1.3正方形的性质与判定
【题型1】正方形的性质 3
【题型2】正方形的性质与坐标系 5
【题型3】正方形的性质与阴影面积 9
【题型4】正方形的判定 14
【题型5】正方形的性质和判定 18
【题型6】正方形的应用 22
【知识点1】正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 1.（2025春 江海区期末）下列说法正确的是（ ） A．菱形的四个内角都是直角B．矩形的对角线互相垂直C．正方形的每一条对角线平分一组对角D．平行四边形是轴对称图形
【答案】C 【分析】根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的性质和轴对称图形的性质即可求解． 【解答】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；
B．矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；
C．正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意；
D．平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意；
故选：C． 【知识点2】正方形的判定 正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 1.（2024春 镇海区校级期中）下列说法不正确的是（ ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．对角线平分对角的四边形是菱形D．对角线平分对角的矩形是正方形
【答案】C 【分析】利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断即可． 【解答】解：A、对角线互相平分的四边形能判定是平行四边形，所以此选项不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形能判定是矩形，所以此选项不符合题意；
C、对角线平分对角的平行四边形是菱形，故该选项不能判定其为菱形，所以此选项符合题意；
D、对角线平分对角的矩形能判定是正方形，所以此选不项符合题意；
故选：C． 【知识点3】正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
【题型1】正方形的性质
【典型例题】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A
【解析】如图，将△DAF绕点A顺时针旋转90°到△BAF′位置，由题意可得出△DAF≌△BAF′，
∴DF＝BF′，∠DAF＝∠BAF′，∴∠EAF′＝45°，
在△FAE和△EAF′中，AF=AF'，∠FAE=∠EAF′，AE=AE，∴△FAE≌△F′AE (SAS)，∴EF＝EF′，
∵△ECF的周长为4，∴EF＋EC＋FC＝FC＋CE＋EF′＝FC＋BC＋BF′＝DF＋FC＋BC＝4，∴2BC＝4，∴BC＝2.
【举一反三1】如图，在正方形ABCD中，AD＝5，点E，F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝3，BE＝DF＝4，则EF的长为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】延长AE交DF于点G，如图所示，
∵AB＝5，AE＝3，BE＝4，∴△ABE是直角三角形，
∴同理可得△DFC是直角三角形，可得△AGD是直角三角形，
∴∠ABE＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，∴∠GAD＝∠EBA，
同理可得，∠ADG＝∠BAE，
在△AGD和△BEA中，∠EAB=∠GDA，AD=AB，∠ABE=∠DAG，∴△AGD≌△BEA(ASA)，
∴AG＝BE＝4，DG＝AE＝3，∴EG＝4－3＝1，同理可得，GF＝1，∴EF＝＝.
【举一反三2】如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB的延长线交于点E，四边形AECF的面积是__________．
【答案】16
【解析】∵∠EAB＋∠BAF＝∠FAD＋∠FAB＝90°，∴∠EAB＝∠FAD，
又∵四边形ABCD为正方形，∴△AEB≌△AFD，∴四边形AECF的面积＝正方形ABCD的面积＝16．
【举一反三3】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和CD上，AE＝AF.
(1)求证：CE＝CF.
(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM，FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，AD=AB，AF=AE，∴Rt△ADF≌Rt△ABE(HL)，∴BE＝DF，
∵BC＝DC，∴CE＝CF.
(2)四边形AEMF是菱形，
理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA＝∠DCA＝45°，
在△COE和△COF中，CE=CF，∠ACB=∠ACD，OC=OC，∴△COE≌△COF(SAS)，∴OE＝OF，
又∵OM＝OA，∴四边形AEMF是平行四边形，
∵AE＝AF，∴平行四边形AEMF是菱形．
【题型2】正方形的性质与坐标系
【典型例题】如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是正方形，已知点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为（ ）
A.（﹣1，2） B.（1，﹣2） C. D.（﹣2，1）
【答案】A
【解析】如图，作AF⊥x轴于点F，CE⊥x轴于点E，则∠OEC＝∠AFO＝90°，
∵A（2，1），∴F（2，0），
∵四边形ABCO是正方形，∴CO＝OA，∠AOC＝90°，∴∠OCE＝∠AOF＝90°﹣∠COE，
在△OCE和△AOF中，，∴△OCE≌△AOF（AAS），
∴OE＝AF＝1，CE＝OF＝2，
∴C（﹣1，2）.
