD＝3.∴EP＋FP的最小值为3.
【举一反三1】如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，E是边AD上一动点，将△CDE沿CE折叠，得到△CFE，则△BCF面积的最大值是（ ）
A.8 B. C.16 D.
【答案】A
【解析】∵将△CDE沿CE折叠，得到△CFE，∴CD＝CF＝4，∴点F在以点C为圆心，CF为半径的圆上，
∴当CF⊥BC时，△BCF面积有最大值，∴△BCF面积的最大值＝×4×4＝8.
【举一反三2】如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】作F点关于BD的对称点F′，则PF＝PF′，连接EF′交BD于点P.
∴EP＋FP＝EP＋F′P.
由两点之间线段最短可知，当E，P，F′在一条直线上时，EP＋FP的值最小，此时EP＋FP＝EP＋F′P＝EF′.
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，
∵AF＝2，AE＝1，∴DF′＝AE＝1，∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′＝AD＝3.∴EP＋FP的最小值为3.
【举一反三3】如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（ ）
A.逐渐增加 B.恒等于4 C.先减小再增加 D.恒等于
【答案】B
【解析】如图，连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝4，
∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°．
∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD＝60°．∴∠A＝∠CDB．
∵∠EBF＝60°，∴∠ABE＝∠DBF＝60°﹣∠DBE，
在△ABE和△DBF中，
∴△ABE≌△DBF（ASA），∴AE＝DF，∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝4，
即AE+CF的长度保持不变恒等于4．
【题型5】菱形的判定
【典型例题】在直角坐标系中，A，B，C，D四个点的坐标依次为(－1，0)，(x，y)，(－1，5)，(－5，z)，若这四个点构成的四边形是菱形，则满足条件的z的值有( )
A.1个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】D
【解析】如图，
∵A(－1，0)，C(－1，5)，∴AC⊥x轴，且AC＝5－0＝5，过点D(－5，z)作x轴的垂线，则z的数值就在直线x＝－5上，
∵A，B，C，D四个点构成的四边形是菱形，∴当DC＝DA，z有1个值，
当DC＝AC，则42＋(5－z)2＝52，z有两个值，
当AD＝AC，则42＋z2＝52，则z有两个值，
综上所知，符合条件的z的值有5个．
【举一反三1】下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，故A不符合题意；
根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形，故B不符合题意；
一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形，故C符合题意；
根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，故D不符合题意.
【举一反三2】在数学课上，老师提出如下问题：
如图1，将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F.使得四边形DECF恰好为菱形．
小明的折叠方法如下：
如图2，(1)AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D；(2)C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F.
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：小明这样折叠的依据是______________________________________．
【答案】CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分(答案不唯一)
【解析】如图，连接DF，DE.
根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF．则四边形DECF恰为菱形．
【举一反三3】在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，直线l经过点O，且与AB，CD分别相交于点E，F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠AEF=∠CEF，求证：四边形AECF是菱形．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE与△COF中，∠EAO＝∠FCO，AO＝CO，∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF，
∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形.
（2）∵AB∥CD，∴∠AEO=∠CFO，
∵∠AEF=∠CEF，∴∠CFO=∠CEF，∴CE=CF，
由（1）知四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
【题型6】菱形的性质和判定
【典型例题】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是( )
A.24 B.28 C.32 D.36
【答案】A
【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA.
∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，∴FA＝FD，∴平行四边形AEDF为菱形．
∵AF＝6，∴C菱形AEDF＝4AF＝4×6＝24.
【举一反三1】如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD的周长为( )
A.52 cm B.40 cm C.39 cm D.26 cm
【答案】A
【解析】如图，连接AC，BD相交于点O，
∵四边形ABCD的四边相等，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，S四边形ABCD＝AC·BD，
∴×24BD＝120，解得BD＝10 cm，∴OA＝12cm，OB＝5cm，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB＝＝13(cm)，
∴四边形ABCD的周长＝4×13＝52(cm).