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（ ）
A.13 B.20 C.25 D.34
【答案】D
【解析】如图，作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，∴△DAO≌△ABM，∴OA＝BM，AM＝OD，
∵A（﹣3，0），B（2，b），∴OA＝3，OM＝2，∴OD＝AM＝5，
∴AD＝＝＝，
∴正方形ABCD的面积为34.
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为（ ）
A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣
【答案】B
【解析】如图，连接OB，作BD⊥x轴于点D，则∠ODB＝90°，
∵四边形OABC是边长为1的正方形，∴OC＝BC＝1，∠C＝90°，
∴OB＝＝＝，
∵∠COB＝∠CBO＝45°，∠COD＝15°，∴∠DOB＝∠COB﹣∠COD＝45°﹣15°＝30°，
∴BD＝OB＝×＝，
∴点B的纵坐标为﹣.
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（ ）
A.13 B.20 C.25 D.34
【答案】D
【解析】如图，作BM⊥x轴于M．
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠DAO＝∠ABM，
∵∠AOD＝∠AMB＝90°，∴△DAO≌△ABM，∴OA＝BM，AM＝OD，
∵A（﹣3，0），B（2，b），∴OA＝3，OM＝2，∴OD＝AM＝5，
∴AD＝＝＝，
∴正方形ABCD的面积为34.
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，A（﹣3，0），B（1，b），则正方形ABCD的面积为（ ）
A.34 B.25 C.20 D.16
【答案】B
【解析】作BE⊥x轴于E，如图，
∵A（﹣3，0），B（1，b），∴AE＝4，
∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∵∠DAO+∠BAE＝90°，∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠ADO＝∠BAE，
在△ADO和△BAE中∴△ADO≌△BAE，∴OD＝AE＝4，
在Rt△AOD中，AD2＝32+42＝52＝25，
∴正方形ABCD的面积为25．
【题型3】正方形的性质与阴影面积
【典型例题】如图，四边形ABCD，CEFG均为正方形，其中正方形CEFG面积为36 cm2，若图中阴影部分的面积为10 cm2，则正方形ABCD的面积为（ ）
A.6 B.16 C.26 D.46
【答案】B
【解析】∵阴影部分面积＝DE×（BC+CG），
∴阴影部分面积＝×（CE﹣DC）（BC+CG）＝（CE2﹣BC2），
∵正方形CEFG的面积为36 cm2，图中阴影部分的面积为10 cm2，
∴10＝×（36﹣S正方形ABCD），
∴S正方形ABCD＝16.
【举一反三1】如图，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝4，CK＝6．沿着LD，KD所在直线将正方形EFGH分成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM均为正方形，且它们的面积之和为100，则重叠部分长方形LFKD的面积为（ ）
A.40 B.48 C.42 D.50
【答案】B
【解析】设LD＝x，DK＝y，
∵四边形ELDN和四边形DKGM为正方形，∴DN＝LD＝x，DM＝DK＝y，
∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，
∵AD＝AL+LD，CD＝CK+DK，∴AL+LD＝CK+DK，
∵AL＝4，CK＝6，∴4+x＝6+y，∴x＝y+2，
∵正方形ELDN和正方形DKGM的面积之和为100，∴x2+y2＝100，
将x＝y+2代入x2+y2＝100中，得（y+2）2+y2＝100，
解得y＝6或y＝﹣8（舍），
∴x＝y+2＝8，
∴DL＝8，DK＝6，
∴重叠部分长方形LFKD的面积＝DL DK＝8×6＝48．
【举一反三2】学校要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形花坛．学生会提出两个方案：
方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S1；
方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S2；
具体数据如图所示．则下列说法一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图1，S1＝a2﹣b2，∴S1≠（a﹣b）2，故A错误；
如图2，S2＝（a﹣b）﹣b2＝a2﹣2b2，∴S2≠a2﹣b2，故B错误；
S1﹣S2＝a2﹣b2﹣（a2﹣2b2）＝b2，故C错误，D正确.
【举一反三3】用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（ ）
A.a+b B.a﹣b C.2a+b D.2a﹣b
【答案】A
【解析】如图，连接DK，DN，
∵∠KDN＝∠MDT＝90°，∴∠KDM＝∠NDT，
∵DK＝DN，∠DKM＝∠DNT＝45°，∴△DKM≌△DNT（ASA），
∴S△DKM＝S△DNT，
∴S四边形DMNT＝S△DKN＝a，
∴正方形ABCD的面积＝4×a+b＝a+b．
【举一反三4】图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为 ．
【答案】9
【解析】设图1中的直角三角形另一条直角边长为b，
∴S1＝32+b2＝9+b2，S2＝b2，
∴S1﹣S2＝9.
【举一反三5】如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为27 dm2和12 dm2的两张正方形纸片，则长方形ABCD的面积为 ．
【答案】45 dm2
【解析】如图，
∵两张正方形纸片面积分别为27 dm2和12 dm 2，
∴它们的边长分别是：，
∴长方形ABCD的面积为
故答案为：45dm2．
【举一反三6】如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，则GE的长为 ．
【答案】
【解析】如图，作EP垂直于GA，交GA的延长线于点P．
∵∠CAB+∠PAB＝90°，∠PAB+∠PAE＝90°，∴∠CAB＝∠PAE．
在△BCA和△EPA中，∴△BCA≌△EPA（AAS），
即PE＝BC＝＝3，AP＝AC＝4．
∴GE＝＝．
【题型4】正方形的判定
【典型例题】小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：
①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD.
中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形(如图所示)，现有如下四种选法，其中错误的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
【答案】B
【解析】A．∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意；
B．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，当③AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C．∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意；
D．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意．
【举一反三1】下列命题中，真命题是( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】C
【解析】A．两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故本选项错误；
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确；
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误.
【举一反三2】如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，则下列结论：
①OA＝OD；②AD⊥EF；③AE＋DF＝AF＋DE；④当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．
其中一定正确的是( )
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
【答案】B
【解析】如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，∠A＝90°，不符合题意，∴①不正确；
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，∴△AED≌△AFD(AAS)，
∴AE＝AF，DE＝DF，∴AE＋DF＝AF＋DE，∴③正确；
在△AEO和△AFO中，AE=AF，∠EAO=∠FAO，AO=AO，∴△AEO≌△AFO(SAS)，∴EO＝FO，
又∵AE＝AF，∴AO是EF的中垂线，∴AD⊥EF，∴②正确；
∵当∠BAC＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE＝DF，∴四边形AEDF是正方形，∴④正确．
综上，可得正确的是②③④.
【举一反三3】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，对角线AC与BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是____________．
【答案】AB＝BC，或AC⊥BD(答案不唯一)
【解析】由题意可确定，四边形ABCD为四个角都是90°的四边形，即可能存在矩形的情况，若使AB＝BC.可进一步确定其为正方形.
【举一反三4】两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上(如图①)，CE＝2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．
(1)当旋转到顶点D，H重合时，连接AG(如图②)，求点D到AG的距离；
(2)当α＝45°时(如图③)，求证：四边形MHND为正方形．
【答案】解：(1)如图，作DK⊥AG于点K，
∵CD＝CE＝DE＝2cm，∴△CDE是等边三角形，∴∠CDE＝60°，
∴∠ADG＝360°－2×90°－60°＝120°.
∵AD＝DG＝1cm，∴∠DAG＝∠DGA＝30°，∴DK＝DG＝cm，
∴点D到AG的距离为cm.
(2)证明：∵α＝45°，BC∥EH，∴∠NCE＝∠NEC＝45°，∴CN＝NE，
∴∠CNE＝90°，∴∠DNH＝90°，
∵∠D＝∠H＝90°，∴四边形MHND是矩形，
∵CN＝NE，∴DN＝NH，
∴矩形MHND是正方形．
【举一反三5】如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
(3)在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．直接写出答案，不需说明理由．
【答案】解：(1)∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB，
∴∠OEC＝∠ACE，∴OE＝OC，同理可得OC＝OF，∴OE＝OF．
(2)当O为AC中点时，四边形AECF是矩形.
理由如下：∵OA＝OC，OE＝OF(已证)，∴四边形AECF是平行四边形，
∵EC平分∠ACB，CF平分∠ACG，∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACG，
∴∠ACE＋∠ACF＝ (∠ACB＋∠ACG)＝×180°＝90°，即∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形.