【举一反三2】如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，给出下列判断：①若△AEF是等边三角形，则∠B＝60°，②若∠B＝60°，则△AEF是等边三角形，③若AE＝AF，则平行四边形ABCD是菱形，④若平行四边形ABCD是菱形，则AE＝AF，其中，结论正确的是__________(只需填写正确结论的序号)．
【答案】①③④
【解析】①∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF，
又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠C＝120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠C＝∠BAD＝120°，∴∠B＝180°－∠C＝60°，故①正确；
②∵∠D＝∠B＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝90°－60°＝30°，∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°，但是AE不一定等于AF，故②错误；
③若AE＝AF，则BC·AE＝CD·AF，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，故③正确；
④若平行四边形ABCD是菱形，则BC＝CD，∴BC·AE＝CD·AF，∴AE＝AF，故④正确.
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，E是AD中点，过A作AF∥BC.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)求证：四边形ADCF是菱形；
(3)若AB＝5，AC＝4，求菱形ADCF的面积．
【答案】解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AEF和△DEB中，∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED，AE=DE，
∴△AEF≌△DEB(AAS).
(2)证明：由(1)知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB.
∵DB＝DC，∴AF＝CD.
∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形．
(3)∵D是BC的中点，四边形ADCF是菱形，
∴△ABD的面积＝△ACD的面积＝△ACF的面积，
∴菱形ADCF的面积＝Rt△ABC的面积＝AB·AC＝×5×4＝10.
【题型7】菱形的应用
【典型例题】中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得BD＝12cm，AC＝16cm，直线EF⊥AB交两对边于点E，F，则EF的长为（ ）
A.8cm B.10cm C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC＝8cm，BO＝BD＝6cm，
∴AB＝＝10（cm），
∵S菱形ABCD＝AC BD＝AB EF，∴×16×12＝10EF，
∴EF＝cm.
【举一反三1】如图，数学实践活动课上小明用两根木条钉成一个角形框架∠AOB，且∠AOB＝120°，AO＝BO＝4 cm，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，在平面内，拉动橡皮筋上的一点C，当四边形OACB是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（ ）
A.4 cm B.8 cm C. D.
【答案】C
【解析】连接CO，交AB于H，
∵四边形OACB是菱形，∠AOB＝120°，∴AB⊥OC，∠AOC＝∠BOC＝60°，AH＝BH，AC＝BC＝AO＝4 cm，
∴∠BAO＝30°，∴OH＝AO＝2 cm，AH＝2 cm，∴AB＝2AH＝4 cm，
∴橡皮筋再次被拉长了（8﹣4） cm.
【举一反三2】如图所示的是菱形网格窗的一部分（网格窗中每个菱形边长相同），若两个固定点间的距离AB＝BC＝24 cm，∠1＝60°，则每个小菱形的边长为（ ）
A.12 cm B.24 cm C.16 cm D.20 cm
【答案】B
【解析】如图：
∵四边形ADHE和四边形BEIF是全等的菱形，∴AD＝AE＝BE，
又∵∠1＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE＝AB＝24 cm.
【举一反三3】如图是一个边长为15 cm的活动菱形衣帽架，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15 cm，那么∠1的度数为( )
A.45° B.60° C.75° D.90°
【答案】B
【解析】因为菱形的边长为15 cm，AB＝15 cm，∴三角形的顶点与点A，B连接成为等边三角形，∴∠1＝60°.
【举一反三4】巧巧同学最近在学烘焙，使用的其中一个糕点模具底面是有一内角为60°的菱形，如图所示，已知该模具底面边长是12 cm，向内注入足量的材料，生产出的糕点底面积是（ ）
A. B. C.72 cm2 D.
【答案】D
【解析】根据题意，作出图形，如图所示：
由题意设菱形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝60°，则△ABD是等边三角形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝BD＝12（cm），
在菱形ABCD中，AC⊥BD，且由菱形对角线平分对角得到∠BAO＝30°，
∴在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，AB＝12cm，则BO＝6cm，
∴由勾股定理可得，
∴ cm，
.