(3)当△ABC是直角三角形时，即当∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形，
理由：由(2)得，当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形，
∵∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB＝45°，∴∠OEC＝∠ECB＝45°，
∴∠EOC＝90°，∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
【题型5】正方形的性质和判定
【典型例题】如图，在四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为( )
A.3 B.2 C.4 D.8
【答案】C
【解析】如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点F，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠A＋∠BCD＝180°，
∵∠FCD＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠FCD，
又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，∴△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，S四边形ABCD＝S正方形DEBF＝16，∴DE＝4.
【举一反三1】在正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别任意取点E，F，G，H.这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有( )
A.1个 B.2个 C.4个 D.无穷多个
【答案】D
【解析】无穷多个．如图正方形ABCD，AH＝DG＝CF＝BE，HD＝CG＝FB＝EA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，
有△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，则EH＝HG＝GF＝FE，另外很容易得四个角均为90°，则四边形EHGF为正方形．
【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．
【答案】3
【解析】如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E，
∵∠DPB＝∠ABC＝∠DEB＝90°，∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE＋∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP＋∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，
∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，
在△ADP和△CDE中，∠ADP=∠CDE，∠APD=∠E，AD=CD，∴△ADP≌△CDE(AAS)，∴DE＝DP，
∴四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3.
【举一反三3】如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B＝90°，∠ADC＝∠ACB＋45°，BC＝AB＋，若AC＝CD，则边AD的长为________．
【答案】
【解析】作∠DCH＝∠ACB，并过D作DH⊥CH于H，延长HD交BA延长线于K，如图所示，
设∠DCH＝∠ACB＝x，
∵AC＝CD，∴∠DAC＝∠ADC＝x＋45°，∴∠ACD＝180°－2(x＋45°)＝90°－2x，∴∠BCH＝90°，
在△ABC和△DHC中，∠ACB=∠DCH，∠B=∠DHC=90°，AC=DC，∴△ABC≌△DHC(AAS)，
∴BC＝HC，AB＝DH，∴四边形BCHK是正方形，
∴∠K＝90°，BK＝HK，∴AK＝DK＝BC－AB＝，∴△ADK是等腰直角三角形，∴AD＝＝.
【举一反三4】如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，且AE＝BF.
(1)试探索线段AF，DE的数量关系，写出你的结论并说明理由；
(2)连接EF，DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H，I，J，K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由．
【答案】解：(1)AF＝DE.
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵AE＝BF，∴△DAE≌△ABF，
∴AF＝DE.
(2)四边形HIJK是正方形．
如图，H，I，J，K分别是AE，EF，FD，DA的中点，
∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED，
∵AF＝DE，∴HI＝KJ＝HK＝IJ，∴四边形HIJK是菱形，
∵△DAE≌△ABF，∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠BAF＋∠AED＝90°，∴∠AOE＝90°，∴∠KHI＝90°，
∴四边形HIJK是正方形．
【举一反三5】如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.
(1)如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
(2)如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．
【答案】解：(1)PB＝PQ，
证明：如图，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPE＋∠QPE＝90°，∠QPE＋∠QPF＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ.
(2)PB＝PQ，
证明：如图，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF＋∠QPF＝90°，∠BPF＋∠BPE＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ.
【题型6】正方形的应用
【典型例题】观察下列正方形中四个数分别具有的一定规律，根据规律可得的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析正方形中的四个数：第一个数（正方形左上角）为2n﹣1，
当2n﹣1＝79时，解得n＝40，
第二个数（正方形右上角）为2n，
∴第40个正方形的第二个数（正方形右上角）b＝40×2＝80，
第三个数（正方形左下角）为n+1，
∴第40个正方形的第三个数（正方形左下角）a＝40+1＝41，
第四个数（正方形右下角）为第一个数、第二个数与第三个数的和，
∴m＝79+b+a＝79+80+41＝200，
∴＝＝﹣.
【举一反三1】如图，在正三角形ABC与正方形CDEF中，B，C，D三点共线，且AC＝5，CF＝4．若有一动点P沿着CA由C往A移动，则FP的长度最小是（ ）
A.2 B. C. D.
【答案】A
【解析】过点F作FP′⊥AC于点P′，如图所示，
根据“垂线段最短”得，当点P与点P′重合时，FP的长度最小，FP的最小长度就是线段FP′的长，
∵四边形CDEF为正方形，CF＝4，∴∠FCD＝90°，
∵△ABC为正三角形，∴∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝180°﹣∠FCD﹣∠ACB＝30°，
∴．
【举一反三2】用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的（ ）
A. B. C. D.不能确定
【答案】A
【解析】由图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半，则阴影部分的面积为1×1÷2＝，是原正方形的面积的．
【举一反三3】小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝8 cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中正方形对角线AC的长为（ ）
A.8 cm B.16 cm C.24 cm D.8 cm
【答案】D
【解析】如图1，图2中，连接AC．
图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝8 cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝8（cm）．
【举一反三4】在数学活动课上，小聪在一张白卡纸上画出如图1所示的8个一样大小的长方形，再把这8个长方形纸片剪开，无重叠地拼成如图2所示的正方形ABCD．若中间小正方形的边长为1，则正方形ABCD的周长是 ．
【答案】44
【解析】设小长方形的长为x，则宽为x，
由题意得2×x﹣x＝1，
解得x＝5，则x＝3，
所以正方形ABCD的周长是4（x+2×x）＝4×（5+6）＝44．
【举一反三5】“数缺形时少直观，形少数时难入微．”是我国著名数学家华罗庚一首诗中的两句，它表达了“数形结合”的思想．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合．在数学学习中，我们常把数或表示数的字母与图形结合起来，如图是由四个长为a，宽为b的长方形（a＞b＞0）拼摆而成的图形，外面是一个大正方形ABCD，中间是一个小正方形EFGH，若正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为9，则ab的值为 ．
【答案】4
【解析】由图形可知，4个小长方形面积+正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积，
∴4ab+9＝25，∴4ab＝16，∴ab＝4．
【举一反三6】李燕在商场里看到一条很漂亮的丝巾，非常想买．但她拿起来看时感觉丝巾不太方,商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起一组对角，让李燕看另一组对角是否对齐(如图所示)．李燕还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让李燕检验．李燕终于买下这块纱巾．你认为李燕买的这块纱巾是正方形的吗？______(填“是”或“否”)．
【答案】否
【解析】根据老板的方法，只能说明这块纱巾的两组对角分别相等，四条边都相等，也就是说纱巾的两条对角线是对称轴，这只能保证纱巾是菱形，并不能保证它是正方形．因为正方形的对称轴共有四条，除了两条对角线外，还有两条是对边中点的连线．所以只要拉起一组对边的中点将纱巾对折，看另一组对边是否重合(图②)．若另一组对边不能重合，那么此纱巾不是正方形；若另一组对边能重合，那么此纱巾一定是正方形．
【举一反三7】在数学活动课上，小聪在一张白卡纸上画出如图1所示的8个一样大小的长方形，再把这8个长方形纸片剪开，无重叠地拼成如图2所示的正方形ABCD．若中间小正方形的边长为1，则正方形ABCD的周长是 ．
【答案】44
【解析】设小长方形的长为x，则宽为x，
由题意得2×x﹣x＝1，
解得x＝5，则x＝3，
所以正方形ABCD的周长是4（x+2×x）＝4×（5+6）＝44．1.3正方形的性质与判定
【题型1】正方形的性质 2
【题型2】正方形的性质与坐标系 3
【题型3】正方形的性质与阴影面积 5
【题型4】正方形的判定 7
【题型5】正方形的性质和判定 9
【题型6】正方形的应用 10
【知识点1】正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 1.（2025春 江海区期末）下列说法正确的是（ ） A．菱形的四个内角都是直角B．矩形的对角线互相垂直C．正方形的每一条对角线平分一组对角D．平行四边形是轴对称图形
【知识点2】正方形的判定 正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 1.（2024春 镇海区校级期中）下列说法不正确的是（ ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．对角线平分对角的四边形是菱形D．对角线平分对角的矩形是正方形
【知识点3】正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
【题型1】正方形的性质
【典型例题】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三1】如图，在正方形ABCD中，AD＝5，点E，F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝3，BE＝DF＝4，则EF的长为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB的延长线交于点E，四边形AECF的面积是__________．
【举一反三3】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和CD上，AE＝AF.
(1)求证：CE＝CF.
(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM，FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【题型2】正方形的性质与坐标系
【典型例题】如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是正方形，已知点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为（ ）
A.（﹣1，2） B.（1，﹣2） C. D.（﹣2，1）
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（ ）
A.13 B.20 C.25 D.34
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为（ ）
A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则正方形ABCD的面积是（ ）
A.13 B.20 C.25 D.34
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，A（﹣3，0），B（1，b），则正方形ABCD的面积为（ ）
A.34 B.25 C.20 D.16
【题型3】正方形的性质与阴影面积
【典型例题】如图，四边形ABCD，CEFG均为正方形，其中正方形CEFG面积为36 cm2，若图中阴影部分的面积为10 cm2，则正方形ABCD的面积为（ ）
A.6 B.16 C.26 D.46
【举一反三1】如图，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝4，CK＝6．沿着LD，KD所在直线将正方形EFGH分成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM均为正方形，且它们的面积之和为100，则重叠部分长方形LFKD的面积为（ ）
A.40 B.48 C.42 D.50
【举一反三2】学校要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形花坛．学生会提出两个方案：
方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S1；
方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S2；
具体数据如图所示．则下列说法一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为（ ）
A.a+b B.a﹣b C.2a+b D.2a﹣b
【举一反三4】图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为 ．
【举一反三5】如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为27 dm2和12 dm2的两张正方形纸片，则长方形ABCD的面积为 ．
【举一反三6】如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，则GE的长为 ．
【题型4】正方形的判定
【典型例题】小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：
①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD.
中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形(如图所示)，现有如下四种选法，其中错误的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
【举一反三1】下列命题中，真命题是( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【举一反三2】如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，则下列结论：
①OA＝OD；②AD⊥EF；③AE＋DF＝AF＋DE；④当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．
其中一定正确的是( )
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
【举一反三3】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，对角线AC与BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是____________．
【举一反三4】两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上(如图①)，CE＝2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．
(1)当旋转到顶点D，H重合时，连接AG(如图②)，求点D到AG的距离；
(2)当α＝45°时(如图③)，求证：四边形MHND为正方形．
【举一反三5】如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
(3)在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．直接写出答案，不需说明理由．
【题型5】正方形的性质和判定
【典型例题】如图，在四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为( )
A.3 B.2 C.4 D.8
【举一反三1】在正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别任意取点E，F，G，H.这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有( )
A.1个 B.2个 C.4个 D.无穷多个
【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．
【举一反三3】如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B＝90°，∠ADC＝∠ACB＋45°，BC＝AB＋，若AC＝CD，则边AD的长为________．
【举一反三4】如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，且AE＝BF.
(1)试探索线段AF，DE的数量关系，写出你的结论并说明理由；
(2)连接EF，DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H，I，J，K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由．
【举一反三5】如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.
(1)如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
(2)如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．
【题型6】正方形的应用
【典型例题】观察下列正方形中四个数分别具有的一定规律，根据规律可得的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在正三角形ABC与正方形CDEF中，B，C，D三点共线，且AC＝5，CF＝4．若有一动点P沿着CA由C往A移动，则FP的长度最小是（ ）
A.2 B. C. D.
【举一反三2】用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的（ ）
A. B. C. D.不能确定
【举一反三3】小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝8 cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中正方形对角线AC的长为（ ）
A.8 cm B.16 cm C.24 cm D.8 cm
【举一反三4】在数学活动课上，小聪在一张白卡纸上画出如图1所示的8个一样大小的长方形，再把这8个长方形纸片剪开，无重叠地拼成如图2所示的正方形ABCD．若中间小正方形的边长为1，则正方形ABCD的周长是 ．
【举一反三5】“数缺形时少直观，形少数时难入微．”是我国著名数学家华罗庚一首诗中的两句，它表达了“数形结合”的思想．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合．在数学学习中，我们常把数或表示数的字母与图形结合起来，如图是由四个长为a，宽为b的长方形（a＞b＞0）拼摆而成的图形，外面是一个大正方形ABCD，中间是一个小正方形EFGH，若正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为9，则ab的值为 ．
【举一反三6】李燕在商场里看到一条很漂亮的丝巾，非常想买．但她拿起来看时感觉丝巾不太方,商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起一组对角，让李燕看另一组对角是否对齐(如图所示)．李燕还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让李燕检验．李燕终于买下这块纱巾．你认为李燕买的这块纱巾是正方形的吗？______(填“是”或“否”)．
【举一反三7】在数学活动课上，小聪在一张白卡纸上画出如图1所示的8个一样大小的长方形，再把这8个长方形纸片剪开，无重叠地拼成如图2所示的正方形ABCD．若中间小正方形的边长为1，则正方形ABCD的周长是 ．
